微分方程模型.ppt
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微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
第四章 微分方程数学模型
s 0 在轨线方程中，令t知 1 s ln s0 s是[0， ]中的单根 1 1
3)、若s0
1
, 则i(t )先增加，当 s
1
1
时，i(t )达到最大
im 1
(1 ln s0 ), 然后减小趋于0, s(t ) s
若s0
1
, 则i(t )单调趋于0，(i)单调趋于s s
i0
i0
1
i
1
i
1
O
1
1
1
t
i0
O
t
O
t
1 1 i ( ) 0 1
1 1
1 ~ 阈值
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 i(t )按S曲线增长 健康人数不超过病人数
直接求解方程，亦可得到上述结果
di i (1 i ) i dt i (0) i0
时
i0 i (t ) i0 t 1
1
时
1 ( ) t e i(t ) i 0
x s0
i0小， 0 1 s
x x ln(1 ) 0 s0 1
x x2 x ( 2)0 s0 2 s 0 1
x 2s0 ( s0
1
)
令 s0 1 , 又 较小, s0 1)
x 2
模型检验 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广 义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康 复还是死亡对模型并无影响。
代数方程组 f ( x, y ) 0, g ( x, y ) 0. 的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
3)、若s0
1
, 则i(t )先增加，当 s
1
1
时，i(t )达到最大
im 1
(1 ln s0 ), 然后减小趋于0, s(t ) s
若s0
1
, 则i(t )单调趋于0，(i)单调趋于s s
i0
i0
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1
i
1
O
1
1
1
t
i0
O
t
O
t
1 1 i ( ) 0 1
1 1
1 ~ 阈值
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 i(t )按S曲线增长 健康人数不超过病人数
直接求解方程，亦可得到上述结果
di i (1 i ) i dt i (0) i0
时
i0 i (t ) i0 t 1
1
时
1 ( ) t e i(t ) i 0
x s0
i0小， 0 1 s
x x ln(1 ) 0 s0 1
x x2 x ( 2)0 s0 2 s 0 1
x 2s0 ( s0
1
)
令 s0 1 , 又 较小, s0 1)
x 2
模型检验 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广 义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康 复还是死亡对模型并无影响。
代数方程组 f ( x, y ) 0, g ( x, y ) 0. 的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
微分方程模型
• 2.假设该森林只有这一家伐木场。
二 变量说明
• W(t) 第t年伐木厂将砍伐的树木（单位： 百万方）
• Q 森林的木材储量（单位：百万方）
•X
可供砍伐的年数
三 模型的建立
• 对于第一问： • 因为砍伐树木的速度为砍伐树木的数量关
于时间的变化率，即
dW (t ) R (t ) 2 e 0.2t dt
利用微元法，有
W (5) 5 2 e 0.2 t dt 0
• 对于第二问： • 当森林的木材储量为Q百万方时，设第x年
砍伐完，则有
