2005年第5届中国西部数学奥林匹克竞赛试题

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第五届数学竞赛决赛试题及答案

第五届数学竞赛决赛试题及答案第五届数学竞赛决赛试题及答案一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）二、填空题（共40分，每小题5分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。

那么，这个等腰梯形的周长是__厘米。

3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。

这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。

原来至少有__人已经就座。

4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。

a=__，r=__。

5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。

他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。

其中年龄最大的老人今年____岁。

6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。

那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。

7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。

那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。

（每位选手的得分都是整数）8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。

那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。

三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。

列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。

现由甲工程队先修3天。

余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。

问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。

2005全国高中数学联赛试题及答案[1]

2005年高中数学联赛试卷（一）一、选择题1. 使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是（） A.36-B.3C.36+D.62. 空间四点A 、B 、C 、D ，满足3||=、4||=BC 、11||=、9||=，则⋅的取值（）A. 只有一个B. 有两个C. 有四个D. 有无穷多个 3. △ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线交此圆于A 1、B 1、C 1三点，则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值是（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，ABCD －A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（）A. S 是定值，l 不是定值B. S 不是定值，l 是定值C. S 、l 均是定值D. S 、l 均不是定值5. 方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（） A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线6. 记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（） A.43273767575+++ B. 43272767575+++ C. 43274707171+++ D. 43273707171+++二、填空题7. 将多项式2019321)(xx x x x x f +-+-+-= 表示为关于y 的多项式=)(y g202019192210y a y a y a y a a +++++ ，且4-=x y ，则2010a a a +++ =__________。

2005小学数学奥林匹克试题和解答

2005小学数学奥林匹克试题和解答PAGE1-NUMPAGES152005年小学数学奥林匹克预赛试卷(A)2005年3月20日上午8：30—9：301．计算：8-1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）＝______。

2．计算：=______。

3．已知，那么x=______。

4．设ab表示a/b＋b/a＋1/2，计算：(1992996)(996498)＝______。

5．图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为______。

6．按英国人的记法，2005年1月8日记作1-8-2005；按美国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005。

那么，2005年全年中共有______天会让英、美两国人在记法上产生误会。

7．某班在一次数学测验中，平均成绩是78分，男、女各自平均成绩是75.5与81分。

这个班男女生人数之比是______。

8．将+、－、×、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是______。

1/2□1/9，1/3□1/8，1/4□1/7，1/5□1/69．有四个正方体，棱长分别是1，1，2，3。

把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是______。

10．已知两个不同的单位分数的和是1/2004，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这两个单位分数的分母的差最小值是______。

11．用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色（如图所示），其他地方铺成白色的瓷砖。

如果铺满这个地面共用了97块黑色的瓷砖，那么白色的瓷砖用了______块。

12．A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离的5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在______时______分出发的。

中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)

+
√
3 6 2 i, z
= 1, |z | = 1.
√ 3 2 i)
−e
iπ 3
− 1 = (1 2 −
− (− 1 2 −
√
3 2 i)
− 1 = 0.
− z − 1 = 0有模为1的复根.
若z n+1 − z n − 1 = 0有模为1的复根eiθ = cos θ + i cos θ. 则z n+1 − z n − 1 = (cos(n + 1)θ − cos nθ − 1) + i(sin(n + 1)θ − sin nθ) = 0.
中国数学奥林匹克 (CMO) 历届试题及解答
1986-2005
第一届中国数学奥林匹克(1986年)
天津南开大学
1.已知 a1 , a2 , . . . , an 为实数, 如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 x1 + x2 + · · · + xn = 1 的任意非负实数 x1 , x2 , . . . , xn , 有不等式 a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 成立.请证明上述命题及其逆命题. 证明:原命题的证明:由0 (1)若ai 以ai + a1 xi 1, xi − x2 i 0, xi x2 i (i = 1, 2, . . . , n).
过P2 作平行于BC 的直线
EP2 P3 . ABC .证毕.
DP2 P3 ,也就不大于S
5.能否把1,1,2,2,. . . ,1986,1986这些数排成一行, 使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,. . . , 两个1986之间夹着1986个数.请证明你的结论. 解:不能.假设可以做出这样的排列,将已排好的数按顺序编号为1,2,. . . ,3972. 当n为奇数时,两个n的编号奇偶性相同;当n为偶数时,两个n的编号奇偶性不同. 而1到1986之间有993个偶数,所以一共有2k + 993个编号为偶数的数.(k ∈ N∗ ) 但是1到3972之间有1986个偶数,k = 496.5.矛盾.所以不能按要求排成这样一行. √ 6.用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色. 求证:一定存在一个边长为1或 3的正三角形,它的

