高中数学基本不等式几大题型

题型1 基本不等式反用ab ≤

a ＋b

2

例1：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0

(2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛

⎭⎪⎫0

解析：(1)∵00, x (1－x )≤⎣

⎢

⎡⎦⎥⎤x ＋

1－x 22＝1

4

， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，14.

(2)∵0

2

，∴1－2x >0.

x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢

⎡⎦⎥⎤2x ＋

1－2x 22＝1

8

，

∴f (x ) 值域为⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，18.

答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 (2)⎝

⎛

⎭⎪⎫0，18

例2：(教材习题改编)已知0

解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝3

4，

当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝1

2时等号成立．

答案：1

2

例3：函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．

解析：x 1－x 2

＝x

2

1－x

2

≤

x 2＋1－x 2

2＝12

. 例4：已知0

( )

A.13

B.12

C.34

D.23

答案 B

解析 ∵00.

∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝3

4

. 当x ＝1－x ，即x ＝1

2

时取等号．

例5：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，

求函数y ＝x (a －2x )的最大值； 解：∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝1

2×2x (a －2x )

≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 2

2＝a 28

，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 2

8.

题型2 基本不等式正用a ＋b ≥2ab

例6：（1）函数f (x )＝x ＋1

x

(x >0)值域为________；

函数f (x )＝x ＋1

x

(x ∈R )值域为________；

（2）函数f (x )＝x 2＋

1

x 2

＋1

的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1

x

≥2

x ·1

x

＝2， ∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)；

当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；

(2)x 2

＋

1x 2＋1＝(x 2

＋1)＋1x 2＋1

－1 ≥2x 2＋1·

1

x 2

＋1

－1＝1， 当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞)

(－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)

例7：(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋

4

x －1

的最小值为________． 解析：x ＋

4x －1＝x －1＋4x －1

＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4

x －1

，即x ＝3时等号成立． 答案：5

例8：(1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4

x

＋x 的最大值为________．

(1)∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

4

－x

＋－x .

∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．

∴f (x )＝2－⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

4

－x ＋－x ≤2－4＝－2，

∴f (x )的最大值为－2. 例9：当x ＞0时，则f (x )＝

2x

x 2

＋1

的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋

1x

≤2

2

＝1，

当且仅当x ＝1

x

，即x ＝1时取等号．

例10：函数y ＝x 2＋2

x －1

(x >1)的最小值是________．

解析：∵x >1，∴x －1>0.

∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1

＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1

＝

x －1

2

＋2x －1＋3

x －1

＝x －1＋3

x －1

＋2 ≥2

x －1

3

x －1

＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3

x －1，即x ＝1＋3时，取等号．

答案：23＋2

例11：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝

1

a －2x

－x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a

2≥2

12－a 2＝2－a 2

. 当且仅当x ＝a －22

时取等号．

故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a

2

.

题型3：利用基本不等式求最值

例12：已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1

t

的最小值为________．

答案 －2

解析：∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1

t

－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．