Q x2e0.2tdt 0
四 模型求解
• 对于问题一 • >>syms x • >>int(2*exp(-0.2*t),t,0,5) • ans=-10*exp(-1)+10 • >> -10*exp(-1)+10 • ans=6.3212
一 模型的假设
• 1.假设今后10年学校的在校生人数均按 280e0.2x 的速度递增，不能出现其他变故 2假设宿舍10年后还能正常使用
二 变量说明
• P(t) 从2005年起的第t年新欣学校的在校人 数
三 模型的建立
由题意知 P'(x) dP 280e0.2x
dx
• 利用微元法，在区间[x,x+dx]上，可将学校 在校人数的增长率视为常数，增加的人数 为
四 模型求解
• 解法一 • 1.求通解 • x(t)=De^-kt • 药物的浓度为 • C(t)=x(t)/V=De^-kt/V • 2.求特解 • 将初始条件x(0)=43.2代入通解，得D=43.2.又因
为V=35000，所以满足该条件的特解为
二 变量说明
• W(t) 第t年伐木厂将砍伐的树木（单位： 百万方）
• Q 森林的木材储量（单位：百万方）
•X
可供砍伐的年数
三 模型的建立
• 对于第一问： • 因为砍伐树木的速度为砍伐树木的数量关
于时间的变化率，即
dW (t ) R (t ) 2 e 0.2t dt
利用微元法，有
W (5) 5 2 e 0.2 t dt 0
• 对于第二问： • 当森林的木材储量为Q百万方时，设第x年
砍伐完，则有
Q x2e0.2tdt 0
四 模型求解
• 对于问题一 • >>syms x • >>int(2*exp(-0.2*t),t,0,5) • ans=-10*exp(-1)+10 • >> -10*exp(-1)+10 • ans=6.3212
一 模型的假设
• 1.假设今后10年学校的在校生人数均按 280e0.2x 的速度递增，不能出现其他变故 2假设宿舍10年后还能正常使用
二 变量说明
• P(t) 从2005年起的第t年新欣学校的在校人 数
三 模型的建立
由题意知 P'(x) dP 280e0.2x
dx
• 利用微元法，在区间[x,x+dx]上，可将学校 在校人数的增长率视为常数，增加的人数 为
四 模型求解
• 解法一 • 1.求通解 • x(t)=De^-kt • 药物的浓度为 • C(t)=x(t)/V=De^-kt/V • 2.求特解 • 将初始条件x(0)=43.2代入通解，得D=43.2.又因
为V=35000，所以满足该条件的特解为
第七次讲课课件微分方程模型
解得： ln8 / 6 0.2877 t0 2.0607
这时求得的t0是大象从死亡时间到被发现的时间（即上午 10点），因此反推回去可知大象被猎杀的时间是早上8点 左右.
四、猪的最佳销售时机
问题的提出： 养猪是否获利，怎样获得最大利 润？如果把饲养技术水平，猪的类型 等因素忽略不计，且不考虑市场需求 的变化，那么影响获利大小的一个主 要因素就是选择猪的售出时机.
试作出适当的假设，建立猪的 最佳销售时机的数学模型.
主模型的建立——利润模型
模型假设： x(t)为t 时刻的体重； y(t)表示一头猪从开始饲养到t时刻共 消耗的费用（包括人员工薪等）； xs为猪可上市销售的最小体重； ts为猪从体重x0增长至xs所需的饲养时 间； p(t,x)为t 时刻体重为x的猪的单位售价.
微分方程模型
平衡原理和数学模型
“平衡”是我们在现实生活中随处可见的一个现象． 如：物理中的能量守恒和动量守恒定律都是在描述物 理中的能量和动量平衡的现象． 再如考虑一段时间内(或一定的范围内)物质的变化， 我们会发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少 量之差也处于平衡的状态(我们称这种平衡规律为物质平 衡原理)． 我们统称这些描述平衡现象的规律为平衡原理． 由于这种平衡关系比较容易由数学表达式给出，注意 发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是数学模型组建过程 中的一个关键问题.
