交并补------集合的运算

[分析] (1)由补集的定义，只需在集U中将A中元素去 掉，剩下元素构成的集合就是∁UA.
(2)至少有一组对边平行的四边形包括两组对边分别平行 的四边形和有一组对边平行、另一组对边不平行的四边形， 即平行四边形和梯形，可由此入手解题．
(3)因为实数与数轴上的点一一对应，则在数轴上分析A 及∁UA，一目了然，如下图所示．
补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路， 今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆 向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具 有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
[例4] 已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝
{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
学法指导：解决这类问题一要注意数形结合，以形定 数，才能相得益彰，二要注意验证端点值，做到准确无误， 不然功亏一篑．
[例3] 已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}． (1)若A⊆B，问∁RB⊆∁RA是否成立？ (2)若∁RA⊆∁RB，求a的取值范围．
[解析] (1)∵A⊆B，如图(1)．
∴a≥3，而∁RB＝{x|x≥a}，∁RA＝{x|x≥3}． ∴∁RB⊆∁RA.即∁RB⊆∁RA成立．
规律总结：(1)要准确理解补集的含义：是由全集中所 有不属于A的元素组成的集合．
(2)利用数轴可以直观形象地反映问题，另外要注意分界 点的取值，如本题中∁UA中含有2，不含－1.
(3)求补集时，首先要正确理解全集及子集中所含的元 素，找出其联系与差异，然后准确写出补集．
自主预习 1．全集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 所有元素，那么就称这个集合为 全集 ，用字母 U 表示．
∅∅∅
∅A∅
∅
∅ ∁UA
∅
A ∁UA
A AU ∁UA U ∁UA
1 补集概念的理解
学法指导： 1．补集符合∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁ UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
2．求补集的方法 求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U 中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合 即为A的补集．
[解析] (1)∵9∈A∩B，∴9∈A. ∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 检验知：a＝5或a＝－3满足题意． (2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B， ∴a＝5或a＝±3.检验知：a＝5时，A∩B＝{－4,9}不合题 意，∴a＝－3.
规律总结：(1)中检验的是集合A、B中的元素是否是互 异的，a＝3时，B中元素a－5与1－a相同，所以a＝3应舍 去；(2)中进一步检验A与B有没有不是9的公共元素，a＝5 时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，这时A∩B＝{－ 4,9}≠{9}，所以a＝5应舍去．
2．补集 如果 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中所有不属于 A 的元 素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补．集．，记作∁UA.用描述法表
示为 {x|x∈U 且 x∉A} ，用 Venn 图表示为
.
补集符号∁UA有三层含义： (1)A 是 U 的一个子集，即 A⊆U； (2)∁UA 表示一个集合，且∁UA⊆U； (3)∁UA 是由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，即∁UA ＝{x|x∈U，且 x∉A}，故 A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝Ø. 补集的性质∁UØ＝ U ，∁UU＝ Ø ，∁U(∁UA)＝ A . 用适当的集合填空：
[解析] ∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，利用数轴画出集合A与∁ RB，如下图
∵A∪∁RB＝R，∴应满足a≥3 故a的取值范围为{a|a≥3}．
建模应用引路
4 用“正难则反”的策略解题
学法指导：“正难则反”策略是指当某一问题从正面 解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U， 求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁ UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.
规律总结：(1)在用数轴表示不等式的解集时，一定要 注意不等号是否带有等号，在数轴上的点应为实心还是空 心．
(2)解决不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合 的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观．在集 合运算中经常在数轴上进行表示，要注意求解时端点的值是 否取到．
3 集合运算求参数问题
1.已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5 ＋b＝0}，且 A∩B＝{12}，求 A∪B.
[分析] 由交集的定义知12∈A，且12∈B，于是可得关于 a、 b 的二元方程组．解方程组求 a、b 的值，即可得集合 A、B， 再求 A∪B.
[解析] ∵A∩B＝{12}，∴12∈A，且12∈B.
设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则
Δ＝－42－42m＋6≥0， x1＋x2＝4≥0， x1x2＝2m＋6≥0，
即 mm≤≥－－13，，
解得－3≤m≤－1. 综上，当A∩B＝∅时， m的取值范围是{m|m≥－3}． 又因为U＝R， 所以当A∩B≠∅时， m的取值范围是m<－3. 所以，A∩B≠∅时， m的取值范围是{m|m<－3}．
规律总结：(1)运用补集思想求参数范围的方法； ①否定已知条件，考虑反面问题； ②求解反面问题对应的参数范围； ③将反面问题对应参数的范围取补集． (2)补集思想适用的情况： 从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑 运用补集思想．
5 利用Venn图解决补集问题
由于某些集合问题比较抽象学生处理定律比较困难，借
由图可知－ a＋2a3≥ ≤－ 5 1 ，－1≤a≤12； 综上a的取值范围为a≤12.
[互动探究] 要例中若将“A∩B＝∅”改为“A∪B＝ R”，则a的取值范围是什么？
[解析] ∵A∪B＝R，∴A≠∅，
－2a≤－1 由图可知a＋3≥5
－2a≤a＋3
，∴a≥2.
因此a的取值范围为a≥2.
