交并补------集合的运算
集合的三种基本运算
集合的三种基本运算集合的三种运算分别是有交集、并集、补集。
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。
（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。
（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A= { x| x∈B且x∉A}。
（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。
（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。
符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。
当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。
一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。
高中数学(新人教A版)必修第一册：集合的基本运算【精品课件】
的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
（三）交集
【做一做】
【探究2】
已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，
则A∩B＝(
)
A．{0,2}
C．{0}
B．{1,2}
D．{－2，－1,0,1,2}
交集的性质：
[答案]
A
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；
③A∩∅＝∅； ④若A⊆B，则A∩B＝A；
（四）集合的交并运算
【巩固练习1】
(1) 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(
A．{－1,2,3}
B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3}
D．{1，－2，－3}
(2) 若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.
⑤(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.
（四）集合的交并运算
1.集合的并集运算
例1.
（1）设集合M＝{x| 2 ＋2x＝0，x∈R}，N＝{x| 2 －2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(
A.{0}
B.{0,2} C.{－2,0} D.{－2,0,2}
（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，求A∪B。
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算（第2课时）
教材分析
本小节内容选自：
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一课时
课时内容
集合的并集、交集运算
集合的补集、综合运算
所在位置
教材第10页
2020年新高考数学复习求同存异解决集合的交、并、补运算问题专题解析
2020年新高考数学复习求同存异解决集合的交、并、补运算问题专题解析考纲要求:1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.基础知识回顾:1、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集若全集为U，则集合A的补集为符号表示A∪B A∩B∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A}2、集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A，∁U（A∪B）=∁U A∩∁U B,∁U（A∩B）=∁U A∪∁U B应用举例:类型一：已知集合中的元素，求其交集、并集或补集 例1.已知集合，，则为（ ）A.B.C.D.【答案】C例2.全集{}2,1,0,1,2U =--， {}2,2A =-， 2{|10}B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}1,1-D. {}0 【答案】D【解析】试题分析：根据韦恩图得到表示的是()U C A B ⋃，根据题意求得集合B ，再求集合A 并B ，再求补集即可.详解： {}{}2|1011B x x =-==-，，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃， {}2,1,1,2A B ⋃=--，(){}0U C A B ⋃=故答案为：D.点睛：这个题目考查了韦恩图的应用，一般先读懂韦恩图所代表的集合的含义，再将区域用集合的交并补形式表示出来，最终求解即可.例3．已知全集，集合，，则中元素的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分析：先解分式不等式得集合U，解绝对值不等式得集合A，解二次不等式得集合B，最后根据并集以及补集定义得结果.详解：因为，所以,因为，所以,因为，所以,因此，元素的个数是3,选D,点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．类型二：已知集合交集、并集或补集中的元素，求其集合中的元素例4．设全集，，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【例5】设全集{}()1,2,3,4,5,U U C A B ==U {}(){}1,A 3U C B =I ，则集合B =（ ）A ．{}1,2,4,5B ．{}2,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,4,5【答案】B【解析】如图，{2,4,5}B =．故选B ．13U ：1，2，3，4，5BA类型三：已知集合关系求参数的值或范围 例6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】B例7．已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________. 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意， {|12}A B x x ⋃=-＜＜ ， ∵集合{|10}C x mx A B C =+⋃⊆＞， ， ①111102022m x m m m m -∴-≥∴≥-∴-≤＜，＜，，，＜；②m 0= 时，成立；③1101101m x m m m m -∴-≤-∴≤∴≤＞，＞，，，＜，综上所述， 112m -≤≤，故答案为112m -≤≤．例8．已知函数()41log ,,416f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域是集合A ，关于x 的不等式()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合5|01x C x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->. （1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3.解：（1）因为41>，所以()f x 在区间1416⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()()44min max 1log 2,log 4116f x f x ==-==，所以[]2,1A =-.由()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，可得()322x a x -+>，即3x a x -->，所以4a x <-，所以,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭.又因为A B B ⋃=，所以A B ⊆． 所以14a->，解得4a <-， 所以实数a 的取值范围为(),4-∞-．方法、规律归纳:1、一个性质：要注意应用A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性． 两种方法2、两种方法：韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 实战演练:1．已知集合{}21,1M xN y y x x ⎧⎫=<==-⎨⎬⎩⎭，则()R C M N ⋂= A. (]0,2 B. []0,2 C. ∅ D. []1,2 【答案】B【解析】因为(){}[)212,,10,M xN y y x x ∞⎧⎫=<+==-=+∞⎨⎬⎩⎭＝，则(]R ,2C M =-∞， ()[]0,2R C M N ⋂=.故选B.2．已知全集为，集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C3．已知集合，，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：集合为函数的值域，集合为函数的定义域，分别求出它们后可求出交集及其补集. 详解：，，故，所以，故选C.