流出盐量
t t
t
p( )rO ( )d
p( t t )V ( t t ) p(t )V (t ) [ pI ( )rI ( ) p( )rO ( )]d t • 利用积分中值定理可得
t t
p(t t )V (t t ) p(t )V (t )
微分方程的稳定性模型_图文_图文
甲乙两种群的相互依存有三种形式
1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
模型 假设
• 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律 ; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长 。 • 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙 提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身 的阻滞作用 (服从Logistic规律)。
假设
• 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快；
2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存
在增加军备的潜力。
进一步 假设
1）2）的作用为线性；3）的作用为常数
建模 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18
相轨线趋向极限环 结构稳定
实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t) 的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保 持稳定的条件，即时间 t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接 求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
由于
讨论方程(1)的稳定性时，可用
对于消耗甲的资源而言
，乙(相对于N2)是甲(相
对于N1)的1 倍。
对甲增长的阻滞 作用，乙小于甲 乙的竞争力弱
2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝
1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
模型 假设
• 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律 ; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长 。 • 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙 提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身 的阻滞作用 (服从Logistic规律)。
假设
• 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快；
2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存
在增加军备的潜力。
进一步 假设
1）2）的作用为线性；3）的作用为常数
建模 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18
相轨线趋向极限环 结构稳定
实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t) 的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保 持稳定的条件，即时间 t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接 求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
由于
讨论方程(1)的稳定性时，可用
对于消耗甲的资源而言
，乙(相对于N2)是甲(相
对于N1)的1 倍。
对甲增长的阻滞 作用，乙小于甲 乙的竞争力弱
2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝
培训资料--微分方程模型人口模型等
x0
x0 0
t
人口发展方程
• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
F(r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数 r ( ) ~ 最高年龄
m
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) m p(r, t) F r
人口发展方程
f
(t
)
(t
)r2 r1
h(r,
t
)k
(r,
t
)
p(r,
t
)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p 0
(r
r
t)e (s)ds r t r
,
0
t
r
f (t r)e0(s)ds , t r
p0 (r)
• 正反馈系统
(r,t) p(r,t)dt, dt dr1
p p (r,t) p(r,t) 一阶偏微分方程
r t
p
r
p t
(r, t )
p(r, t )
人口发展方程
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t)
f
(t ),
t0
~生育率（控制人口手段）
p0 (0) f (0) --------相容性条件
b(r,
t)k
(r,
t)
p(r,
t)dr
b(r,t) (t)h(r,t)
0
r2 r1
h(r , t )dr
1
h~生育模式
(t)
03-1第三章-第1-8节-微分方程模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(5 13)
将(5-10)和( pr 2
ur
(5 14)
最终f 把 (54-1pA4r2)2m和r(05-6)代r0入(rr5-4)式得 (5 15) r 这里 0 是单位向径，指示向径方向。
(5-15)式表白： (1)行星运动时受旳力旳方向与它旳向径方向
相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹旳水平和 铅垂方向旳坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
mx(t) F cos
my(t) F sin mg
(2 3)
式中m为铅球旳质量，F是对铅球旳推力， 为力旳
方向既铅球旳出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
22
§4 追踪问题旳数学模型
问题：我辑私舰雷达发觉距d海里处有一艘走私船正
以匀速 a沿直线行驶，辑私舰立即以最大旳速度 （匀v速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰旳瞬时
速度方向一直指向走私船，试求辑私舰旳运动轨迹 及追上旳时间。
(留作自学)
23
§5 万有引力定律旳发觉
历史背景： 开普勒三定律： １、各颗行星分别在不同旳椭圆轨道上绕太 阳运营，太阳位于这些椭圆旳一种焦点上。 ２、每颗行星运营过程中单位时间内太 阳—行星向径扫过旳面积是常数。 ３、各颗行星运营周期旳平方与其椭圆轨道 长半轴旳3次方成正比。
14
x
v2 g
cos
sin
(
v2 g2
sin 2
2h
)
1 2
g
v
cos
v
(
F m
2 2
g2
2F m
g sin )t0
4-微分方程建模实例——Malthus模型与Logistic模型-课件PPT
23
于是，
N0 N (t)e (tt0 ) r[e (tt0 ) 1].
若此画是真品，t - t0 ≈ 300 (年) . 从而可求出 λN0 的 近似值. 对油画《在埃牟斯的门徒》具体计算如下：
N0 N (t)e300 r[e300 1]
由于半衰期: T ln 2 ,
于是， ln 2 .