第五届中国西部数学奥林匹克试题

第五届中国西部数学奥林匹克试题四川成都一、已知 20052005βα+ 可表示成以βα+，αβ 为变元的二元多项式, 求这个多项式的系数之和.二、如图, 过圆外一点P 作圆的两条切线PB PA ,，B A ,为切点，再过点P 作圆的一条割线分别交圆于 D C ,两点，过切点B 作PA 的平行线分别交直线AD AC ,于F E ,. 求证：BF BE =.三、设}2005,,2,1{ =S . 若S 中任意 n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求 n 的最小值. 四、已知实数nx x x ,,,21 （2>n ）满足∑=>ni i x 11||,1||≤i x （n i ,,2,1 =）.求证：存在正整数k , 使得 1||11≤-∑∑=+=ki nk i ii xx .第五届中国西部数学奥林匹克四川成都第二天（2005年11月6日上午8：00---12：00）五、如图，圆1O 与圆2O 交于B A ,两点. 过点1O 的直线DC 交圆1O 于D且切圆2O 于C ， CA 切圆1O 于A ，圆1O 的弦AE 与直线DC 垂直. 过A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足. 求证：BD 平分线段AF .六、在等腰直角ABC ∆中，1==CB CA , 点P 是ABC ∆边界上任意一点, 求PC PB PA ⋅⋅的最大值.七、设正实数 c b a ,,满足1=++c b a , 证明1)(9)(10555333≥++-++c b a c b a .八、设n 个新生中，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不认识. 试求 n 的最大值..O 1 FDECBA. O 2。

2005奥林匹克试题答案

2005奥林匹克试题答案2005年奥林匹克数学竞赛试题解答问题一：题目描述：给定一个正整数n，将其各位数字重新排列可以得到一个新的数。

证明：对于任意的n，都存在一种排列方式，使得排列后的数是n的倍数。

解答：首先，我们设n的各位数字为a1, a2, ..., ak，且a1 * a2 * ... * ak = n。

我们需要证明存在一种排列方式，使得排列后的数是n的倍数。

考虑n的倍数的性质，一个数是n的倍数当且仅当它与n的任意一个非零因子（除了1和本身）的余数都为0。

因此，我们需要证明存在一种排列方式，使得排列后的数与n的每个非零因子的余数都为0。

我们可以通过构造法来证明这一点。

首先，我们将n的每个因子（除了1和n本身）对应的数字串起来，得到一个新的数字序列。

然后，我们将这个新序列与n的原始数字序列进行比较，如果新序列的每一位都小于或等于原始序列的对应位，那么我们就可以通过将新序列的数字按照原始序列的顺序排列，得到一个新的数，这个新的数就是n的倍数。

如果不存在这样的排列方式，那么至少存在一个因子，其对应的数字序列在某些位上大于原始序列的对应位。

这时，我们可以将这个因子对应的数字序列中大于原始序列对应位的数字与原始序列中的数字交换，然后再次进行比较。

通过有限次的交换，我们总能找到一种排列方式，使得新序列的每一位都不大于原始序列的对应位，从而证明了存在一种排列方式，使得排列后的数是n的倍数。

问题二：题目描述：给定一个正整数序列a1, a2, ..., an，其中每个数都是1或-1。

证明：序列中1的个数减去-1的个数是偶数。

解答：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。

首先，当序列中只有一个数时，显然1的个数减去-1的个数是0，是一个偶数。

假设当序列中有k个数时，结论成立，即1的个数减去-1的个数是偶数。

现在考虑序列中有k+1个数的情况。

我们可以从序列中去掉一个数，根据归纳假设，剩下的k个数中1的个数减去-1的个数是偶数。

2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案

2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案1、计算：11024 +1512 +1256 + (12)+1+2+4+8+……+1024= 2、计算：1+10+41035 +22463 +15199 +17143= 3、有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是（）。