点睛：本题为集合和函数性质的综合题，一般地，表示函数的值域，表示函数的定义域，解题中注意集合中代表元的含义. 4．设集合，，则的真子集的个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】C5．设集合1|,36k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 2|,63k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. M N = B. M N ⊂≠C. NM ⊂≠D. M N ⋂=∅【答案】B【解析】 因为()()112121,2,366636k k x k x k k Z =+=+=+=+∈，所以M N ⊂≠，故选B.6．已知集合，，若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】分析：由可得是方程的两根，再根据韦达定理列方程求解即可.详解： ，由，可得是方程得两根， 由韦达定理可得，即，故选B.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解． 7．集合,,若只有一个元素，则实数的值为（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2 【答案】B 【解析】因为只有一个元素，而， 所以 或，选B.8．集合，，，则的取值范围是_______．【答案】9．已知集合1{|}2M x x =≥-， 32{|310}A x M x x a =∈-+-=， {|20}B x M x a =∈--=，若集合A B ⋃的子集的个数为8，则a 的取值范围为__________． 【答案】51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】作函数()()321131,,2,22h x x x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图像，因为集合A B ⋃的子集的个数为8，所以集合A B ⋃的子集的元素为3，因此()5111112228g a h a f ⎛⎫⎛⎫-=-≤<-=≠=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，即a 的取值范围为51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．函数()()2lg f x x ax b =++的定义域为集合A ,函数()243g x kx x k =+++的定义域为集合B ,若(∁R A )∩B =B , (∁R A )∪B ={x |－2≤x ≤3}.求实数,a b 的值及实数k 的取值范围.【答案】1,6a b =-=-, 24,3k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.。
集合中元素的交并补运算
集合中元素的交并补运算一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号括起来，如{a, b, c}。
3.集合的元素：集合中的每一个成员称为元素。
二、集合的基本运算1.交集（∩）：两个集合中共同拥有的元素构成的新集合。
2.并集（∪）：两个集合中所有元素（包括重复元素）构成的新集合。
3.补集（’）：一个集合在全集中所没有的元素构成的新集合。
三、交集的性质1.交换律：A∩B=B∩A2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3.对于任何集合A，A∩∅=∅=A∩A四、并集的性质1.交换律：A∪B=B∪A2.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.对于任何集合A，A∪∅=A=A∪A4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)五、补集的性质1.A’∪A=∅，A’∩A=U（其中U为全集）2.(A’∪B)’=A∩B3.(A’∩B)’=A∪B六、交、并、补运算的应用1.集合的划分：将一个集合分成若干个互不交集的过程。
2.集合的覆盖：用若干个集合覆盖一个集合的过程，涉及到并集的性质。
3.集合的包含关系：通过交集和补集判断两个集合的包含关系。
七、注意事项1.集合运算中，元素必须满足确定性和互异性。
2.集合运算中，要注意区分集合与元素的关系，遵循运算法则。
3.在解决实际问题时，要灵活运用集合的交、并、补运算，简化问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合中元素的交并补运算的基本概念、性质和应用，为后续数学学习打下坚实的基础。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B和A∪B。
解题方法：根据交集和并集的定义，可以直接找出A和B中共同的元素和所有元素。
解：A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。
2.习题：如果集合A={x | x是小于5的整数}，集合B={x | x是小于6的整数}，求A∩B和A’∪B。
课件集合的基本运算_人教版高中数学必修一PPT课件_优秀版
(3)(∁SA)∪(∁SB)；
6
解析：
• 【解析】(1)由并集的概念可知A∪B＝{1,2,3,4,5,6}；
•
(2)借助数轴(如图)
•
•
∴M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
• 【答案】(1){1,2,3,4,5,6} (2)A
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方法归纳：
• 并集的运算技巧： • (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的
互异性． • (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但是要注意含“＝”
用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
8
探究一 并集的运算
9
解析：
10
探究二 交集的运算
• 【例】(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则A∩B＝________.
•
(2)已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝
________.
•
11
解析：
• 【解析】(1)A＝{x|x＝1或x＝－2}，B＝{x|x＝－2或x＝3}，
•
∴A∩B＝{－2}．
•
(2)结合数轴：
•
•
由图可知m＝6.
• 【答案】(1){－2} (2)6
是否存在？若存在，求出x；
∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
由此可得：(1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．(2)∁S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}；
(3)(∁SA)∪(∁SB)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1＜x＜3，或5≤x≤7}；
集合中的运算和关系
集合中的运算和关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合中的运算和关系是研究集合性质和结构的重要内容。
一、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
1.并集：设A、B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有元素的集合。
2.交集：设A、B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示同时属于A和B的元素的集合。
3.差集：设A、B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示属于A但不属于B的元素的集合。
4.补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，A的补集记为A’，表示U中不属于A的元素的集合。
二、集合的关系集合之间的关系主要包括包含关系、相等关系和不相交关系等。
1.包含关系：设A、B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，则称A包含于B，记为A⊆B。
如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
2.相等关系：设A、B是两个集合，如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
3.不相交关系：设A、B是两个集合，如果A和B没有共同的元素，则称A和B不相交，记为A∩B=∅。
三、集合的性质1.确定性：集合中的元素是确定的，不含有不确定性。
2.互异性：集合中的元素是互不相同的。
3.无序性：集合中的元素没有顺序。
四、集合运算的性质1.结合律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足结合律。
2.交换律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足交换律。
