偏导数(习题课)

的规律,总有唯一确实的数值和 它们对应，则变量 z叫做变量x, y
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
2z x 2

ex
sin(2x

y)

2e x
cos(2x

y)

2e x
cos(2x

y)
4ex
sin(2x

y)
2z y 2

e x
s in(2 x

y)
2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) xy
ZPZX2
偏导数的概念:
如果函数z f (x, y)在平面区域 D内每一点(x, y)处对于x
（或y)的偏导数都存在，则称 函数f (x, y)在D内有对x(或y)
偏导函数,简称偏导数,记作
z x
,
f x
,
zx ,
f x (x,
y). f x(x,
y)
或
z y
,
f y
,
zy
,
z x

f（x x, y).
z y

f y (x, y).
一般来说,这两个偏导数还是 x, y的函数，如果它们又存 在对
x或对y的偏导数，我们就定义 为函数z f (x, y)的二阶偏导数。
可定义二元函数的二阶偏导数如下
z 2 z
( ) x x
x 2

fxx(x, y)
JPZX6
f y ( x, y). f y( x, y)
ZPZX3
根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数, 并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求 导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍 然适用.
例1 求z x2 sin 2 y的偏导数。
解 为求 z ,视y看作常数，对x求导，得
yx
JPZX7
• 提问：混合偏导数一定相等吗？满足什么条件？ 结论：在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的
最终值和求导次序无关即二阶混合偏导数相 等。
JPZX８
例3 求z ex sin(2x y)的所有二阶导数
解 z ex sin(2x y) 2ex cos(2x y)
x
z 2x sin 2y x
ZPZX4
为求 z ,视x看作常数，对 y求导，得 z 2x2 cos 2 y
y
y
例2 设f (x, y) x y x2 y2 ,求fx(3,4), f y(0,5)
解
因为fx(x, y) 1 2
2x 1
x2 y2
( z ) y x
2z xy

fxy (x, y)
x
( z ) y

2z yx

f yx(x,
y)
y
( z ) y
2z y 2

f yy(x, y)
这里，fxy表示函数z f (x, y)先对自变量x求偏导数.
f
xy和f
通常称为二阶混合偏导数。