4、设M 、N 都是自然数，记PM 是自然数M 的各位数字之和，PN 是自然数N 的各位数字之和。

又记M*N 是M 除以N 的余数。

已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是（）。

5、如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB 将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG 的面积是（）。

6、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是（）。

7、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。

如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了（）升。

8、在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。

那么“新年好”所代表的三位数是（）。

9、有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。

那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的（）倍。

10、从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。

如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是（）。

11、有A 、B 、C 、D 、E 五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。

当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：队名获胜场数平局场数失败场数进球个数失球个数A 2 1 0 4 1B 1 2 0 4 2C 1 1 1 2 3D 1 0 3 5 5E 0 2 1 1 5已知A 与E 以及B 与C 都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B 与D 两队之间的比分是（）。

第5届中国西部数学奥林匹克试题与解答

第5届中国西部数学奥林匹克试题与解答
朱华伟
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2005(000)012
【总页数】2页(P33-34)
【作者】朱华伟
【作者单位】广州大学计算机教育软件研究所
【正文语种】中文
【中图分类】G
【相关文献】
1.第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答 [J], 马德里
2.第24届中国数学奥林匹克冬令营试题及解答 [J], 无
3.2006年中国数学奥林匹克（第21届全国中学生数学冬令营）试题解答 [J],
4.2009／10年英国数学奥林匹克第一轮试题及解答 [J], 费振鹏
5.第六届中国西部数学奥林匹克试题及略解 [J],
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历届西部数学奥林匹克试题

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1）求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2）求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳平供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件：（1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。

2005全国数学奥林匹克决赛试题(B)和答案

2005全国数学奥林匹克决赛试题(B)1．计算：＝________。

2．计算：＝________。

3．乘积125×127×129×131×133×…×163×165的末三位数是________。

4．对于正整数a与b，规定a*b=a×（a＋1）×（a＋2）×…×(a＋b－1)。

如果(x*3)*2＝3660，那么x＝________。

5．如图，已知AADE，ACDE和正方形ABCD的面积之比为2∶3∶8，而且△BDE的面积是5平方厘米，那么四边形ABCE的面积是________平方厘米。

6．已知九位数2005□□□□□是2008的倍数，这样的九位数共有________个。

7．二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地从1开始连续报数。

如果报2和报200的是同一个人，那么共有________个小朋友。

8．有两筐苹果，要分给三个班，甲班得到全部苹果的，乙班和丙班分得苹果数量之比为7∶5。

已知第二筐苹果是第一筐苹果的，如果从第一筐中拿出20千克苹果放入第二筐，则两筐苹果的重量相等。

那么甲班比乙班多分得苹果________千克。

9．有一个棱长是12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔。

穿孔后木块的体积是________立方厘米。

10．如果能被11整除，那么n的最小值是________。

11．少年跳水大奖赛的裁判由若干人组成，每名裁判给分最高不超过10分。

第一名选手跳水后得分情况是：全体裁判所给分数的平均分是9.68分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判所给的分数的平均分是9.62分；如果只去掉一个最低分，则其余的分数的平均分是9.71分。

那么所有裁判所给分数中最少可以是________分，此时共有裁判________名。

12．甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，在A，B之间往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。

2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案

4、设M 、N 都是自然数，记PM 是自然数M 的各位数字之和，PN 是自然数N 的各位数字之和。

又记M*N 是M 除以N 的余数。

已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是（）。

5、如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB 将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG 的面积是（）。