3.分配律：对于集合的并集和交集运算，满足分配律。
五、集合的关系的性质1.自反性：对于任意集合A，A包含于A。
2.对称性：对于任意集合A、B，如果A包含于B，则B包含于A。
3.传递性：对于任意集合A、B、C，如果A包含于B且B包含于C，则A包含于C。
以上是集合中的运算和关系的基本知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B、A∩B、A-B、A’。
高中数学 集合间交、并、补的运算
集合间交、并、补的运算一、交集：交集概念：（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为。
数学上，一般地，对于给定的两个集合A 和集合B 的交集是指含有所有既属于A 又属于B 的元素，而没有其他元素的集合。
由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x ∈A,且x∈B}。
交集越交越少。
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B例如：集合{1，2，3} 和{2，3，4} 的交集为{2，3}。
数字9 不属于素数集合{2，3，5，7，11} 和奇数集合{1，3，5，7，9，11}的交集。
若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交，写作：A ∩B = ? ;。
例如集合{1，2} 和{3，4} 不相交，写作{1，2} ∩{3，4} = ? 。
更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。
例如，集合A，B，C 和 D 的交集为A ∩B ∩C∩D =A∩（B ∩（C ∩D））。
交集运算满足结合律，即 A ∩（B∩C）=（A∩B）∩C。
最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。
若M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则x 属于M 的交集，当且仅当对任意M 的元素A，x 属于A。
这一概念与前述的思想相同，例如，A ∩B ∩C 是集合{A，B，C} 的交集。
（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。
这一概念的符号有时候也会变化。
集合论理论家们有时用"∩M"，有时用"∩A∈MA"。
后一种写法可以一般化为"∩i∈IAi"，表示集合{Ai : i ∈I} 的交集。
这里I 非空，Ai 是一个i 属于I 的集合。
注意当符号"∩" 写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。
交集、并集、补集、全集
交集、并集、补集、全集交集.并集.补集.全集一.学习内容:1.理解交集.并集.全集与补集的概念.2.熟悉交集.并集.补集的性质,熟练进行交.并.补的运算二.例题第一阶梯例1.什么叫集合A.B的交集?并集?答案:交集:A∩B={_ _∈A , 且_∈B}并集:A∪B={_ _∈A , 或_∈B}说明:上面用描述法给出的交集.并集的定义,要特别注意逻辑联结词;且;.;或;的准确意义,在交集中用;且;在并集中用;或交.并运算有下列推论:例2.什么叫全集?补集?答案:在研究集合与集合的关系时,相对于所研究的问题,存在一个集合I,使得问题中的所有集合都是I的子集,我们就把集合I看作全集,全集通常用I表示.补集:.说明:全集和补集都是相对的概念.全集相对于所研究的问题,我们可以适当地选取全集,而补集又相对于全集而言.如果全集改设了,那么补集也随之而改变.为了简化问题可以巧设全集或改设全集,;选取全集;成为解题的巧妙方法.补运算有下列推论:①;②;③.例3.(1)求证:,.(2)画出下列集合图(用阴影表示):①; ②; ③;④.提示:(1)证明两个集合M和P相等可分两步完成:第一步证明;由_∈MT_∈P;;第二步证明;由_∈PT_∈M ;.(2)利用(1)的结果画③.④.答案:说明:(1)中的两个等式是集合的运算定律,很容易记住它,解题时可以应用它.这个证明较难,通常不作要求.但其证明是对交.并.补运算及子集的很好练习.(2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习.图(1)叫做;左月牙;,图2叫做;右月牙;.画图3.图4时要利用集合的两个运算律来画.第二阶梯例1.已知A={_ 2_4＋5_3－3_2=0},B={_ _2＋2_－15=0},求A∩B,A∪B.[提示]先用列举法化简集合A和B.[答案]由2_4＋5_3－3_2=0得_=0,或2_2＋5_－3=0,∴_=0,或_=－3,或_=,∴A={－3,0, }由_2＋2_－15=0得_=3或_=－5,∴_= ±3,即得B={－3,3}.∴A∩B={－3},A∪B={－3,0,,3}例2.设全集I={2,3,a2＋2a－3} , A={2 , 2a－1} , ={5} , 求实数a的值. 答案:说明:例3.设全集I={1,2,3,…9},={3,8},={2,5},={1,2,3,5,6,7,8},求集合A,B.[答案]说明:例4.设A={_ __gt;5或__lt;－1} , B={_ a≤_≤a＋3},试问实数a为何值时,(1) A∩B=φ;(2) A∩B≠φ;(3) AB.答案:说明:数形结合在集合中有两个方法:一是画集合图,如例3;二是利用坐标系,如本例画数轴(数轴是一维的坐标系).这两个方法总括为集合的图示法,即寻求集合与图形的对应,找到直觉.从而把抽象的集合问题具体化和形象化此外,本题之(二)的解法是补集法,省去了多少烦恼!第三阶梯:例1.设全集I={(_ , y) _ , y∈R},集合M={(_ , y)},N={(_ , y) y=3_－2},那么等于( ).(A) φ(B) (2 , 4) (C) {(2 , 4)}(D) N提示:先等价化简集合M,再用坐标平面内的点集理解集合M与N的关系.答案:,∴M={(_ , y) y=3_－2,且_≠2},∴N=M∪{(2 , 4)}∴={(2, 4)},故选(C).说明:本题是数形结合法的范例,用点集来理解抽象的集合M.N的关系就十分清晰.直观.解题的关键是分清M和N的关系,当找到N=M∪{(2 , 4)}时,问题便迎刃而解.此外,注意单元素集合{(2,4)}和元素(2, 4)不同,所以选(B)是错误的.例2.据统计我校高中一年级的100名学生中,爱好体育的学生有75人,爱好文艺的学生有56人,试问文艺.体育都爱好的学生最多有多少人?最少有多少人?提示:利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系.答案:设A={爱好体育的学生},B={爱好文艺的学生},则A∩B={文艺.体育都爱好的学生},A∪B={爱好文艺或爱好体育的学生}.我们把有限集合M的元素个数记作card(M),card(A)=75,card(B)=56,card(A∩B)=y , card(A∪B)=_.于是由集合图(图7)得 _=75＋56－y (75≤_≤100)即 y=131－_ (75≤_≤100)∴31≤y≤56.答:文艺.体育都爱好的学生最多有56人,最少有31人.说明:关于有限集合的并.交的元素个数的问题,用图解法解决具有无比的优越性.一般地,对于任意两个有限集合A , B有card(A∪B)=card(A)＋card(B)－card(A∩B).其道理可由图8看出来.对于任意的三个有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)＋card(B)+card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)其道理可由图9看出来.三.练习题A组一.选择题(1．已知全集I={0,－1 ,－2 ,－3 ,－4},集合M={0,1,－2},N ={0,－3,－4},则=A.{0}B.{－3,－4}C.{－1,－2}D.φ(2．设全集为R,集合M={_ f(_)=0},P={_ g(_)=0},S={_h(_)=0},则方程的解集是( )A. M∩P∩NB.M∩PC.M∩P∩SD.M∩P∩(3．已知集合P.M满足P∩M={1,2},P∪M={1,2,3,4,5},全集I=N,则(P∪M)∩( )为( )A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{1,4,5}(4．设I是全集,集合P.Q满足P∈Q,则下面结论中错误的是A.P∪Q=QB.C.D.(5．满足{1,2}∪M={1,2,3}的所有集合M有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题1.设A={梯形},B={平行四边形},C={矩形},D={菱形},E={正方形},则(A∩B) ∪(B∩C)∪(D∪E)=.2.设_,y∈R,集合A={(_,y)4_－y－3=0},B={(_,y)2_－3y＋11=0} , 则A∩B= .3.全集I={1,2,3,4},子集A和B满足: ={1},A∩B={3}, ={2},则A=.4.集合A={1,_2},且={1,3,_},则实数_的取值范围是.5.某班48名学生中,有13人爱打篮球又爱唱歌,有29人不爱唱歌,有16人不爱打篮球.则不爱打篮球又不爱唱歌的学生数为.答案:一.选择题1—5 B,D,C,D,D二.填空题1.D2.{(2 , 5)}3.{3 , 4}4.{0 , －, }5.10B组一.选择题1．集合{1,2,3}的子集共有( )A．7个B．8个 C．6个 D．5个2．下列命题或记法中正确的是( )A．R+∈RB．Z- {__0,_∈Z}C．