微分方程数值解教学大纲
微分方程数值解课程设(2019年)
微分方程数值解课程设计（五点差分格式测试及溢油事故的扩散行为模拟预测）2019年11月内容：1. 数值测试：椭圆型方程五点差分格式理论结论验证（大作业）包括：（1）方法理论结果验证：断误差分析（讨论是否收敛及收敛阶，通过选取不同的步长，观测步长与误差的关系）。
（2）简单的可视化等。
2. 应用实例: 溢油事故的扩散行为模拟预测船舶溢油事故给海洋环境带来了严重的危害。
溢油事故的发生在危害海洋生态环境的同时，也给当地的渔业及旅游业等造成了不可估量的经济损失。
随着时间的移动，在外界条件的作用下，进入海洋中的溢油可能会发生风化、扩散及漂移等一系列的变化，致使处理它的难度增加。
需要更加高效的溢油回收、处置和清除的技术。
处理溢油的常见方法有微生物分解法、化学处理法以及物理回收法微生物。
分解法主要是依赖于能够对石油进行分解的微生物；化学处理法主要是通过消油剂及特定条件下的燃烧来完成的；物理回收方法主要采用机械装置，如专业收油器等强行回收海面溢油。
从环境保护和资源回收再利用的方面考虑，由于消油剂具有毒性及微生物的分解缓慢，采用机械设备回收海面溢油是最理想的处理方式。
下面我们讨论用围油栏结合收油器装置的处理窄河道溢油问题。
当紧急溢油事故发生时，我们通常采用围油栏和收油装置结合的方法对溢油污染进行紧急处理。
溢油发生时我们先用围油栏对溢油进行拦截使溢油范围缩小到一定程度，再利用收油装置对汇聚起来的溢油进行收集。
然而我们在使用收油器时，需要注意收油器的额定收油量。
在收油的过程中，单位时间收油量应与其额定收油量相同，当比额定收油量大时， 将会导致收油装置的堵塞、失效；当比额定收油量小时，收油装置就不能达到最佳的工作状态。
通过数值模拟，我们可以进一步确定围油栏内的油浓度变化，进而根据收油装置在单位时间内额定收油量来选择合适的收油速度。
当溢油发生后，围油栏会立刻围住溢油，假设河道较窄，因此可认为流动的溢油在Y 方向上的浓度分布是一致的，故只需考虑X 方向上的溢油变化，即该物理问题可通过一维浓度扩散方程来进行模拟（我们采取无量纲的形式，只考虑理想状态下的溢油扩散问题进行模拟）。
微分方程数值解-重庆师范大学-数学学院
《微分方程数值解》实验教学大纲（2007年制订）课程代码：023*******课程性质：非独立设课课程分类：专业课程实验学分：0.5学分实验学时：18学时适用专业：信息与计算科学开课单位：数学与计算机科学学院一、实验教学目标本实验教学目标是通过编写程序、分析数值结果、写数值实验报告及课堂讨论等环节的综合训练，使学生逐步掌握数值实验的方法和技巧，能够使用计算机进行数值计算，掌握数值算法和程序设计的基本原理和技能，对《微分方程数值解法》中所学的各类算法有更深的理解；培养学生实际动手能力和提高学生分析问题、解决问题的能力，为学生以后从事现代数学科研工作以及工程和科学计算实践打下良好的基础。
二、主要仪器设备名称计算机，并安装C语言、Matlab软件。
三、实验基本要求本实验教学是《数值分析》课程的一个重要教学环节，为了达到实验教学目标，在上机实习前，应要求学生对计算机C语言或Matlab软件及本实验项目中所要用到的课程中所学的算法有较好的掌握，这些算法主要涉及常微分方程初值问题的计算、椭圆型方程的差分格式、抛物型方程的差分格式以及双曲型方程的差分格式等数值解法；在实验中，应要求学生能用C语言或Matlab软件编写相应的计算机程序，在计算机上调试、运行，通过改变数据或算法，分析数值结果，最后写出数值实验报告。
另外，需要学生自己增加一些课外时间加深对实习内容的掌握。
四、实验项目设置与内容五、实验考核实验教学部分占课程总成绩的20%,实验教学部分的20分成绩由如下两部分构成:(1) 写实验报告：占8分(2) 现场编程序，演示计算结果：占 12分六、教材及主要教学参考书胡健伟、汤怀民著，《微分方程数值方法》，北京：科学出版社，1999.李立康、於崇华、朱政华编著，《微分方程数值解法》，上海：复旦大学出版社，1999.余德浩、汤华中编著，《微分方程数值解法》，北京：科学出版社，2004.执笔人：张守贵 2007年6月审定人：向长合 2007年6月院（系）负责人：李世宏 2007年6月。
十二章节常微分方程数值解法教学提纲
yn1
yn1 yn hf(xn,yn)
h
yn
[f 2
(xn,
yn)
f
(xn1,
y0 y(x0)
yn1)]
2020/6/4
14
改进的Euler方法(续1)
• 嵌套形式
y n 1 y n h 2 [f(x n ,y n ) f(x n 1 ,y n h(x fn ,y yn n) 1 )]
dy
d
x
f ( x, y ),
