光学第1章习题及答案

第一章习题答案

１-１速度为v 的非相对论α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角为104- rad

解：α粒子在实验室系及在质心系下的关系有：

由此可得：

⎩⎨

⎧=+=c c L c

c c L v v v v v θθθθαα

ααsin sin cos cos ① 由此可得：u

C C

L +=

θθθcos sin tan 其中u=αc c v v ②

()c e v m m v m +=αα0 0v m m m v e

c +=

∴αα

③

∵ce c c e v -=-=ααα

与坐标系的选择无关

∴ce c v v v -=α0 ④ 又∵0=+ce e v m v m αα ∴0v m m v e ce α-

=代入④式，可得：0v m m m v e e

c α

α+= 由此可以得到：

e

c m m v v α

α= 代入②式中，我们可以得到： rad m m m m e

c e

c L 410cos sin tan -≈≤

+=

α

α

θθθ 证毕 解法二：

α粒子与电子碰撞，能量守恒，动量守恒，故有：

⎪⎩⎪⎨⎧+'='+=e e v m v M v M v M mv Mv 22221212

1 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧='-='-⇒222e e v M m v v v M

m v v

e v m p

=∆

e p=mv p=mv ∴∆∆，其大小： (1) 222

(')(')(')e m v v v v v v v M

-≈+-=

ααc c v v v +=

近似认为：(');'p M v v v v ∆≈-≈

2

2e m v v v M

∴⋅∆=

有 21

2

e p p Mmv ⋅∆=亦即： (2)

(1)2/(2)得

224

2

2210e e m v m p Mmv M -∆===p 亦即：()p

tg rad p

θθ∆≈=

-4～10 1-2(1)动能为5.00Mev 的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？ （2）如果金箔厚1.0µm ，则上述入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射例子的百分之几？ 解：（１）由库仑散射公式可得:

b=2a cot 2θ=21E e Z Z 02214πεcot 2θ=21⨯E Z Z 21⨯0

2

4πεe cot 4π=21⨯5

79

2⨯⨯1.44⨯1=22.752 fm

(2)在大于90°的情况下，相对粒子数为:

⎰N

dN '＝nt(E Z Z 421⨯0

24πεe )2

⎰Ω2

sin

4θd =t N M A A ρ

(E Z Z 421⨯024πεe )2

Ω⎰

d ππ

θ

θπ2

42

sin

sin 2

=9.4⨯105

-

1-1 试问：4.5MeV 的α粒子与金核对心碰撞的最小距离是多少？若把金核改为7

Li 核，则结果如何？

解：α粒子与金核对心碰撞时金核可看作静止，由此可得到最小距离为：

r m =a=E e Z Z 02214πε=E Z Z 21⨯0

24πεe =1.44⨯105

-⨯5

79

2⨯≈50.56 fm

α粒子与7

Li 核对心碰撞时，我们可以在质心系下考虑，此时α粒子与锂核相对于质心的和动量为零，质心系能量为各粒子相对于质心的动能之和，因此有：

221v E C μ=＝m

r e Z Z 02214πε＋０＝

L Li Li E m m m +α 其中L E ＝21

mv 2为入射粒子实验室动能 由此可以得到m r =

024πεe L E Z Z 21Li

Li

m m m +α＝3.02 fm

1-4（1）假定金核的半径为7.0fm 试问：入射质子需要多少能量，才能在对头碰撞时刚好到

达金核的表面？

（2）若金核改为铝核，使质子在对头碰撞时刚好到达铝核表面，那么，入射质子的能量

应为多少？设铝核半径为4.0fm.

解：仍然在质心系下考虑粒子的运动，由１-３题可知：ＥC ＝m

r e Z Z 02

214πε

(1)对金核可视为静止，实验系动能与质心系动能相等，由此得到Ｅ＝16.25MeV (2)对铝核，Ｅ＝1.44⨯

Al

Al

p m m m +⨯

413=4.85MeV 1-5 动能为1.0MeV 的窄质子束垂直地射在质量厚度为1.5mg/cm 2

的金箔上，计数器纪录以

60°角散射的质子，计数器圆形输入孔的面积为1.5cm ²，离金箔散射区的距离为10cm ，

输入孔对着且垂直于射到它上面的质子。试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少？（质量厚度定义为m ρ=ρt ，其中ρ为质量密度，t 为厚度）

解：在立体角Ωd 上的粒子数为：

2

sin )44(2sin )44(4

22102422102

θπερθπεΩ

⨯=Ω⨯=d E Z Z e M N d E Z Z e Nnt dN A m A

此时2210

5

.1=∆=

Ωr S d 代入上式可得：610898.8-⨯=N

dN

1-6 一束α粒子垂直射至一重金属箔上，试求α粒子被金属箔散射后，散射角大于60°的α粒子数与散射角大于90°的粒子数之比。

解：

1:32

sin 2sin 2

4

3

4

90600

0=ΩΩ=

⎰⎰>>π

π

π

π

θ

θ

d d N N 1-7 单能的窄α粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm²的钽箔上，这时以散射角0θ>20°散射时的相对粒子数（散射粒子数与入射粒子数之比）为4.03

10

-⨯.试计算：散射角

θ=60°

相对应的微分散射截面Ωd d σ.

解：由微分散射截面定义。)(θσc =(E Z Z 421⨯0

24πεe )2

2

sin

14θ