第十二章 全等三角形

第十二章全等三角形12．1全等三角形1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．重点：掌握全等三角形的对应元素和性质的应用．难点：全等三角形性质的应用．一、自学指导自学：自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”，理解“全等形”“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)1．下列图形中的全等图形是d与g，e与h.2．如图，△ABC与△DEF能重合，则记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF，对应顶点是：点A与点D，点B与点E，点C与点F；对应边是：AB与DE，AC与DF，BC与EF；对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F．,第2题图),第3题图) 3．如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，AO ＝DO，CO＝BO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD．点拨精讲：通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．4．已知△OCA≌△OBD，若OC＝3 cm，BD＝4 cm，OD＝6 cm.则△OCA的周长为13_cm；若∠C＝110°，∠A＝30°，则∠BOD＝40°．点拨精讲：全等三角形的对应边、对应角、周长分别对应相等．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1如图，下面各图的两个三角形全等，指出它们的对应顶点、对应边、对应角，其中△ABC可以经过怎样的变换得到另一个三角形？点拨精讲：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是寻求全等的一种策略．解：①△ABC≌△DEF，A和D，B和E，C和F是对应顶点，AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角，△DEF是△ABC经过平移得到的．②△ABC≌△DBC，A和D，B和B，C和C是对应顶点，AB与DB，AC与DC，BC 与BC是对应边，∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB是对应角，△DBC是△ABC 沿BC所在直线向下翻折得到的．③△ABC≌△AED，A和A，B和E，C和D是对应顶点，AB与AE，AC与AD，BC 与ED是对应边，∠BAC与∠EAD，∠B与∠E，∠C与∠D是对应角，△AED是△ABC 绕点A旋转180°得到的．探究2如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，AC＝DF，且点B，E，C，F在同一条直线上．(1)求证：BE＝CF，AC∥DF；(2)若∠D＋∠F＝90°，试判断AB与BC的位置关系．解：(1)证明：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF，BC－EC ＝EF－EC，∴BE＝CF.(2)结论：AB⊥BC.证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠F，∵∠D＋∠F＝90°，∴∠A ＋∠ACB＝90°，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，△ABC≌△CDA，求证：AB∥CD.证明：∵△ABC≌△CDA，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD.2．如图，△ABE≌△ACD，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角．解：对应边有AB与AC，AE与AD，BE与CD，对应角有∠BAE＝∠CAD.(3分钟)找对应元素的常用方法有两种：(一)从运动角度看1．翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素．(二)根据位置元素来推理1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)12．2三角形全等的判定(1)1．掌握三角形全等的判定(SSS)，掌握简单的证明格式．2．初步体会尺规作图．重、难点：掌握三角形全等的判定(SSS)．一、自学指导自学1：自学课本P35－36页“探究1，探究2及例1”，掌握三角形全等的判定条件SSS，并掌握简单的证明格式，了解三角形的稳定性，完成填空．(7分钟) 画△ABC：①使AB＝3 cm；②使AB＝3 cm，BC＝4 cm；③使AB＝3 cm，BC＝4 cm，AC＝5 cm；④使∠A＝30°；⑤使∠A＝30°，∠B＝50°；⑥使∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝100°.每画完一个，与同桌画的三角形对比一下，形状与大小是一样的吗？总结归纳：(1)已知三角形的一个或两个元素，三角形的形状和大小不能确定，三个角相等的三角形形状确定，但大小不确定．(2)三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS．(3)三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．自学2：自学课本P36－37页“探究与例题”，利用尺规作图画一个角等于已知角，初步体会尺规作图．(3分钟)点拨精讲：用尺规作图作一个角等于已知角的依据是“三边对应相等的两个三角形全等”，可通过添加辅助线构造全等三角形加以证明．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．在△ABC和△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC≌△DEF．2．若两个三角形全等，则它们的三边对应相等；反之，若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等．3．下列命题正确的是(A)A．有一边对应相等的两个等边三角形全等B．有两边对应相等的两个等腰三角形全等C．有一边对应相等的两个等腰三角形全等D．有一边对应相等的两个直角三角形全等4．已知AB＝3，BC＝4，AC＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝6．