空集是任何集合的真子集D．3．同时满足{1}A{1,2,3,4,5},且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是( )A．5 B．6 C．7D．84．设A={_1_lt;__lt;2},B={___lt;a},若AB,则a的取值范围是( )A． B．C． D．5．六个关系式:(1){a,b}={b,a};(2){a,b}{b,a};(3);(4){0}=;(5){0};(6)0∈{0}.其中正确的个数为( )A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下6．集合M={__=3k-2,k∈Z},P={yy=3l+1,l∈Z},S={yy=6m+1,m∈Z}之间的关系是( )A．SPM B．S=PM C．SP=M D．SP=M二.填空题7．已知集合P={__2=1},集合Q={_a_=1},若QP,那么a的值是________.8．设S={__是至少有一组对边平行的四边形},A={__是平行四边形},则CsA=________.9．求满足条件{__2+1=0,_∈R}的集合M的个数.答案:一.1．B 2．D 3．C4．A 5．C6．C二.7．0.或—18．{__是梯形}9．{__2+1=0,_∈R}=,又{__2-1=0,_∈R}={-1,1},其非空子集为{-1},{1},{-1,1}.所以满足条件{__2+1=0,_∈R}M{__2-1=0}的集合M共3个.。
交并补------集合的运算
[例3] 已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}． (1)若A⊆B，问∁RB⊆∁RA是否成立？ (2)若∁RA⊆∁RB，求a的取值范围．
[解析] (1)∵A⊆B，如图(1)．
∴a≥3，而∁RB＝{x|x≥a}，∁RA＝{x|x≥3}． ∴∁RB⊆∁RA.即∁RB⊆∁RA成立．
∴2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ122－12a＋b＝0
，
b·122＋12a＋2＋5＋b＝0
解之得ab＝ ＝－ －429936
，
于是A＝{x|18x2＋43x－26＝0}＝{12，－296}． B＝{x|26x2＋25x－19＝0}＝{12，－1193}． ∴A∪B＝{12，－296，－1193}．
(2)如图(2)，
∵∁RA＝{x|x≥3}，∁RB＝{x|x≥a}， ∵∁RA⊆∁RB，∴a≤3. 故所求a的取值范围为{a|a≤3}．
已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，若A∪∁RB＝ R，求实数a的取值范围．
[分析] 与集合交、并补运算有关的求参数问题一般利 用数轴分析法分析求解．
设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则
Δ＝－42－42m＋6≥0， x1＋x2＝4≥0， x1x2＝2m＋6≥0，
即 mm≤≥－－13，，
解得－3≤m≤－1. 综上，当A∩B＝∅时， m的取值范围是{m|m≥－3}． 又因为U＝R， 所以当A∩B≠∅时， m的取值范围是m<－3. 所以，A∩B≠∅时， m的取值范围是{m|m<－3}．
[分析]
求满足A∩B＝∅ 的m的取值范围
―→
对上述m的取值范 围在R中取补集
第八讲 集合的基本运算(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（解析版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。
二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。
四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B 若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【答案】C【分析】根据并集的定义直接求解即可.【详解】因为{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，所以S T ⋃={}1,2,3,4,5，故选：C【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【答案】B【解析】{|1}A x x =< ，{|22}B x x =-<<，{|2}A B x x ∴=< ．故选B．【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为{}1A B ⋂=，所以11a -=或221a +=，解得：2a =．故选：C．【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集，集合，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【答案】．{}3,4,5【解析】解：{0U = ，1，2，3，4，5}，{0A =，1，2，3}，{3B =，4}，{4U A ∴=ð，5}，(){3U A B ⋃=ð，4，5}.故答案为：{3，4，5}.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【答案】．（1）{}27x x -≤≤；（2）{2m m <或}4m >.【解析】（1）当4m =时，{}57B x x =≤≤，故{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）当121m m +>-时，即当2m <时，B =∅，则A B =∅ ；当121m m +≤-时，即当2m ≥时，B ≠∅，因为A B =∅ ，则212m -<-或15m +>，解得12m <-或4m >，此时有4m >.综上所述，实数m 的取值范围是{2m m <或}4m >.【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N⊆B ．{}4M N = C ．M N⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【答案】B【分析】利用集合的交并运算求M N ⋂、M N ⋃，注意,M N 是否存在包含关系，即可得答案.【详解】因为{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，所以{}4M N = ，{}|26M N x x =-<≤ ，,M N 相互没有包含关系.故选：B【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【答案】C【解析】{}{}20,1N x x x =∈==R ，{}1,0,1,2M N ∴=- .故选：C.【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<【答案】C【解析】由题意知：P Q = {}35x x ≤<.故选：C.题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【答案】D【分析】根据集合补集的运算法则进行求解.【详解】 集合{}=1,3,5,79A ，，{}2468U C A =，，，{}=1,2,3,4,5,6,7,8,9U ∴又{}=1,4,6,8,9U C B {}=2,3,5,7B 故选：D【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬B ．11,23⎧⎫⎨⎬C ．111,,23⎧⎫⎨⎬D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】D【分析】依题意可得1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得即可.【详解】解：因为(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+且A B =R ，所以1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a ≤≤，即[]1,2a ∈；故选：D【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3m ≥；（2）0m >.【解析】：（1）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，014312m m m m >⎧⎪∴--≤-⇒≥⎨⎪-≥⎩；（2）若A B = ∅，则014m m >⎧⎨-≤-⎩或012m m >⎧⎨--≥⎩，不等式组无解，所以A B ⋂≠∅时，所以0.m >【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】．{}44a a -<≤由题意，知{}1,2A =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.（1）若1B ∈，则1是方程2220x ax -+=的根，所以4a =.当4a =时，{}1B A =⊆，符合题意.（2）若2B ∈，则2是方程2220x ax -+=的根，所以5a =.当5a =时，{}2125202,2B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，此时不满足B A ⊆，所以5a =不符合题意.（3）若B =∅，则2160a ∆=-<，解得44a -<<，此时B A ⊆.综上所述，a 的取值范围为{}44a a -<≤.