y ( x 0 ) y 0 ,
的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解，
其基本思想是完全一样的．解初值问题有多种解
析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才
能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。
初值问题的数值解法，就是寻求方程的解 y ( x )
在自变量 x 的一系列离散节点上的近似值。
xn h xn
f (t, y (t )) dt hf ( x n , y ( x n ))
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8
Euler方法(续)
• 数值积分方法
y(xn h) y(xn)
xn h xn
f (t, y(t))dt
hf (xn, y(xn)) （看成矩形）
yn1
yn hf (xn y0 y(x0)
2h
y(x0) y0
yn1
yn1 h y(x0)
f(xn y0
,
yn
)
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梯形公式
y(t)dt
h[ 2
f
( xn ,
微分方程数值解教学设计
微分方程数值解教学设计一、课程背景与目的微分方程数值解是数学系高年级学生必修的一门课程。
在这门课程中，学生需要掌握微分方程的基本概念和解法，以及数值解的原理和方法。
此外，学生还需要掌握编程语言，如Matlab、Python等，以实现对微分方程的数值求解。
本课程旨在帮助学生深入理解微分方程数值解的基本概念和解法，掌握数值解的原理和方法，并提高学生的编程能力。
二、教学内容1. 微分方程基本概念教学内容包括：•微分方程的定义和分类•微分方程的一阶和高阶形式•常微分方程和偏微分方程的区别•一些基本的解法，如分离变量法、变换变量法、恰当微分方程法等。
2. 微分方程的数值解教学内容包括：•数值解的概念和原理•欧拉法和改进欧拉法•Runge-Kutta法和Adams法•线性方程组的数值求解方法•一些常见的数值问题，如刚体摆、阻尼振动等。
3. 编程实践本部分旨在帮助学生掌握编程语言，如Matlab、Python等，以实现对微分方程的数值求解。
具体内容包括：•编程语言的基本语法和控制结构•数值计算的基本概念和算法•编程实践，例如编写程序求解微分方程，绘制微分方程的数值解图像等。
三、教学方法与手段1. 讲授与讨论相结合在课堂上，老师将采用讲授和讨论相结合的教学方法，既讲解微分方程数值解的基本概念和解法，又与学生进行互动式的讨论，探讨数值方法的优缺点及其在实际问题中的应用。
通过讨论，帮助学生深入理解微分方程数值解的原理和实现方法。
2. 实践与操作相结合本课程将组织编程实践活动，并设立实验室，提供计算机设施，让学生进行实践操作。
在编程实践中，学生将不仅仅是理论的应用者，更要成为实践的主体，通过实践操作，深入理解数值求解方法的原理和应用。
3. 作业与案例相结合在教学过程中，老师将布置一些作业和案例，让学生在实践中巩固所学知识，提高对微分方程数值解的理解。
同时，教师将提供详细的评价意见和建议，以帮助学生提高数值求解的能力。
《偏微分方程数值解》课程教学大纲
维情形的直接推广； 交替方向隐式格式； 分数步方法。第六章 变分原理 几个变分 问题；变分问题的
Euler-Lagrange方
程；一个守恒定律； 二次函数极值问题。
一维问题变分原理及 8 学时
其价性； 二维问题变 分原理及等价性；变 分问题的近似计算。 第七章 有限元离散 方法 一维问题的有 限元方法；子结构方 法。
√√ √
√√√ √
√√ √√
二、课程教学内容及学时分配（含实践、自学、作业、讨论等的内容及要求）
教学内容
学时
第一章 总论 微分方 4 学时
程数学模型及举例；
微分方程数值解的重
要意义和基本问题。
第二章 椭圆型方程
的差分方法 从一个
简单的例子谈起。
第 二 章 求 解 矩 形 域 6 学时
上 Poisson 方程的五
《偏微分方程数值解》课程教学大纲
课程名称：偏微分方程数值解 课程代码：MA309 学 分 / 学 时：4 学分 / 64 学时 适用专业：数学系和与科学计算相关的专业 先修课程：偏微分方程，科学计算（I） 后续课程：科学计算（II），科学计算选讲 开课单位：理学院数学系
一、课程性质和教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献） 课程性质：本课程是理学院数学系的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过理论学习和上机实算，