7、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。

如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了（）升。

8、在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。

那么“新年好”所代表的三位数是（）。

9、有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。

那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的（）倍。

10、从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。

如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是（）。

11、有A 、B 、C 、D 、E 五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。

调和点列(一)解析

调和点列(一)一、线段调和分割的基本概念如果线段AB 被两点C,D 内分与外分成同一比例，则称线段AB 被点C 和D 调和分割.亦称点列A,B;C,D 为调和点列.显然，当C,D 调和分割AB 时，也可称A 、B 两点调和分割CD.有时也称点C 和D 是线段AB 的调和共轭点.若从共点直线外任一点P 作射线PA,PC,PB,PD ，则可称射线束为调和线束，且PA 与PB 共轭，PC 与PD 共轭.二、调和点列的性质调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质.性质1 设A,C,B,D 是共线四点，点M 为AB 中点，则C,D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下述六个条件之一. (1)点AB 调和分割CD.(2)112AC AD AB+=. (3) 22AB CD AD BC AC DB ∙=∙=∙. (4) CA CB CM CD ∙=∙.(5) DA DB DM DC ∙=∙.(6)22MA MB MC MD ==∙.性质2 设A,C,B,D 是共线四点，过共点直线外一点P 引射线PA,PC,PB,PD ，则C,D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下述两个条件之一.(1)线束PA,PC,PB,PD ，其中一射线的任意平行线被其他三条射线截出相等的两线段.(2)另一直线l 分别交射线PA,PC,PB,PD 于点A ’,C ’,B ’,D ’时，点C ’,D ’调和分割线段A ’B ’.性质3 对线段AB 的内分点C 和外分点D ，以及直线AB 外一点P ，给出如下四个论断：①PC 是∠APB 的平分线.②PD 是∠APB 的外角平分线.③C,D 调和分割线段AB.④PC ⊥PD.以上四个论断中，任选两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题.性质4 三角形的一边被其边上的内(旁)切圆的切点和另一点调和分割的充要条件是，另一点与其余两边上的两个切点三点共线.性质5 从圆O 外一点A 引圆的割线交圆O 于C,D ，若割线ACD 与点A 的切点弦交于点B ，则弦CD 被A,B 调和分割.三、几个推论1、性质2的推论：推论1 梯形的两腰延长线的交点和两对角线的交点调和分割两底中点的连线.推论2完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割.推论3过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边或其延长线相交，所得线段被此对角线所在直线上的交点平分.S2、性质3的推论：推论4三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割.推论5两外离不等圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割.推论6若C,D两点调和分割圆的直径AB，则圆周上任一点到C,D两点的距离之比是不等于1的常数.反之，若一动点到两定点的距离之比为不等于1的常数，则该动点的轨迹是一个圆.(Apollonius圆)推论7从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点连线，垂直于这条连线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割.推论8一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是，已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交(即交点处切线相互垂直).推论9设点C是△AEF的内心，角平分线AC交边EF于点B，射线AB交△AEF的外接圆圆O2于点O，则射线AB上的点D为△AEF的旁心的充要条件是AC DOCB OB=.推论10设△AEF的角平分线AB交EF于点B，交△AEF的外接圆于点O，则22OE OF OA OB==∙.3、性质4的推论：推论11若凸四边形有内切圆，则相对边上的两切点所在直线与凸四边形一边延长线的交点和这一边上的内切圆切点调和分割这一边.4、性质5的推论：推论12从圆O外一点A引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边形的对角线相交于点B，设直线AB交圆O于C,D，则A,B调和分割CD弦.四、调和点列的性质应用例1如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA,PB，A,B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于C,D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC,AD于E,F，求证：BE = BF. (2005年第5届中国西部数学奥林匹克题)E例2如图，在△ABC中，AD⊥BC，H为AD上任意一点，CH,BH分别与AB,AC交于点E,F，求证：∠EDA =∠FDA. (第18届普特南B.1)(1987年友谊杯国际竞赛)(第14届爱尔兰奥林匹克)(第26届加拿大奥林匹克)B例3 如图，在△PBC 中，∠PBC =60°，过点P 作△PBC 的外接圆圆O 的切线，与CB 的延长线交于点A.点D,E 分别在线段PA 和圆O 上，使得∠DBE =90°，PD=PE ，连接BE 与PC 相交于点F.已知AF,BP,CD 三线共点. (1)求证：BF 是∠PBC 的平分线.(2)求tan ∠PCB 的值. (2006年西部数学奥林匹克题)例4 如图，已知A 为圆O 外一点，过A 引圆O 的割线交圆O 于点B,C ，且点B 在线段AC 内部.过点A 引圆O 的两条切线，切点分别为S,T.设AC 与ST 交于点P ，证明：2AP ABPC BC=∙. (第21届北欧数学竞赛题)例5如图，已知△ABC的外心为O，P为OA延长线上一点，直线l与PB关于BA对称，直线h与PC关于AC对称，l与h交于点Q.若P在OA的延长线上运动，求Q的轨迹. (第38届奥地利奥林匹克题)B例6如图，过锐角△ABC的顶点A,B,C的三条高分别交对边于点D,E,F，过点D平行于EF的直线分别交AC,AB于点Q,R，EF交BC于点P.证明：△PQR的外接圆过BC的中点. (第38届IMO预选题)B例7如图，设O和I分别为△ABC的外心和内心，△ABC的内切圆与边BC,CA,AB 分别相切于点D,E,F，直线FD与CA相交于点P，直线DE与AB相交于点Q，点M,N分别为线段PE,QF的中点，求证：OI⊥MN. (2007年CMO试题)例8如图，已知AB是圆O的弦，M是AB的中点，C是圆O外任一点，过点C作圆O的切线CS,CT，连接MS,MT分别交AB于点E,F.过点E,F作AB的垂线，分别交OS,OT于点X,Y，再过点C任作圆O的割线，交圆O于点P,Q，连接MP 交AB于点R，设Z是△PQR的外心，求证：X,Y,Z三点共线.(2007年国家队选拔赛题)Q。