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，求证：(1)△ABC ≌△ADC ；(2)∠B ＝∠D.证明：(1)连接AC ，在△ABC 与△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS )． (2)∵△ABC ≌△ADC ，∴∠B ＝∠D.点拨精讲：在证明过程中善于挖掘如“公共边”这个隐含条件，可以考虑添加辅助线．探究2 如图，△ABC 是一个风筝架，AB ＝AC ，AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，求证：AD ⊥BC.证明：∵点D 的BC 中点，∴BD ＝CD ，∴在△ABD 与△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，BD ＝AC ，∴△ABD ≌△ACD(SSS )，∴∠ADB ＝∠ADC ，∵∠ADB ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，AD ＝BC ，AC ＝BD ，求证：(1)∠DAB ＝∠CBA ；(2)∠ACD ＝∠BDC.证明：(1)在△ABD 与△BAC 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，AD ＝BC ，AC ＝BD ，∴△ABD ≌△BAC(SSS )，∴∠DAB ＝∠CBA.(2)在△ADC 与△BCD 中，⎩⎨⎧DC ＝CD ，AD ＝BC ，AC ＝BD ，∴△ADC ≌△BCD(SSS )，∴∠ACD ＝∠BDC. 点拨精讲：三角形全等的判定与性质的应用经常交替使用．(3分钟)本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS，并利用它可以证明简单的三角形全等问题．添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)12．2三角形全等的判定(2)1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”，理解满足边边角的两个三角形不一定全等．2．能把证明角或线段相等的问题转化为证明它们所在的两个三角形全等．重点：能把证明角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．难点：理解满足边边角的两个三角形不一定全等．一、自学指导自学1：自学课本P37－38页“探究3及例2”，掌握三角形全等的判定条件SAS，进一步掌握证明的格式，完成填空．(5分钟)任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A(即两边和它们的夹角分别相等)．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？总结归纳：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．点拨精讲：三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定了．自学2：自学课本P39页“思考”，明白有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，并会通过画图举反例．(5分钟)画出一个△ABC，使AB＝3，AC＝4，∠B＝30°(即已知两边和其中一边的对角)．小组内展示各自画出来的三角形，它们的形状是一样的吗？点拨精讲：如果给定两个三角形的类型(如两个钝角三角形)，两边和其中一边的对角对应相等的这两个三角形全等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是(D)A．∠A＝∠DB．∠E＝∠CC．∠A＝∠C D．∠ABD＝∠EBC2．如图，AO＝BO，CO＝DO，AD与BC交于E，∠O＝40°，∠B＝25°，则∠BED 的度数是(B)A．60°B．90°C．75°D．85°3．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．(填“一定”或“不一定”)4．如图，AB ，CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB.求证：∠D ＝∠B.证明：在△AOD 与△COB 中，⎩⎨⎧AO ＝CO ，∠AOD ＝∠COB ，OD ＝OB ，∴△AOD ≌△COB(SAS )，∴∠D ＝∠B.点拨精讲：利用SAS 证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角，在书写证明过程时相等的角应写在中间；证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”“公共角”“公共边”等．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，AB ∥CD ，AB ＝CD.求证：AD ∥BC.证明：∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，在△ABD 与△CDB 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠1＝∠2，BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB(SAS )，∴∠3＝∠4，∴AD ∥BC.点拨精讲：可从问题出发，要证线段平行只需角相等即可(∠3＝∠4)，而证角相等可证角所在的三角形全等．探究2 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A ，B ，D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°)，连接AE ，CD ，试确定AE 与CD 的关系，并证明你的结论．解：结论：AE ＝CD ，AE ⊥CD.证明：延长AE 交CD 于F ，在△ABE 与△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD(SAS )，∴AE ＝CD ，∠EAB ＝∠DCB ，∵∠DCB ＋∠CDB ＝90°，∴∠EAB ＋∠CDB ＝90°，∴∠AFD ＝90°，∴AE ⊥CD.点拨精讲：注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件，线段的关系分数量与位置两种关系．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2.