数值实验 4：求解稳态热传导 问题的有限元方法。
三、教学方法
以课堂教学为主，结合自学、数学实验大作业。 1. 课堂教学主要讲解偏微分方程数值解的基本概念，基本方法和基本原理，含有限差分法、变分原理和有限元方
法等，培养学生利用计算机为工具，通过数学建模、理论分析与数值求解等步骤定量化解决实际问题的能力。 2. 数值实验大作业是本课程的重要内容。共安排 4 个数值实验大作业，包括：求解五点差分格式的快速 Fourier 方
微分方程数值解法教学设计
微分方程数值解法教学设计1. 教学目标1.1 课程背景在数学、物理、工程学等领域中，微分方程广泛应用于实际问题的建模和分析。
而对于大多数学生来说，理解和掌握微分方程的数值解法是一个具有挑战性的任务。
因此，在教学中，需要将数值解法作为重要内容进行讲解。
1.2 教学目标本教学设计旨在通过一系列的课程内容和教学活动，帮助学生：•理解微分方程数值解法的基本思想和原理；•掌握龙格-库塔法、欧拉法等常见的微分方程数值解法；•了解常微分方程和偏微分方程的求解方法；•能够运用所学知识解决一些实际问题。
2. 教学内容与教学方法2.1 教学内容（1）微分方程数值解法的基本思想和原理•了解微分方程在实际问题中的应用；•理解微分方程的初值问题和边值问题；•理解微分方程数值解法的基本思想和原理。
（2）龙格-库塔法、欧拉法等常见的微分方程数值解法•掌握欧拉法和改进欧拉法的原理和求解方法；•理解龙格-库塔法的原理和求解方法；•掌握常微分方程组的数值解法。
（3）常微分方程和偏微分方程的求解方法•理解常微分方程和偏微分方程的基本概念和分类；•了解解析方法和数值方法的特点和优缺点；•掌握有限差分法、有限元法等常见的偏微分方程数值解法。
2.2 教学方法•课堂讲述：通过多媒体教学，简要介绍微分方程数值解法的基本概念、原理和应用，讲解不同数值解法的特点和优缺点等。
•计算机模拟：通过一些典型的微分方程数值解法的计算机模拟实验，加深学生对这些方法的理解和掌握。
•课堂讨论：通过一些实例，让学生能够灵活地运用所学的知识，解决实际问题。
•作业布置：通过一些简单的实践任务，巩固学生所学的知识点，并且能够扩展到更广泛的问题领域。
3. 教学评价与反思3.1 教学评价•学生学习成果的测试：通过测试学生在知识掌握和运用能力上的成果，检验教学效果。
•教学调查问卷：了解学生对于教学方法、教学内容和课程设置的意见和反馈，为以后的教学改进提供有益的建议。
3.2 教学反思•教师评价自己的教学效果和方式，让学生了解到自己的优点和需要改进的方面；•对学生反馈和学习成果进行反思，总结和改进教学过程。
《微分方程的数值解》课件
谱方法：将微分方程离散化为谱方程， 然后求解
边界元法：将微分方程离散化为边界 元方程，然后求解
有限元法：将微分方程离散化为有限 元方程，然后求解
网格法：将微分方程离散化为网格方 程，然后求解
数值解法的步骤
确定微分方程的初值 和边界条件
选择合适的数值解法， 如欧拉法、龙格-库塔 法等
实解
应用：广泛应 用于工程、物 理、化学等领
域
优缺点：优点 是计算速度快， 缺点是精度较
低
非线性方程的数值解法
牛顿法：通过迭 代求解非线性方 程
拟牛顿法：通过 迭代求解非线性 方程，比牛顿法 收敛更快
割线法：通过迭代 求解非线性方程， 适用于求解单变量 非线性方程
迭代法：通过迭 代求解非线性方 程，适用于求解 多维非线性方程
05 数值解法的实现
M AT L A B 编 程 实 现
MATLAB简介： MATLAB是一种高 级编程语言，广泛 应用于科学计算、 数据分析等领域
数值解法：包括欧 拉法、龙格-库塔 法、四阶龙格-库 塔法等
MATLAB实现：使 用MATLAB编写程 序，实现数值解法 的计算
示例代码：给出 MATLAB实现数值 解法的示例代码， 并解释其含义和作 用
设定时间步长和空间 步长
计算微分方程的解， 并进行误差分析
绘制解的图形，并进 行结果分析
对比不同数值解法的 优缺点，选择最优解 法
04 常用的数值解法
欧拉方法
基本思想：将微分 方程转化为差分方 程，然后求解差分 方程
优点：简单易行， 适用于初值问题
缺点：精度较低， 稳定性较差
改进方法：改进欧 拉方法，如改进欧 拉方法、龙格-库 塔方法等
《微分方程数值解》课程简介