2005中国数学奥林匹克

2005中国数学奥林匹克第一天一、设.4,3,2,1),2,2(=-∈i i ππθ证明：存在∈θR ，使得如下两个不等式 ,0)sin (cos cos 2212212≥-⋅-⋅x ms θθθθ ①0)sin (sin cos cos 2434232≥-⋅-⋅x θθθθ②同时成立的充分必要条件是).cos sin 1(2sin4141241i i i i i i θθθ∏∏∑===++≤ ③ 二、一圆与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的交点依次为D 1、D 2、E l 、E 2、F 1、F 2．线段D l E l 与D 2F 2交于点L ，线段E l F l 与E 2D 2交于点M ，线段F l D l 与F 2E 2交于点N ．证明：AL 、BM 、CN 三线共点．三、如图所示，圆形的水池被分割为2 n(n≥5)个“格子”.我们把有公共隔墙(公共边或公共弧)的“格子"称为相邻的，从而，每个“格子”都有三个邻格．水池中一共跳入了4 n+1只青蛙，青蛙难于安静共处．只要某个“格子"中有不少于三只青蛙，那么，迟早一定会有其中三只分别同时跳往三个不同邻格．证明：只要经过一段时间之后，青蛙便会在水池中大致分布均匀．注：所谓大致分布均匀，就是任取其中一个“格子"，或者它里面有青蛙，或者它的三个邻格里都有青蛙．第二天四、已知数列{a n }满足条件：.2,2332,1621111≥=-=+-n a a a n n n ① 设m 为正整数，m≥2．证明：当n ≤m 时，有⋅+--<-+-+11])32([)23(2)1(13n m m m a m m n m n n ②五、在面积为l 的矩形ABCD 中(包括边界)有五个点，其中任意三点不共线．求以这五个点为顶点的所有三角形中，面积不大于41的三角形的个数的最小值．六、求方程17532=⋅⋅⋅w z y x 的所有非负整数解(x,y,z,w)．。