4.1. 人口增长模型 4.2. 赝品的鉴定 4.3. 耐用新产品的销售速度问题 4.4. 传染病模型
1
4.1 人口增长模型
世界人口增长概况
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
马尔萨斯(1766～1834) Malthus，Thomas Robert
4
模型假设： • 人口增长率 r 是常数. • 人口的数量本应取离散
值，但由于人口数量一 般较大，为建立微分方 程模型，可以将人口数 量看作连续变量，甚至 允许它为可微变量，由 此引起的误差将是十分 微小的.
5
模型构成：
设 x(t) 表示 t 时刻的人口，有
16
• 六十年后，美国记者、专栏作家乔 纳森·洛佩兹(Jonathan Lopez)出 版了《制造维米尔的人》(The man who made Vermeers) 一书. 在书中，洛佩兹表达了对那个时代 荷兰人民的体谅：“荷兰人对米格 伦的态度并非不可理解. 在二战中， 这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复 也是在盟国的帮助下完成. 米格伦 给了未能主宰自身命运的荷兰人内 心深处想要得到的东西. 而对于 ‘欺骗’这种事情，他又是太熟谙 了.”
《微分方程 》课件
总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
第五章 微分方程模型讲1
σ >1
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
微分方程和差分方程方法ppt课件
但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于 饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采 取那种形式作广告(不包括其它的促销手段)， 都不能使销售速度增加。
ppt精选版
22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
ppt精选版
16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
ppt精选版
12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
ppt精选版
8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
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22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
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16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
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12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
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8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
微分方程-4
gy2 2bx M gy02 2bx0
y0 x0
2
2b gx0
b
rx
px , g
ry
Sry Sx
y0 x0
2
2 rx Sx px 1 ry Sry x0
M 0 : x获胜
x(t)
射击率 一次射击的 有效面积
dx ax by dt
最后添加一个常数项，以反 映国家A对国家B感到的所有潜 在的不安因素，这也就是说即使两个国家的防御支出为零，国家A 仍觉得有必要武装自己对付国家B，是一种对未来情况的担心。这 个往往根据两国的外交关系所定（美苏，美国与加拿大）。
dx ax by c dt
dy mx ny p dt
这时模型的平衡点就变为：ax by c mx ny p
的解，
其解为：
X bp cn an bm
Y ap cm an bm
当an-bm为正切较大时，这个交点在第一象限，有自身的物理意义。 但是当an-bm较小或趋于零时呢？将会出现经费失控（如美苏）！为负 的意义作为思考题。
那么显然这时的平衡点在 x, y 0,0处，在这种情况下，两国都没有
防御支出，国民经济的总产值全部用来投资医疗卫生以及教育事业等非
军事方面，两国可以用非军事方法来解决一切争端（历史上只有美国与 加拿大在1817年至今使这种关系），但当两国冲突矛盾很大时模型就变 为：
dx ax by c dt
而对于国家B来说则有：
dy mx ny p dt
现在来看看上述模型是否会平衡 ——是否会有(x, y)满足:
dx dt
y0 x0
2
2b gx0
b
rx
px , g
ry
Sry Sx
y0 x0
2
2 rx Sx px 1 ry Sry x0
M 0 : x获胜
x(t)
射击率 一次射击的 有效面积
dx ax by dt