[名师点拨] (1)A∩B＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与 A≠∅两种情况．A＝∅表示方程无实根．
(2)B＝{x|x<0}，而A∩B＝∅，故A {x|x≥0}，即已知方程 的根为非负实根．
(3)Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x1＋x2≥0与 x1x2≥0保证了原方程两根非负．如果两根都大于1，则等价 形式为
2. 集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}， A∩B＝B，求 a 的取值范围．
[思路分析] A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．
[正解] 由题意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B， 当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2； 当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝ {1}，符合题意； 当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}， 不合题意． 综上所述，a≥2.
1. 已知 A＝{x|－2a≤x≤a＋3}， B＝{x|x＜－1，或 x＞5}，若 A∩B＝∅，求 a 的取值范围． [分析] 出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有无 空集，即分类讨论．本题中，集合 A 不确定，因而需讨论．
[解析] 在数轴上表示出集合A、B， 当A＝∅时－2a＞a＋3即a＜－1， 此时A∩B＝∅； 当A≠∅时－2a≤a＋3即a≥1，
助Venn图会使问题而解．
[例5] 设全集U≠∅，已知集合M、P、S之间满足关
系：M＝∁UP，P＝∁US，则集合M与S之间的正确关系是
()
A．M＝∁US
B．M＝S
C．S M
D．M S
[分析] 研究抽象集合的关系问题，可以利用集合的 Venn图去分析，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考 虑进去，以防因思虑不全面和由局部图形的先入为主而导致 解题的失误．
(2)如图(2)，
∵∁RA＝{x|x≥3}，∁RB＝{x|x≥a}， ∵∁RA⊆∁RB，∴a≤3. 故所求a的取值范围为{a|a≤3}．
已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，若A∪∁RB＝ R，求实数a的取值范围．
[分析] 与集合交、并补运算有关的求参数问题一般利 用数轴分析法分析求解．
第 2 课时 交集 并集 补集
自主练习： 在下列各组集合中，U 为全集，A 为 U 的 子集，求∁UA.
(1)U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,5}； (2)已知全集 U＝{x|x 是至少有一组对边平行的四边形}， A＝{x|x 是平行四边形}； (3)U＝R，A＝{x|－1≤x＜2}； (4)U＝Z，A＝{x|x＝3k±1，k∈Z}．
3. 已知 M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，
M∩N＝{2,3}，则 a 的值是( )
A．1 或 2
B．2 或 4
C．2
D．1
[思路分析] M∩N＝{2,3}有两层含义，一是2,3是集合 M，N的元素，另外集合M，N只有这两个公共元素，因此解 出字母a后，要代入原集合进行检验．
∴2·122－12a＋b＝0
，
b·122＋12a＋2＋5＋b＝0
解之得ab＝ ＝－ －429936
，
于是A＝{x|18x2＋43x－26＝0}＝{12，－296}． B＝{x|26x2＋25x－19＝0}＝{12，－1193}． ∴A∪B＝{12，－296，－1193}．
x1－1＋x2－1>0， x1－1x2－1>0， 而不是x1＋x2>2，
x1x2>1.
(4)由于A∩B≠∅，故方程x2－4x＋2m＋6＝0一定有解， 故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m| －3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m<－3}，结果相同．
(4)整数按除以3的余数可分成三类：被3整除的数x＝ 3k，k∈Z；被3除余1的数x＝3k＋1，k∈Z；被3除余2的数x ＝3k－1，k∈Z.
[解析] (1)∁UA＝{1,3,6}； (2)∁UA＝{x|x是梯形}； (3)如上图所示，∁UA＝{x|x＜－1，或x≥2}； (4)∁UA＝{x|x＝3k，k∈Z}．
[解析] 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先 求出∁UA及∁UB，再求解．
如图，∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，
∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}． ∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}； A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}．
2. 已知集合 A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}， 分别求适合下列条件的 a 值．
(1)9∈A∩B； (2){9}＝A∩B. [分析] 9∈A∩B 与{9}＝A∩B 意义不同，9∈A∩B 说明 9 是 A 与 B 的一个公共元素，但 A 与 B 中允许有其他公共元 素． {9}＝A∩B，说明 A 与 B 的公共元素有且只有一个 9.
[正解] C ∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1 时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝ {1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．
2 交集、并集、补集的综合运算 学法指导：求集合交、并、补运算的方法
[例2] 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}， B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．
[分析]
求满足A∩B＝∅ 的m的取值范围
―→
对上述m的取值范 围在R中取补集
―→
结论
[解析] 先求A∩B＝∅时m的取值范围． (1)当A＝∅时， 方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根， 所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)<0， 解得m>－1.
(2)当A≠∅，A∩BFra Baidu bibliotek∅时，
方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．
[解析] 由图形可得正确选项为B. [答案] B
规律总结：1.由于本题涉及的图形情况比较简单，运 用图示方法求解并未体现出有多大的优越性，但若是遇到较 复杂的情况且涉及多个集合时，集合Venn图将以其直观明了 的特点为你的解题提供一个快捷方式．另外，运用图示方法 或补集的定义，我们能够很快得出结论：∁U(∁UA)＝A，在本 题中直接运用这一结论，则问题立即可解．