第五届西部数学奥林匹克

第五届西部数学奥林匹克四川成都第一天（2005年11月5日上午8：00---12：00）一、已知 20052005βα+ 可表示成以βα+，αβ 为变元的二元多项式,求这个多项式的系数之和.解1：在k k βα+的展开式中，令,1=+βα1=αβ，其所求系数之和为k S .由 )()())((2211----+++=++k k k k k k βααββαβαβα，有21---=k k k S S S ，从而 3232)(-----=--=k k k k k S S S S S ，同理 63---=k k S S . 所以， 6-=k k S S .于是，数列}{k S 是周期为6的周期数列. 故112005==S S .解2：在k k βα+的展开式中，令,1=+βα1=αβ，其所求系数之和为k S . 则βα,是方程012=+-x x 的根. 解得3sin 3cos ππαi +=，3sin 3cos ππβi -=，从而k k k k i i )3sin 3(cos )3sin 3(cos ππππβα-++=+)3sin 3(cos )3sin 3(cos ππππk i k k i k -++=.3cos 2πk =取2005=k ，得.1=kS二、如图, 过圆外一点P 作圆的两条切线PB PA ,，B A ,为切点，再过点 P 作圆的一条割线分别交圆于 D C ,两点，过切点B 作PA 的平行线分别交直线AD AC ,于F E ,. 求证：BF BE =.证明: 连 BD BA BC ,,, 则E PAC ABC ∠=∠=∠.所以, AEB ABC ∆∆~.从而AC AB BC BE =, 即ACBCAB BE ⋅=---------(1) 又ADB PAB ABF ∠=∠=∠, 所以ADB ABF ∆∆~, 从而AD AB BD BF =, 即ADBDAB BF ⋅=--------(2) 另一方面, 因为PDB PBC ∆∆~, PAD PCA ∆∆~.所以PB PC BD BC =, PAPCAD AC =. 而PB PA =, 所以ADACBD BC =-------（3）于是 ADBDAC BC =.故由（1）（2）（3）三式即知BF BE =. 三、设}2005,,2,1{ =S . 若S 中任意 n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求 n 的最小值.解:首先, 我们有16≥n .事实上, 取集合}43,41,,5,3,2,1{222220 =A 则S A ⊆0, 15||0=A , 0A 中任意两数互质, 但其中无质数, 这表明16≥n .其次, 我们证明: 对任意16||,==⊆A n S A ， A 中任两数互质, 则A 中必存在一个质数.利用反证法, 假设A 中无质数. 记},,,{1621a a a A =，分两种情况讨论. (1) 若 A ∉1, 则1621,,,a a a 均为合数, 又因为)161(1),(≤<≤=j i a a j i ,所以i a 与j a 的质因数均不相同,设i a 的最小质因数为i p ,不妨设1621p p p <<< ,则200547,,3,222151522222211>≥≥≥≥≥≥p a p a p a ,矛盾. (2) 若A ∈1, 则不妨设15116,,,1a a a =均为合数,同(1)所设,同理有200547,,3,222151522222211>≥≥≥≥≥≥p a p a p a ,矛盾.由(1),(2)知, 反设不成立, 从而A 中必有质数, 即16||==A n 时结论成立.综上, 所求的n 最小值为16.四、已知实数n x x x ,,,21 （2>n ）满足∑=>ni i x 11||, 1||≤i x （n i ,,2,1 =）.求证：存在正整数k , 使得 1||11≤-∑∑=+=ki nk i ii xx .解：令,)(),11()(,)0(1111∑∑∑∑=+====-≤≤-=-=ni i nk i iki i n i i x n g n k x x k g x g则,2||2|)0()1(|1≤=-x g g,2,,2,1,2||2|)()1(|1-=≤=-++n k x k g k g k.2||2|)1()(|≤=--n x n g n g所以对任何10-≤≤n k 均有,2|)()1(|≤-+k g k g (1)假设结论不对,则由条件对任何n k ≤≤0均有1|)(|>k g , (2)这时若存在10-≤≤n i 有0)1()(<+i g i g ,则不妨设0)1(,0)(<+>i g i g , 这时由(2)知,1)1(,1)(-<+>i g i g 故,2|)()1(|>-+i g i g 与(1)矛盾.