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}13A x x =<<；（2）32a ≤．【解析】（1）当2a =时，有2430x x -+<，解得13x <<，故{}13A x x =<<．（2）∵{}2B x x =>，∴{}2R B x x =≤ð，不等式22210x ax a -+-<可以表示成()()1210x x a ---<⎡⎤⎣⎦，当1a <时，{}211A x a x =-<<，此时R A B ⊆ð成立，当1a =时，A =∅，R A B ⊆ð成立，当1a >时，{}121A x x a =<<-，若此时R A B ⊆ð成立，则212a -≤，解得32a ≤，故312a <≤．综上所述，32a ≤．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)(][),11,-∞-⋃+∞【分析】（1）代入a 的值求出集合A ，再求并集可得答案；（2）求出B R ð，根据A B A ⋂=R ð可得A B ⊆R ð，分A =∅、A ≠∅讨论可得答案.（1）选择条件①：因为1a =-，所以()3,0A =-，又[]0,1B =，所以(]3,1A B ⋃=-；选择条件②：因为0a =，所以()1,1A =-，又[]0,1B =，所以(]1,1A B ⋃=-；选择条件③：因为1a =，所以()1,2A =，又[]0,1B =，所以[)0,2A B ⋃=；（2）因为[]0,1B =，所以()(),01,B =-∞⋃+∞R ð，因为A B A ⋂=R ð，所以A B ⊆R ð，当A =∅时，满足R A B ⊆ð，此时211a a -≥+，即2a ≥，当A ≠∅时，则2 10a a <⎧⎨+≤⎩或2211a a <⎧⎨-≥⎩，解得1a ≤-或12a ≤<，综上，a 的取值范围为(][),11,-∞-⋃+∞．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【答案】．B【解析】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞，图象表示集合为()U A B ⋂ð，()U ,3A =-∞ð，()()U 2,3A B ⋂=-ð.故选：B【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【答案】．C【解析】{}{}50,565,4,3,2,1,0,1,2,3,4,560x U x x x x ⎧+⎧⎫⎪=∈=∈-≤<=-----⎨⎨⎬->⎩⎭⎪⎩ZZ ，集合{}{}{}313241,0,1,2,3M x x x x =∈-<-<=∈-<<=-Z Z ．因为集合{}4,2,0,1,5N =--，所以{}5,3,1,2,3,4U N =---ð，所以Venn 图中阴影部分表示的集合为(){}1,2,3U M N ⋂=-ð，故选：C．【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【答案】A【分析】根据集合的运算可得答案.【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为2320358+-=.故选：A.【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）【例12】．（2021·全国高一单元测试）已知对于集合A 、B ，定义{|}A B x x A x B -=∈∉，且，()()A B A B B A ⊕=-⋃-.设集合{123456}M =，，，，，，集合{}45678910N =，，，，，，，则M N ⊕中元素个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】．D【解析】∵{123456}M =，，，，，，{}45678910N =，，，，，，，∴{}{|}123M N x x M x N -=∈∉=，且，，，{}{|}78910N M x x N x M -=∈∉=，且，，，，∴{}{}{}()()1237891012378910M N M N N M ⊕=-⋃-=⋃=，，，，，，，，，，，，其中有7个元素，故选D.（2021·湖北·葛洲坝中学高一期中）已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{},A B x x A x B -=∈∉，若集合11|,13A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{}2|1,12B y y x x ==--≤≤，则B A -=（）A ．{}11x x -≤≤B ．{}11x x -≤<C ．{}01x x ≤≤D ．{}01x x ≤<【变式1】（2022·山西太原高三专题检测）设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B = ，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”的个数是（）A ．16B ．9C ．8D ．4【答案】B【解析】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4中结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.故选：B.【变式2】．（2023·四川成都高三专题模拟）对于两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊙”如下，当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }中元素的个数是_____.【答案】13【解析】∵当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，∴集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13个元素，故答案为：13。
集合的交并补运算
观察集合A, B, C之间的关系 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1, 2, 3}, C={4, 5} A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B={1, 2, 3} C={4, 5, 6, 7}
观察集合A，B，C之间的关系 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1，2，3}, C={4，5} A={1，2，3, 4，5，6, 7}， B={1，2，3} C={4，5，6, 7}
并集
交集
A A A, A A A A A, A
A∪B =B∪A
A∩B=B∩A
子集、交 集、并集 之间的关 系
(A∪B) A ，(A∪B) B (A∩B) A ，(A∩B) B
(A∩B)＝A A B (A∪B)＝B A B
(A∩B) (A ∪ B)
六 知识总结
本节我们学习了集合的并、交两种基本运算, 要在理解其运算本质的基础上记忆其运算性质； 在掌握概念的基础上能够熟练运用自然语言、符 号语言、图形语言来表示集合的交、并运算.
A∩B={x|x∈A且x∈B}. 可用Venn图表示:
四 知识创新
根据右图讨论一下并集 的运算性质
1A B A, A B B; 2A A A; 3A A; 4A B B A.
四 知识创新
根据右图讨论一下交集 的运算性质
1(A B) A, (A B) B; 2A A A; 3A ; 4A B B A.
2和 4都不是方程x2 ax a2 19 0的解;
3是方程x2 ax a2 19 0的解.
a2 3a 10 0, a 2或a 5. 当a 2时,经验证适合题意; 当a 5时, A {2,3}, 此时A C , a 5舍去. a 2.
集合的基本运算(并集、交集)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
作者编号：32101
归纳总结
并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中
元素的互异性.
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意
是否去掉端点值.
作者编号：32101
观察下面的集合，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？
（1） A=｛2，4，6，8，10｝， B=｛3，5，8，12｝， C = ｛8｝
（2）A=｛|是立德中学今年在校的女同学｝，
B=｛ | 是立德中学今年在校的高一年级同学｝，
C=｛ | 是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．
集合C 是由既属于集合A 且又属于集合B 的所有元素组成的．
作者编号：32101
新课讲授 ——知识点2 交集
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A与
（1） A=｛1，3，5，7｝， B=｛2，4，6，7｝，
C=｛1，2，3，4，5，6，7｝．
（2）A=｛ |是有理数｝， B=｛ |是无理数｝，
C=｛ |是实数｝．
集合C 是由属于集合A 或属于B 的所有元素组成的．
作者编号：32101
新课讲授 ——知识点1 并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集
是 m≤2
.
解：借助数轴得A∩B＝A如图所示，
+1≤1
∴
，解得m≤2.