求证：BC ＝DE.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ，在△BAC 与△DAE 中⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△BAC ≌△DAE(SAS )，∴BC ＝DE. (3分钟)1.利用对顶角、公共角、直角用SAS 证明三角形全等．2．用“分析法”寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)12．2三角形全等的判定(3)理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”，能运用它们判定两个三角形全等．重、难点：理解和掌握全等三角形判定方法3和判定方法4及应用．一、自学指导自学1：自学课本P39－40页“探究4、例3”，理解和掌握全等三角形判定方法“ASA”，完成填空．(5分钟)总结归纳：两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA．自学2：自学课本P40－41页“例4、思考”，理解和掌握全等三角形判定方法“AAS”，试总结全等三角形判定方法．(5分钟)总结归纳：(1)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．(2)三角形全等的条件至少需要三对相等的元素(其中至少需要一条边相等)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．能确定△ABC≌△DEF的条件是(D)A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是(B)A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是(C) A．DE＝DF B．AE＝AFC．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF点拨精讲：应用AAS证三角形全等时应注意边是对应角的对边．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ.求证：HN＝PM.证明：∵MQ ⊥PN ，NR ⊥MP ，∴∠PQM ＝90°，∠HQN ＝90°，∴∠P ＋∠PNR ＝90°，∠QHN ＋∠PNR ＝90°，∴∠P ＝∠QHN.在△PQM 与△HQN 中⎩⎨⎧∠MPQ ＝∠NHQ ，∠PQM ＝∠HQN ，MQ ＝NQ ，∴△PQM ≌△HQN ，∴HN ＝PM. 点拨精讲：有直角三角形就有互余的角，利用同角(等角)的余角相等是证角相等的常用方法．探究2 求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等．如图，AD 为△ABC 的中线，且CF ⊥AD 于点F ，BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，求证：BE ＝CF.证法1：∵AD 为△ABC 的中线，∴BD ＝CD.∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD＝90°.在△BED 与△CFD 中⎩⎨⎧∠BED ＝∠CFD ，∠BDE ＝∠CDF ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS )，∴BE ＝CF. 证法2：∵S △ABD ＝12AD·BE ，S △ACD ＝12AD·CF ，且S △ABD ＝S △ACD (等底同高的两个三角形面积相等)，∴12AD·BE ＝12AD·CF ，∴BE ＝CF. 点拨精讲：对于文字命题的证明，应先根据题意画出图形，再结合题意，写出已知、求证，最后证明；用“面积法”证线段相等，可使问题简化．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，PM ＝PN ，∠M ＝∠N.求证：AM ＝BN.证明：在△PMB 与△PNA 中⎩⎨⎧∠P ＝∠P ，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ，∴△PMB ≌△PNA ，∴PB ＝PA ，∴PM －PA ＝PN －PB ，∴AM ＝BN.(3分钟)已知两个角和一条边对应相等得全等，三个角对应相等不能确定全等．三角形全等的判定和全等三角形的性质常在一起进行综合应用．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)12．2三角形全等的判定(4)1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”)．2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．重、难点：直角三角形全等判定方法“斜边、直角边”(即“HL”)的应用．一、自学指导自学1：自学课本P41－42页“思考、探究5及例5”，掌握判定直角三角形全等的特殊方法“HL”，完成填空．(7分钟)总结归纳：(1)斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”．(2)两直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据是边角边或SAS．(3)一锐角和一直角边或斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据是角角边或AAS和角边角或ASA．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图，E，B，F，C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DFE，全等的根据是HL．2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；(AAS)(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；(×)(3)一个锐角和斜边对应相等；(AAS)(4)两直角边对应相等；(SAS)(5)一条直角边和斜边对应相等．(HL)3．下列说法正确的是(C)A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等点拨精讲：直角三角形除了一般证全等的方法外，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB ＝DC ；(2)AD ∥BC.