于是)(,),1(),0(n g g g 同号,但0)()0(=+n g g ,矛盾.故结论成立.第五届西部数学奥林匹克四川成都第二天（2005年11月6日上午8：00---12：00）五、如图，圆1O 与圆2O 交于B A ,两点. 过点1O 的直线DC 交圆1O 于D 且切圆2O 于C ， CA 切圆1O 于A ，圆1O 的弦AE 与直线DC 垂直. 过A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足. 求证：BD 平分线段AF .证：设AE 交DC 于H ，AF 交BD 于G ，连接GH CE BE BH BC AB ,,,,,，由对称性知CE 边也是圆O 的切线，H 为AE 的中点.BEH BAC BAC HCB ∠=∠∠=∠, ， E C B H HEB HCB ,,,,∠=∠∴四点共圆，BEC BHC ∠=∠∴.又BDE BEC ∠=∠，BDE BHC ∠=∠∴. ① BDE AGB DE AF ∠-=∠⇒⊥2π， ② BHC AHB DC AE ∠-=∠⇒⊥2π， ③由①②③得：AHB AGB ∠=∠，B H G A ,,,∴四点共圆，.O 1 FDECB A. O 2HAED ABG AHG ∠=∠=∠∴， DE GH //∴.而H 为AE 的中点，故G 为AF 的中点.六、在等腰直角ABC ∆中，1==CB CA , 点P 是ABC ∆边界上任意一点,求PC PB PA ⋅⋅的最大值.解:首先证明取到最大值只有当AB P ∈时, 才可能取到. (1)当AC P ∈时，有2,41≤≤⋅PB PC PA ，故42≤⋅⋅PC PB PA ，其中等号不成立（因为两个等号不可能同时成立），即42<⋅⋅PC PB PA . （2）当AB P ∈时，设]2,0[∈=x AP ，则)21()2()(222222x x x x PC PB PA x f -+-=⋅⋅=. 令)2(x x t -=，则)1()()(],21,0[2t t t g x f t -==∈.注意到)32(32)(2/t t t t t g -=-=，故)(t g 在]32,0[上递增，81)21()(=≤∴g x f ，故42221=≤⋅⋅PC PB PA . 等号成立当且仅当22,21==x t ，即P 为AB 的中点时取等号. 七、设正实数 c b a ,,满足1=++c b a , 证明 1)(9)(10555333≥++-++c b a c b a . 证明：][)(51),(31253∑∑∑∑+⋅+∏-=+∏-=ab a b a a b a a∴原不等式1)])((51[9)](31[102≥++∏--+∏-⇔∑∑ab a b a b a)(30))((452b a ab a b a +∏≥++∏⇔∑∑CPA（1）（2）CPBA)2(2)(22)(322∑∑∑∑∑+==≥+⇔ab a a ab a ∑∑≥⇔ab a 2 （*）而ac a c bc c b ab b a 2,2,2222222≥+≥+≥+故∑∑≥ab a 222，即∑∑≥ab a 2，即（*）成立. 从而原不等式成立.八、设n 个新生中，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不认识. 试求 n 的最大值. 解：所求n 的最大值为8.当8=n 时，如右图所示的例子满足要求，其中821,,,A A A 表示8个学生，i A 与j A 连线表示i A 与j A 认识，否则不认识.下设n 个学生满足题设要求，我们来证明8≤n .为此，我们先来证明如下两种情况不可能出现：①若某人A 至少认识6个人，设为61,,B B ，由Ramsey 定理，这6个人中存在3个互不相识（这与已知任3个人中有2个相识矛盾）；或存在3个人互相认识，这时A 与这3个人共4人两两互相认识，亦与已知矛盾.②若某人A 至多认识5-n 个人，则剩下至少4个人均与A 不相识，从而这4个人两两相识，矛盾.其次，当10≥n 时，①与②必有一种情况出现，故此时n 不满足要求当9=n 时，要使①与②均不出现，则此时每个人恰好认识其他5个人，于是这时9个人产生的朋友对（相互认识的对子）的数目为A 1A 2A 5A 8A 7A 3A 4A 6*259N ∉⨯，矛盾！由上可知，满足要求的8≤n .综上，所求n 的最大值为8.。