最后添加一个常数项，以反 映国家A对国家B感到的所有潜 在的不安因素，这也就是说即使两个国家的防御支出为零，国家A 仍觉得有必要武装自己对付国家B，是一种对未来情况的担心。这 个往往根据两国的外交关系所定（美苏，美国与加拿大）。
dx ax by c dt
dy mx ny p dt
这时模型的平衡点就变为：ax by c mx ny p
的解，
其解为：
X bp cn an bm
Y ap cm an bm
当an-bm为正切较大时，这个交点在第一象限，有自身的物理意义。 但是当an-bm较小或趋于零时呢？将会出现经费失控（如美苏）！为负 的意义作为思考题。
那么显然这时的平衡点在 x, y 0,0处，在这种情况下，两国都没有
防御支出，国民经济的总产值全部用来投资医疗卫生以及教育事业等非
军事方面，两国可以用非军事方法来解决一切争端（历史上只有美国与 加拿大在1817年至今使这种关系），但当两国冲突矛盾很大时模型就变 为：
dx ax by c dt
而对于国家B来说则有：
dy mx ny p dt
现在来看看上述模型是否会平衡 ——是否会有(x, y)满足:
dx dt
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利用达伦贝尔动力平衡原理建模
• 请建立如图系统的微分方程模型
Example :mass-spring-damper
cy
k ky y M Mຫໍສະໝຸດ cyf(t)
f(t)
达伦贝尔力平衡原理
d y (t ) dy M c ky (t ) f (t ) 2 dt dt
2
古斯塔夫· 罗伯特· 基尔霍夫
y 0 y
y0
df dx
f ( x)
x0
We get Δ y=kΔ x Or y=kx
A
y kx
x
x0 x0 x
非线性系统的线性化
请列出系统的微分方程并线性化。
例 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微
分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 根据牛顿第二定律可得： ml mg sin
Does not satisfy the superposition property
and
(3)
yx
2
When
x x0 x
y y0 y Equation (2) can be rewritten
as
y0 y kx0 kx b
We have
y kx
or
y kx
Linearization of Weak Nonlinear Characteristic
Linearization using Taylor series point( Equilibrium Position)
expansion about the operating
The output-input nonlinear characteristic of y=f(x) is illustrated in the following figure:
U 2 U c2
由④、⑤得
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由②导出
dU c1 dU c1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt
将i1、i2代入①、③，则得
U 1 R1 R2 i2 U c 2
dU c1 dU 2 dU 2 R1 (C1 C2 ) R2 C 2 U2 dt dt dt
输入（已知） 黑匣子 输出（已知）
• • • • •
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模 型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。
本章讲怎样建立控制系统的数学模型 数学工具：微分方程
y1(t) f(t)
K1
y2(t)
k2 m1 m2
d2y m1 2 k1 y1 k 2 ( y1 y 2 ) f (t ) dt
d2y m2 2 k 2 ( y1 y 2 ) dt
如果不考虑m2对m1的影响，则会得到错误的结果 解方程，消除y2得
m1m2 p ( m1k2 m2k1 m1k2 ) p k1k2 ] y1 ( m2 p k2 ) f
基尔霍夫在柯尼斯堡大学读物理，1847年毕业后去柏林大学任教， 3年后去布雷斯劳作临时教授。1854年由R.W.E.本生 推荐任海德堡大学教授。 1875年到柏林大学作理论物理教授，直到逝世。
•
• 1845年，21岁时他发表了第一篇论文，提出了稳恒电路网络中电 流、电压、电阻关系的两条电路定律,即著名的基尔霍夫第一电路定律和基 尔霍夫第二电路定律，解决了电器设计中电路方面的难题。后来又研究了 电路中电的流动和分布，从而阐明了电路中两点间的电势差和静电学的电 势这两个物理量在量纲和单位上的一致。 • 1859年，基尔霍夫做了用灯焰烧灼食盐的实验。在对这一实验现 象的研究过程中，得出了关于热辐射的定律，后被称为基尔霍夫定律：基 尔霍夫根据热平衡理论导出，任何物体对电磁辐射的发射本领和吸收本领 的比值与物体特性无关，是波长和温度的普适函数，即与吸收系数成正比。 并由此判断：太阳光谱的暗线是太阳大气中元素吸收的结果。这给太阳和 恒星成分分析提供了一种重要的方法，天体物理由于应用光谱分析方法而 进入了新阶段。1862年他又进一步得出绝对黑体的概念。 • 在海德堡大学期间，他与化学家本生合作创立了光谱化学分析法。 把各种元素放在本生灯上烧灼，发出波长一定的一些明线光谱，由此可以 极灵敏地判断这种元素的存在。利用这一新方法，他发现了元素铯和铷。