《微分方程数值解》课程简介06191140 微分方程数值解 3Numerical Methods for Differential Equations3-0预修要求：数学分析，高等代数或线性代数, 常微分方程面向对象：数学系信息与计算科学专业三、四年级本科生内容简介：《微分方程数值解法》包括常微分方程初值问题的差分格式的构造和性态分析；椭圆型方程的差分方法；抛物型方程的差分方法；双曲型方程的差分方法;通过本课程的学习，使学生掌握求解微分方程数值解的基本方法，能够根据具体的微分方程选用合适的计算方法。
推荐教材或主要参考书：《微分方程数值解法》，李荣华等,高等教育出版社。
《微分方程数值方法》，胡健伟，汤怀民著，科学出版社。
《初值问题的差分方法》，R.D.Richtmyer and K.W.Morton著，袁国兴等译，中山大学出版社。
《偏微分方程数值方法》，陆金甫，关治，清华大学出版社《微分方程数值解》教学大纲06191140 微分方程数值解 3Numerical Methods for Differential Equations3-0预修要求：数学分析，高等代数或线性代数, 常微分方程面向对象：数学系信息与计算科学专业三、四年级本科生一、课程的教学目的和基本要求本课程是为数学系信息与计算科学专业开设的专业课。
本课程为3学分，上课时间大约为16×3=48学时，春夏或秋冬学期完成。
通过本课程的学习，要使学生掌握常微分方程初值问题的单步和多步差分方法，椭圆型微分方程的差分方法，抛物型微分方程的差分方法，双曲型微分方程的差分方法，以及与之相关的理论问题。
学会分析各种计算方法的收敛条件和收敛速度。
二、课程主要内容及学时分配（一）常微分方程的初值问题（15学时）1．引论。
2．Euler方法。
3．线性多步方法。
4．稳定性、收敛性和误差估计。
5．多步方法的计算。
6．预估—校正算法。
7．Runge—Kutta方法。
偏微分方程数值解法教学大纲
《偏微分方程数值解》课程教学大纲Numerical Solution of Partial Differential Equation课程代码： 课程性质：专业基础理论课/选修适用专业：信息计算开课学期：7总学时数：48总学分数：3编写年月：2003年3月修订年月：2007年7月执笔：王琦一、课程的性质和目的《偏微分方程数值解法》是计算数学专业的一门重要专业基础课。
它不仅对学生今后从事科研具有居高临下的指导作用，而且对于学习其它后继课程和解决一些实际问题都是一门重要的工具，同时对于训练思维能力起着很大作用。
本大纲是根据教育改革发展和面向二十一世纪高等数学专业课程设置和教学内容改革的要求，针对培养目标的需要进行设计的。
二、课程教学内容及学时分配第一章常微分方程初值问题10学时第二章变分原理8学时第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法10学时第四章离散方程的解法8学时第五章抛物型方程和双曲型方程12学时第一章常微分方程初值问题1.1 引论1.2 Euler方法和线形多步方法1.3 稳定性，收敛性和误差估计1.4 预估—校正算法1.5 Runge—Kutta方法第二章常微分方程初值问题2.1 二次函数的极值2.2 二阶椭圆边值问题2.3 Ritz方法第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法3.1 差分逼近的基本概念3.2 一维差分格式，矩形网和三角网差分格式3.3 极值定理3.4 解一维问题的线形元及误差估计3.5 解二维问题的矩形元和三角形元3.6 有限元方程3.7 收敛阶的估计第四章离散方程的解法4.1 离散方程的基本特征4.2 追赶法与迭代法4.3 超松弛法4.4 共轭斜量法第五章抛物型方程和双曲型方程5.1 稳定性与收敛性5.2 分离变量法5.3 差分格式的应用5.4 交替方向隐格式5.5 线形双曲型方程的差分逼近5.6 拟线形双曲型方程组5.7 基本定解问题和特征线法5.8 特征差分格式四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程。
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《微分方程数值解》教学大纲
-V课程的基本信息
课程名称：《微分方程数值解》英文名称！Numerical solution for differential equaiton 课程性质！专业方向选修课课程编号:1623313002
周学时：3学时总学时：48学时（理论40+实验8）
学分：3学分适用专ilb
适用于信息与计算科学专业预备知识：数值计算、常微分方程、数值逼近、数理方程
课程教材：
李立康主编，《微分方程数值解法》，复旦大学出版社出版、1999年參考书目！
[1]戴嘉尊主编,《微分方程数值解法》，东南大学出版社、2008年.