历届西部数学奥林匹克试题

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x2m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1）求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2）求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a 2−4a+11+15b 2−4b+11+15c 2−4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳平供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件：（1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a2+b2+c2.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。

2005年小学数学奥林匹克竞赛六年级组试题(卷)

解法2：25分钟后大和尚挑水返回3次，共挑水180千克，小和尚挑水返回5次，共挑水100千克，大、小和尚共挑水280千克。

老和尚要等到水缸中已足够他挑一担(50千克)时才开始工作，若水缸中的水少于50千克，那就等到够挑一担。

所以老和尚至多挑水5次去浇菜，共挑水250千克，所以25分钟后水缸中有30千克水。

那么时间上能不能保证让老和尚挑水5次去浇菜呢？由题意知：10分钟后，大和尚挑水返回一次，小和尚挑水返回二次，共挑水100千克，老和尚刚好挑水2次去浇菜，因此考虑等待时间，老和尚每次挑50千克水，实际浇一次菜平均需要5分钟，25分钟能保证让老和尚挑水5次去浇菜，休解法合情合理。

34陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生长，长的一样快。

这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。

问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为响应西部大开发，保护生态环境，防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？羊吃草问题就是传统的牛顿问题，解题关健是要抓住原有的和新增加的量，通常用折算法求解较为方便. 解法1、100只羊吃草200天=牧场中原有的和200天新长出的草=1只羊吃20000天的草，150只羊吃草100天=牧场中原有的和100天新长出的草吃=1只羊吃15000天的草，两者之差就是100天新长出的草=1只羊吃5000天的草，1天新长出的草=1只羊吃50天的草=50只羊吃1天的草，即每天新长出的草刚好够50只羊；牧场中原有的草=1只羊吃15000天的草－100天新长出的草（1只羊吃5000天的草）=1只羊吃10000天的草，250只羊1天的草－1天(当天)新长出的草=200只羊1天的草=1只羊吃200天=原有的草的一部分，牧场中原有的草=1只羊吃10000天 , 放牧250只羊可以吃多少天？要用10000÷200=50天。

解法2、每天新长出的草=50只羊可当天吃完，也就是说不管吃草天数多长，放牧多少只羊，专用50只羊可吃掉每天新长出的草，放牧250只羊中将会有200只专用来吃掉原有的草，牧场中原有的草=1只羊吃10000天=200只羊吃50天，就是答案，即放牧250只羊可以吃50天。

拉格朗日乘数法在求解多元最值问题中的应用

性质，可知 8x2+23y2的最大值是 160．
襛小试牛刀
例２（1993年全国联赛试题）实数
x，y 满足 4x2－5xy +4y2=5，设 S =x2+y2，则
1 + 1 的值为________． Smax Smin
分析：首先令f（x，y）=x2+y2，φ（x，y）=
4
4
C．最大值 17 %% D．最小值 17
4
4
分析：令f（x，y）=xy+ 1 ，φ（x，y）=x+ xy
y+1，
y－ 1
由 fx（x，y） = fy（x，y）圯 x2y =
φx（x，y） φy（x，y）
1
x－ 1 y2x ，解得x=y，代入φ （x，y）=0可得 1
圯
圯圯x=－
zx的最大值．
分析：令 f （x，y，z）=3xy+yz+zx，φ （x，
y，z）=2x+2y+z－1，
由 fx（x，y，z） = fy（x，y，z） =
φx（x，y，z）
φy（x，y，z）
fz（x，y，z）圯 3y+z = 3x+z = x+y 圯x=y=
φz（x，y，z） 2
21
2
4
0可得
襛
襛襛y2=
80
，
襛襛襛
1645
圯
襛
襛襛x2=
232×20
襛襛襛
1645
襛
襛襛y2=
320
，
襛
或襛襛圯
47
襛
襛襛x2=

全国初中数学竞赛试题及答案(2005年)

2005年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：(每题7分，共42分) 1、化简：11459+302366402＋－－A 、无理数B 、真分数C 、奇数D 、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A 、78.5 B 、97.5 C 、90 D 、1023、设r ≥4，a ＝11r r+1－，b 11r r+1，c 1r(r +r+1)，则下列各式一定成立的是＿＿。

A 、a>b>cB 、b>c>aC 、c>a>bD 、c>b>a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A 、5B 、6C 21252－πD 21162－π5、已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示， y 记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则＿＿。

A 、p>q B 、p ＝q C 、p<q D 、p 、q 大小关系不能确定0 1 x 6、若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345x +x +x +x +x 的未位数字是＿＿。

A 、1B 、3C 、5D 、7 二、填空题(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

2、227x +9x+13+7x 5x+13=7x －，则x ＝＿＿＿。

3、若实数x 、y 满足3333y x =1,3+43+6＋3333y x =1,5+45+6＋则x ＋y ＝＿＿。

4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。