1 − 3 ≥ 7
作者编号：32101
A
B
1
7
x
归纳总结
交集性质
性质① A∩B＝B∩A
性质② A∩A＝A
性质③ A∩∅＝∅
性质④ A∩B＝A⇔A⊆B
集合的交并补运算
集合间关系与性质
子集
对于两个集合A和B，如果A中的每一个元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
真子集
如果A是B的子集，且A不等于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
空集
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。空集是任何集合的子集。
相等集合
如果两个集合A和B满足A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，记作A=B。
集合的交并补运算
汇报人：XX
目 录
• 集合基本概念与性质 • 交集运算及其性质 • 并集运算及其性质 • 补集运算及其性质 • 复杂集合运算处理技巧 • 总结回顾与拓展延伸
01 集合基本概念与 性质
集合定义及表示方法
集合定义
集合是具有某种特定性质的事物的总 体，事物称为元素。
表示方法
集合通常用大写字母A、B、C等表示 ，元素用小写字母a、b、c等表示。 如果元素a属于集合A，则记作a∈A。
文氏图定义
文氏图是一种用图形表示集合及其关系的方法，通过图形中的重叠部分表示集合的交集、 并集等运算结果。
应用场景
当涉及多个集合的复杂运算时，文氏图可以直观地展示各个集合之间的关系，帮助我们更 好地理解运算过程。
举例
假设有三个集合A、B和C，它们的文氏图表示了三个集合之间的交集、并集等关系。通过 文氏图，我们可以清晰地看出各个集合之间的重叠部分，从而方便地进行复杂的集合运算 。
可数性的判断方法
可数集与不可数集
可数集是指能与自然数集建立一 一对应关系的无限集合；不可数 集则不能与自然数集建立一一对 应关系。
通过构造一一映射或反证法等方 法来判断一个无限集合是否为可 数集。
可数集的性质
可数集的任何子集都是可数集； 可数个可数集的并集仍然是可数 集。
集合的交并补运算
集合的交并补运算集合是数学中的基本概念之一，广泛应用于各个领域。
集合的交、并和补运算是集合论中重要的概念，它们用于描述和操作不同集合之间的关系。
本文将详细介绍集合的交、并和补运算。
一、集合的交运算集合的交运算是指两个集合中共有的元素构成的新集合。
用符号∩表示集合的交运算。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
集合的交运算有以下几个特性：1. 交换律：对任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
2. 结合律：对任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 吸收律：对任意集合A和B，有A∩(A∪B)=A。
4. 通用性：对于任意的集合A、B和C，如果A∩B=A∩C，则B=C。
通过集合的交运算，我们可以得到两个或多个集合共有的元素，这有助于我们进行更精确的描述和操作。
二、集合的并运算集合的并运算是指两个集合中所有元素构成的新集合。
用符号∪表示集合的并运算。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
集合的并运算有以下几个特性：1. 交换律：对任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
2. 结合律：对任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3. 吸收律：对任意集合A和B，有A∪(A∩B)=A。
4. 通用性：对于任意的集合A、B和C，如果A∪B=A∪C，则B=C。
集合的并运算能够将两个集合中的所有元素进行合并，形成一个更大的集合。
通过并运算，我们可以得到两个或多个集合的总体情况。
三、集合的补运算集合的补运算是指在全集中减去一个集合中的元素，得到一个新的集合。
用符号-表示集合的补运算。
例如，全集为U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，则A的补集为A'={3,4,5}。
集合的补运算有以下几个特性：1. 对偶律：对任意集合A，有(A')'=A。
2. 同一律：对任意集合A，有A∪A'=U，A∩A'={}。
集合的运算(交集、并集、补集)
AB
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– (1)A∪B= B∪ A – (2)A∪ A = A, A ∪ ∅ = ������ – (3)A⊆ A∪B,B⊆ A∪B
x-y=4
解:解方程组 x+y=0，得 x=2，所以A∩B={（2，-2）}。
x-y=4
y=-2
【想一想】能否把 {（2，-2）} 写作 {2，-1} ？
例3 设A={x|-1<x ≤2}，B={x|0<x ≤ 3},求A∩B。 分析：这两个集合都是用描述法表示的集合，并且元素无法一一列举出来。 这两个集合都可以在数轴上表示出来，观察数轴上表示的两个集合，可以得 到这两个集合的交集。
A A∩B B
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A – （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅ – （3） A ∩ B⊆ ������, A ∩ B ⊆ ������
A
B
A∩B=∅
B AA B
、 【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。 解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。
集合的交并补
§1.3集合的基本运算集合的交并补学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．知识点一并集思考并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况，你知道有哪三种情况吗？答案“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示．知识点二交集思考 在交集的定义中“x ∈A 且x ∈B ”与“x ∈(A ∩B )”是等价的吗？答案 “x ∈A 且x ∈B ”与“x ∈(A ∩B )”是等价的，即由既属于A ，又属于B 的元素组成的集合为A ∩B . 知识点三 全集与补集 1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U . 思考 全集一定是实数集R 吗？答案 不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R ，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z . 2．补集自然语言 对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A符号语言 ∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言思考 ∁U A 包含哪三层意思？答案 ①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且∁U A ⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合．1．全集一定含有任何元素．( ) 2．集合∁R A ＝∁Q A .( )3．一个集合的补集一定含有元素．( ) 4．存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( ) 5．设全集U ＝R ，A ＝x1x >1，则∁U A ＝x1x ≤1.( ) 答案 1.× 2.× 3.× 4.× 5.×1.已知表示集合M ＝{－1,0,1}和P ＝{0，1,2,3}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分表示的集合是________．答案{0,1}解析由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是M∩P，因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，所以M∩P＝{－1,0,1}∩{0,1,2,3}＝{0,1}．2．设集合M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝________，M∪N＝________. 答案{1,2}{0,1,2,3}解析∵M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，∴M∩N＝{1,2}，M∪N＝{0,1,2,3}．3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|1≤x≤2}，则A∪B＝________.答案{x|x>0}解析A∪B＝{x|x>0}∪{x|1≤x≤2}＝{x|x>0}．4．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________.答案{x|1<x<3}解析因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．一、并集的运算例1(1)设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于() A．{－2} B．{－2,3}C．{－1,0，－2} D．{－1,0，－2,3}答案 D解析因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，所以A∪B＝{－1,0，－2,3}．(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}答案 A解析在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．反思感悟并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．跟踪训练1已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于() A．{0} B．{0,3}C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}答案 D解析易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．二、交集的运算例2(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于() A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案 D解析因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}答案 A解析在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．反思感悟交集运算的注意点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．跟踪训练2 若A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}答案 A解析 易知A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B ＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{2}．三、并集、交集性质的应用例3 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论． ①当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，∴k <2. ②当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52. 综合①②可得k 的取值范围是kk ≤52.延伸探究把本例中的条件“A ∪B ＝A ”换为“A ∩B ＝A ”，求k 的取值范围． 解 ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又∵A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}， 可知B ≠∅.