Kirchhoff，Gustav Robert （1824～1887）
利用基尔霍夫定律建模
基尔霍夫电压定律：电网络闭合回路中电势的代数和等于回路中电压降的 代数和。 基尔霍夫电流定律：某节点的流出电流之和等于所有流进电流之和。
例题
解（a）题：依基尔霍夫电压定律得电路方程
1 Ri idt u i c
微分方程数学模型
广义上是指表达自然界或社会现象某些特 征本质的数学表达式，也称为数学方程。 实际上,对于任何一个确定的系统，都可以用 微分方程、差分方程、传递函数、状态方程、频率 特性等数学表达式来描述。而微分方程是最基本的。
微分方程的几个简单实例
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题， 本课程将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模 的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分 常用的数学工具之一。
dv F c(v1 v2 ) c dt
从元器件到简单系统
• 利用机械动力学基础知识，也即达伦贝尔动 力平衡原理建模（机械控制系统）。 • 利用基尔霍夫定律建模（电子控制系统）。
达伦贝尔原理
• 在物理学历史上，关于如何量度机械运动， 用动量还是动能？曾经有过长达半个多世纪 的激烈争论。1743年，达伦贝尔在《动力学 论》中指出：“力既可以表示为在单位时间 内的运动改变（即动量）；又可以表示为单 位距离内的运动改变（即动能）” ，才使之 趋于平息。这次争论的直接后果是功能概念 的形成和分析力学的建立。
4 2
p d / dt
微分算子
电路的负载效应
• 请列出方程式！
解： 设回路电流i1、i2，根据基尔霍夫定律，列写方程如下：
U 1 R1i1 U c1
U c1 1 (i1 i2 )dt C1
①
② ③ ④
⑤
U c1 R2 i2 U c 2
U c2 1 i2 dt C2
d uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
2
力-电压相似
机械 电气 电阻 R1 阻尼 B1 电阻 R2 阻尼 B2 弹性系数 弹性系数 K1 K2
1/C1
1/C2
• 机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理 系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络） • 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 • 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系 统...... • 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。
系统元件间的负载效应
负载效应—由多个元件组成的系统，若后一个元件的存在 会影响到前一个元件的输出，就认为后者给前者增加了负 载。这种现象称为负载效应。
注意：当存在负载效应时，绝不能孤立地分别列出前后两 个元件的微分方程式，而应该把前后两个元件作为一个整 体分析。
图示为由两个质量为m1、m2和弹簧k1、k2串联起来的系统 设输入量为外力f(t),输出量为位移y1(t),y2(t). 试求系统的数学模型。
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。
系统的简化 ——非线性系统的线性化
实际的物理系统严格来说都是非线性的。如果非 线性因素对系统影响很小，一般予以忽略。可将 系统视为线性系统处理。
Linear Approximations of Physical Systems
What is the linear system?
1 u 0 idt c
du 0 i dt c
du 0 c i dt
du 0 RC u0 ui dt
解（b）题，依照基尔霍夫定律得
1 idt Ri u i c
1 u 0 dt u 0 u i RC
u 0 Ri
du 0 RC u0 ui dt
解（c）题，依照基尔霍夫定律得
这是理想单摆应满足 的运动方程
从而得出两阶微分方程：
i L U
di U L dt
Differential Equations for Ideal mechanical Elements (4) Mass block
F M
v
dv F M dt
11
(5) Spring
F x1 k x2
(6) Damper
v1 F c v2
dx F k ( x2 x1 ) k dt
A linear system satisfies the properties of superposition and Homogeneity: (Principle of Superposition). 满足叠加原理的系统称为线性系统。叠加原理又可 分为可加性和齐次性。
Principle of superposition
第2章
控制系统的数学模型 ------从物理实在到数学模型
2012.9.24
数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
建立控制系统数学模型的方法