证明：(1)∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°.在Rt △ADB 与Rt △CBD 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，DB ＝BD ，∴Rt △ADB ≌Rt △CBD(HL )，∴AB ＝DC. (2)∵Rt △ADB ≌Rt △CBD ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴AD ∥BC.探究2 如图，E ，F 分别为线段AC 上的两点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，若AB ＝CD ，AE ＝CF ，BD 交AC 于点M.求证：BM ＝DM ，ME ＝MF.证明：∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，∴AF ＝CE.在Rt △ABF 与Rt △CDE 中⎩⎨⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL )，∴BF ＝DE.∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEM ＝∠BFM ＝90°.在△BFM 与△DEM 中⎩⎨⎧∠BFM ＝∠DEM ，∠BMF ＝∠DME ，BF ＝DE ，∴△BFM ≌△DEM(AAS )，∴BM ＝DM ，ME ＝MF.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证△ACE ≌△DBF ，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？解：①若AC ＝DB ，则根据SAS ，可以判定△ACE ≌△DBF ；②若∠1＝∠2，则根据AAS ，可以判定△ACE ≌△DBF ；③若∠E ＝∠F ，则根据ASA ，可以判定△ACE ≌△DBF.(3分钟)1.“HL ”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．2．证明两个三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL ，注意SSA 和AAA 条件不能判定两个三角形全等．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)12．3角的平分线的性质掌握角平分线的性质及画法．重、难点：掌握角平分线的性质及画法．一、自学指导自学1：自学课本P48－49页“思考1、思考2”，掌握并理解三角形的三条角平分线的性质，掌握角平分线的画法和文字命题的证明方法，完成填空．(5分钟) 总结归纳：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等．②文字命题的证明方法：a.明确命题中的已知和求证；b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；c.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．自学2：自学课本P49－50页“思考3与例题”，掌握角平分线的判定．(5分钟)总结归纳：(1)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P50页练习题1，2.2．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长多少？解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE ＝5 cm，∵BD＝2CD，∴BD＝10 cm.点拨精讲：角平分线的性质是证明线段相等的另一途径．3．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．(1)如果一个点在角的平分线上，那么它到角两边的距离相等；(2)如果角的内部某点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上；(3)综上所述，角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合．4．三角形内，到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)有几处可选择？(2)你能画出塔台的位置吗？解：(1)有4处可选择；(2)略．点拨精讲：在三条直线围成三角形的内部有1个点，外部有3个点．探究2 如图，OD 平分∠POQ ，DA ⊥OP 于A ，DB ⊥OQ 于B ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.求证：CM ＝CN.证明：∵OD 平分∠POQ ，DA ⊥OP ，DB ⊥OQ ，∴OA ＝OB.在Rt △OAD 与Rt △OBD 中⎩⎨⎧OD ＝OD ，DA ＝DB ，∴Rt △OAD ≌Rt △OBD(HL )，∴∠ADO ＝∠BDO ，又∵CM ⊥AD ，CN ⊥BD ，∴CM ＝CN.点拨精讲：角平分线的性质与判定通常是交叉使用，在这里先要证OD 平分∠ADB.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是AB ，AC 上一点，并且有∠EDF ＋∠EAF ＝180°.试判断DE 和DF 的大小关系并说明理由．解：结论：DE ＝DF.证明：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，作DH ⊥AC 于点C ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DG ＝DH.∵∠DGA ＝∠DHA ＝90°，∴∠GDH ＋∠BAC ＝180°，∵∠EDF ＋∠EAF ＝180°，∴∠GDH ＝∠EDF ，∴∠GDH －∠EDH ＝∠EDF －∠EDH ，∴∠GDE ＝∠FDH.在△DGE 与△DHF 中，⎩⎨⎧∠DGE ＝∠DHF ＝90°，DG ＝DH ，∠GDE ＝∠HDF ，∴△DGE ≌△DHF(ASA )，∴DE ＝DF. 点拨精讲：在已知角的平分线的前提下，作两边的垂线段是常用辅助线之一． (3分钟)在已知角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法．角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用的辅助线．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)。