2005年第5届中国西部数学奥林匹克竞赛试题

值.
www.100xuexi.com 网 习 学 才 圣4 .设 n 个新生中，任意 3 个人中有 2 个人互相认识，任意
4
www.100xuexi.com 网 学习 个人中有 2 个人互不认识.试求 n 的最大
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圣
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2005 年第 5 届中国西部数学奥林匹克竞赛
第一天
com （2005 年 11 月 5 日上午 8:00—12:00） 圣才学习网www.100xuexi. 学习网www.100xuexi.com 1.已知α2005 + β 2005 可表示成以α + β ，αβ 为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.
才 圣 圣才学2 .在习等腰网RtwΔAwBwC.中1，0C0Ax=uCeBx=i1，.cP o是mΔAB学C 边习界上网任意w一w点w..求1P0A⋅0PxBu⋅PeCx的i最.大c值o.m 才 圣
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3 .设正实数 a 、 b 、 c 满足 a + b + c = 1.证明10(a3 + b3 + c3) − 9(a5 + b5 + c5 ) ≥ 1.
才 圣
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3 .设 S = {1，2 ，"，2005} .若 S 中任意 n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求 n 的
最小值.
学习网www.100xuexi.com 网www.100xuexi.com n 才 ∑ 4 .已知实数 x1 ，x2 ，"，xn (n > 2) 满足 xi > 1，xi ≤ 1(i = 1，2 ，"，n) .求证：存在正整数 k ，使 圣 学习 i=1
才
圣
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k
n
∑ ∑ 得 xi − xi ≤ 1 .
才
i =1
i=k +1
圣
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才
圣
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第二天
（2005 年 11 月 6 日上午 8:00—12:00）
才 圣 2 .如图，过圆外一点 P 作圆的两条切线 PA 、 PB ， A 、 B 为切点，再过点 P 作圆的一条割线分别 圣交才圆学于C习、 D网两点w，w过w切.点10B0作xPuAe的x平i行.线c分o别m交直学线 A习C 、网ADw于wEw、.1F0.求0证x：ueBExi= .BFc.om
com 1.如图，:O1 、:O2 交于 A 、B 两点.过点 O1 的直线 DC 交 :O1 于点 D 且切 :O2 于点 C ，CA 切 :O1 圣才学习网www.100xuexi. 学习网www.100xuexi.com 于点 A ，:O1的弦 AE 与直线 DC 垂直.过点 A 作 AF 垂直于 DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段 AF .