[2]李荣华主编,《微分方程数值解法》（第四版）,高等教育出版社、2009年
考核方式：考查制定时间J 2013年10月制定
二、课程的目的与任务
《微分方程数輛》是高等院校信息与计专业的专业选修课之一。
本课
程主要内容为常微分方程和偏微分方程的数值求解问题,包括各种差分方法，有限
元方法等的基本理论。
通过微分方程数值解的教学，使学生了解和掌握微分方程数值解这一学科的基本概念、理论,培养学生的理论思维能力,为从事信患与计算科学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
通过本课程的学习,学生应熟练掌握常微分方程和偏微分方程的常用数值求解
方法和分析手段,从能力方面,应使学生初步认识如何从实际问题出发,建立微分方程数学模型,将连续问题离散化,由微分方程转化为差分方程,利用计算机实现数值方法求解一个微分方程的定解问题,并对结果给以几何解释。
从教学方法上, 看更体现思维方式，注重解决实际问题的方法以及利用计算机进行科学计算的能力培养。
三、课程内容及学时分配
第一章微分方融值解法（10学时）
本章基本要求
I .掌握线性多步方法，Rungc-Kum方法，Gear方法等计算常微分方程的计算格式；
2.掌握相容性，稳定性，绝对稳定性概念和相互关系；
3 . 了解刚性问题和辛计算格式。
二、教学内容
I.微分方程模型和定性理论
2.计算格式：线性多步方法和高阶单步方法
3.稳定性和收敛性分析
4.刚性问题和其他
第二章椭圓方程差分方法（8学时）
本章基本要求
1.掌握椭圆型方程的五点、九点差分格式和有限体积法；
2.掌握极里，收敛性分析和误劉古计。
二、教学内容
I .椭圆方程模型和定性理论
2.椭圆边值问题的差分方法
3.椭圆差分方程的形态研究
第三章发展方程差分方法（12学时）
一、本章基本要求
I .掌握抛物型方程和双曲型方程的差分方法；
2.掌握稳定性分析包括直接法,分离变量法,最大模方法,传播因子法；
3.掌握Courant-Friedrichs-Lewy 条件和Von Neumann 分析方法。
二、教学内容
I .发展方程模型和定性理论
2.抛物型方程的差分方法
3.抛物型方程差分方法的稳定性分析
4.双曲型方程的差分方法
第四章有限元方法（W学时）
一、本章基本要求
1.掌握椭圆型方程的变分法；
2.掌握有限元计算格式的推导；
3 .掌握基本的有限元误差分析。
二、教学内容
I .变分法概述
2.椭圆型方程的有限元方法
3.有限元方法分析
课内实验项目及基本要求（8学时）
实验一Euler法与改进Euler法
目的和要求
1.通过计算上傲两种方法的收敛速度和精度；
2.初步认识数值解法的重要性。
二、实验内容
考虑下列常微分方程的初值问题
"'=一5" (Owl) , “(0) = 1 步长：h=0.1,0.05 采用Euler法与改进Euler法进行求解
实验二线性多步法和Runge-Kutta法
目的和要求
1.采用任何一种线性多步法(如admas内插，外插法)，求解微分方程；
2.采用4阶Runge-Kutta法,求解微分方程；
3.用实验一的方法求解评论几种方法的优劣。
二.实验内容
考虑下列常微分方程的初值问题
y = -5y + 7 cos y + 2x(0 < x < 3) , y(0) = 1
采用线性多步法、Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta求解实验三两点边值问题的线性有限元法
目的和要求
1.用线性元求解两点边值问题；
2.掌握有限元数值解的求解过程。
二、实验内容
用线性元求解两点边值问题：
M = X" » 0 V X < 1；1((0) = "(1) = 0
执笔人: 审核者: 教学院长:。