由数轴(如图所示)可知k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k ∈∅，即当A ∩B ＝A 时，k 的取值范围为∅.反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的技巧(1)在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质：①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；③A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .跟踪训练3 (1)A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |a <x <4}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．3≤a <4 B ．－1<a <4 C ．a ≤－1 D ．a <－1答案 C解析 利用数轴，若A ∪B ＝R ，则a ≤－1.(2)设集合M ＝{x |－2<x <5}，N ＝{x |2－t <x <2t ＋1，t ∈R }．若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为________． 答案 {t |t ≤2}解析 由M ∩N ＝N ，得N ⊆M .故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∩N ＝N 成立；当N ≠∅时，由图得2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围为{t |t ≤2}．四、交、并、补集的综合运算例2 已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )，∁U (A ∪B )，(∁U A )∩(∁U B )，∁U (A ∩B )，(∁U A )∪(∁U B )．解 如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}．反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．跟踪训练2已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.解方法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．方法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．五、与补集有关的参数值的求解例3已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁U A)∩B＝B ，求实数m 的取值范围． 解 因为A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}， 所以∁U A ＝{x |－2<x <3}，因为(∁U A )∩B ＝B ，所以B ⊆(∁U A )． 当B ＝∅时，即2m ＋1≥m ＋7， 所以m ≥6，满足(∁U A )∩B ＝B .当B ≠∅时，由2m ＋1<m ＋7，2m ＋1≥－2，m ＋7≤3无解．故m 的取值范围是{m |m ≥6}．反思感悟 利用补集求参数应注意两点(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 跟踪训练3 已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x <－1或x >0}．若A ∩(∁R B )＝∅，求实数a 的取值范围．解 ∵B ＝{x |x <－1或x >0}， ∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}，要使A ∩(∁R B )＝∅，结合数轴分析(如图)， 可得a ≤－1.即实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．含字母的集合运算忽视空集或检验典例 (1)已知M ＝{2，a 2－3a ＋5,5}，N ＝{1，a 2－6a ＋10,3}，M ∩N ＝{2,3}，则a 的值是( ) A ．1或2 B ．2或4C ．2D ．1答案 C解析 ∵M ∩N ＝{2,3}，∴a 2－3a ＋5＝3， ∴a ＝1或2.当a ＝1时，N ＝{1,5,3}，M ＝{2,3,5}，不合题意； 当a ＝2时，N ＝{1,2,3}，M ＝{2,3,5}，符合题意．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围为________． 答案 {a |a ≥2}解析 由题意，得A ＝{1,2}．∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴当B ＝∅时，(－2)2－4(a －1)<0，解得a >2；当1∈B 时，1－2＋a －1＝0，解得a ＝2，且此时B ＝{1}，符合题意； 当2∈B 时，4－4＋a －1＝0，解得a ＝1，此时B ＝{0,2}，不合题意． 综上所述，a 的取值范围是{a |a ≥2}． 【素养提升】(1)经过数学运算和逻辑推理后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视． (2)在本例(2)中，A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，B 可能为空集，极易被忽视．1．(多选)满足{1}∪B ＝{1,2}的集合B 可能等于( ) A ．{2} B ．{1} C ．{1,2}D ．{1,2,3}2．若集合M ＝{－1,0,1,2}，N ＝{x |x (x －1)＝0}，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1}3．已知集合M ＝{a,0}，N ＝x ∈Z0<x <52，如果M ∩N ≠∅，则a 等于( )A ．1B ．2C ．1或2 D.524．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N ＝________.5．若集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x ≤－1或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. 6．设U ＝R ，A ＝{x |－1<x ≤0}，则∁U A 等于( ) A ．{x |x ≤－1或x >0} B ．{x |－1≤x <0} C ．{x |x <－1或x ≥0} D ．{x |x ≤－1或x ≥0}7．已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若∁A B ＝{5}，则实数m ＝________.【答案与解析】1、答案 AC解析 ∵{1}∪B ＝{1,2}，∴B 可能为{2}或{1,2}． 2、答案 D解析 N ＝{0,1}，M ∩N ＝{0,1}． 3、答案 C 解析∵N ＝x ∈Z0<x <52＝{1,2}， 又∵M ＝{a,0}，M ∩N ≠∅，∴a ＝1或a ＝2. 4、答案 {－1,0,1,2}解析 M ∪N 表示属于M 或属于N 的元素构成的集合，故M ∪N ＝{－1,0,1,2}． 5、答案 R {x |4≤x <5}解析 借助数轴可知A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |4≤x <5}．6、答案 A解析 因为U ＝R ，A ＝{x |－1<x ≤0}， 所以∁U A ＝{x |x ≤－1或x >0}． 7、答案 5解析 ∵∁A B ＝{5}，∴5∈A ，且5∉B .∴m ＝5.1．知识清单：(1)并集、交集的概念及运算． (2)并集、交集运算的性质． (3)求参数值或范围． 2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：(1)由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论． (2)求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．。
离散数学---集合的基本运算
E
A
B
广义的并集
集合的并(union)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA或者xB}，集合的并可 推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合， 它们的并定义为：
A1A2∪…An = {x | 存在某个i，使得xAi}
广义的交集
集合的交(intersection)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA而且xB}，集合的交也可推广 到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交 定义为：
集合的化简
化简((ABC)(AB))-((A(B-C))A) 证明:原集合=(AB)-A(吸收律)
=(AB)A =(AA)(BA)(分配律)
=(BA) =BA
(互补律) (同一律)
集合包含的性质
• AE •如果ABC，则AC •ABAA∪B •AB A∪B=B AB=A ~B ~A
利用集合等式证明
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
(A-B)∩(A-C)＝A∩~B∩A∩~C =A∩~B∩~C =A∩~(B∪C) =A-(B∪C)
证明吸收律A（AB）=A
证明：A（AB） =（A）（AB） =A（B） =A =A
已知AB=AC,AB=AC,求证B=C
6、零一律 A∩=，A∪E=E
（A∩B）=A∪B
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
10、双重否定律（A）=A
8、吸收律 A∪（A∩B）=A
注：A-B=A∩B
A∩（A∪B）=A
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）
即AB={xxA且x BxB且x A}
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助Venn图会使问题而解．
[例5] 设全集U≠∅，已知集合M、P、S之间满足关
系：M＝∁UP，P＝∁US，则集合M与S之间的正确关系是
()
A．M＝∁US
B．M＝S
C．S M
D．M S
[分析] 研究抽象集合的关系问题，可以利用集合的 Venn图去分析，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考 虑进去，以防因思虑不全面和由局部图形的先入为主而导致 解题的失误．
[分析] (1)由补集的定义，只需在集U中将A中元素去 掉，剩下元素构成的集合就是∁UA.
(2)至少有一组对边平行的四边形包括两组对边分别平行 的四边形和有一组对边平行、另一组对边不平行的四边形， 即平行四边形和梯形，可由此入手解题．
(3)因为实数与数轴上的点一一对应，则在数轴上分析A 及∁UA，一目了然，如下图所示．
2．补集 如果 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中所有不属于 A 的元 素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补．集．，记作∁UA.用描述法表
示为 {x|x∈U 且 x∉A} ，用 Venn 图表示为
.
补集符号∁UA有三层含义： (1)A 是 U 的一个子集，即 A⊆U； (2)∁UA 表示一个集合，且∁UA⊆U； (3)∁UA 是由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，即∁UA ＝{x|x∈U，且 x∉A}，故 A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝Ø. 补集的性质∁UØ＝ U ，∁UU＝ Ø ，∁U(∁UA)＝ A . 用适当的集合填空：
学法指导：解决这类问题一要注意数形结合，以形定 数，才能相得益彰，二要注意验证端点值，做到准确无误， 不然功亏一篑．
[例3] 已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}． (1)若A⊆B，问∁RB⊆∁RA是否成立？ (2)若∁RA⊆∁RB，求a的取值范围．
[解析] (1)∵A⊆B，如图(1)．
∴a≥3，而∁RB＝{x|x≥a}，∁RA＝{x|x≥3}． ∴∁RB⊆∁RA.即∁RB⊆∁RA成立．
x1－1＋x2－1>0， x1－1x2－1>0， 而不是x1＋x2>2，
x1x2>1.
(4)由于A∩B≠∅，故方程x2－4x＋2m＋6＝0一定有解， 故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m| －3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m<－3}，结果相同．
[名师点拨] (1)A∩B＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与 A≠∅两种情况．A＝∅表示方程无实根．
(2)B＝{x|x<0}，而A∩B＝∅，故A {x|x≥0}，即已知方程 的根为非负实根．
(3)Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x1＋x2≥0与 x1x2≥0保证了原方程两根非负．如果两根都大于1，则等价 形式为
第 2 课时 交集 并集 补集
自主练习： 在下列各组集合中，U 为全集，A 为 U 的 子集，求∁UA.
(1)U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,5}； (2)已知全集 U＝{x|x 是至少有一组对边平行的四边形}， A＝{x|x 是平行四边形}； (3)U＝R，A＝{x|－1≤x＜2}； (4)U＝Z，A＝{x|x＝3k±1，k∈Z}．
2. 已知集合 A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}， 分别求适合下列条件的 a 值．
(1)9∈A∩B； (2){9}＝A∩B. [分析] 9∈A∩B 与{9}＝A∩B 意义不同，9∈A∩B 说明 9 是 A 与 B 的一个公共元素，但 A 与 B 中允许有其他公共元 素． {9}＝A∩B，说明 A 与 B 的公共元素有且只有一个 9.
[解析] ∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，利用数轴画出集合A与∁ RB，如下图
∵A∪∁RB＝R，∴应满足a≥3 故a的取值范围为{a|a≥3}．
建模应用引路
4 用“正难则反”的策略解题
学法指导：“正难则反”策略是指当某一问题从正面 解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U， 求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁ UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.
∅∅∅
∅A∅
∅
∅ ∁UA
∅
A ∁UA
A AU ∁UA U ∁UA
1 补集概念的理解
学法指导： 1．补集符合∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁ UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
2．求补集的方法 求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U 中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合 即为A的补集．
1.已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5 ＋b＝0}，且 A∩B＝{12}，求 A∪B.
[分析] 由交集的定义知12∈A，且12∈B，于是可得关于 a、 b 的二元方程组．解方程组求 a、b 的值，即可得集合 A、B， 再求 A∪B.
[解析] ∵A∩B＝{12}，∴12∈A，且12∈B.
[正解] C ∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1 时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝ {1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．
2 交集、并集、补集的综合运算 学法指导：求集合交、并、补运算的方法
[例2] 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}， B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．
[分析]
求满足A∩B＝∅ 的m的取值范围
―→
对上述m的取值范 围在R中取补集
―→
结论
[解析] 先求A∩B＝∅时m的取值范围． (1)当A＝∅时， 方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根， 所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)<0， 解得m>－1.
(2)当A≠∅，A∩B＝∅时，
方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．
[解析] 由图形可得正确选项为B. [答案] B
规律总结：1.由于本题涉及的图形情况比较简单，运 用图示方法求解并未体现出有多大的优越性，但若是遇到较 复杂的情况且涉及多个集合时，集合Venn图将以其直观明了 的特点为你的解题提供一个快捷方式．另外，运用图示方法 或补集的定义，我们能够很快得出结论：∁U(∁UA)＝A，在本 题中直接运用这一结论，则问题立即可解．
补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路， 今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆 向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具 有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
[例4] 已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝
{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
由图可知－ a＋2a3≥ ≤－ 5 1 ，－1≤a≤12； 综上a的取值范围为a≤12.
[互动探究] 要例中若将“A∩B＝∅”改为“A∪B＝ R”，则a的取值范围是什么？
[解析] ∵A∪B＝R，∴A≠∅，
－2a≤－1 由图可知a＋3≥5
－2a≤a＋3
，∴a≥2.
因此a的取值范围为a≥2.
1. 已知 A＝{x|－2a≤x≤a＋3}， B＝{x|x＜－1，或 x＞5}，若 A∩B＝∅，求 a 的取值范围． [分析] 出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有无 空集，即分类讨论．本题中，集合 A 不确定，因而需讨论．
[解析] 在数轴上表示出集合A、B， 当A＝∅时－2a＞a＋3即a＜－1， 此时A∩B＝∅； 当A≠∅时－2a≤a＋3即a≥1，
[解析] 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先 求出∁UA及∁UB，再求解．
如图，∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，
∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}． ∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}； A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}．
(4)整数按除以3的余数可分成三类：被3整除的数x＝ 3k，k∈Z；被3除余1的数x＝3k＋1，k∈Z；被3除余2的数x ＝3k－1，k∈Z.
[解析] (1)∁UA＝{1,3,6}； (2)∁UA＝{x|x是梯形}； (3)如上图所示，∁UA＝{x|x＜－1，或x≥2}； (4)∁UA＝{x|x＝3k，k∈Z}．
规律总结：(1)要准确理解补集的含义：是由全集中所 有不属于A的元素组成的集合．
(2)利用数轴可以直观形象地反映问题，另外要注意分界 点的取值，如本题中∁UA中含有2，不含－1.
(3)求补集时，首先要正确理解全集及子集中所含的元 素，找出其联系与差异，然后准确写出补集．
自主预习 1．全集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 所有元素，那么就称这个集合为 全集 ，用字母 U 表示．
规律总结：(1)在用数轴表示不等式的解集时，一定要 注意不等号是否带有等号，在数轴上的点应为实心还是空 心．
(2)解决不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合 的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观．在集 合运算中经常在数轴上进行表示，要注意求解时端点的值是 否取到．
3 集合运算求参数问题
3. 已知 M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，
M∩N＝{2,3}，则 a 的值是( )
A．1 或 2
B．2 或 4
C．2
D．1
[思路分析] M∩N＝{2,3}有两层含义，一是2,3是集合 M，N的元素，另外集合M，N只有这两个公共元素，因此解 出字母a后，要代入原集合进行检验．
∴2·122－12a＋b＝0
，
b·122＋12a＋2＋5＋b＝0
解之得ab＝ ＝－ －429936
，
于是A＝{x|18x2＋43x－26＝0}＝{12，－296}． B＝{x|26x2＋25x－19＝0}＝{12，－1193}． ∴A∪B＝{12，－296，－1193}．