理论力学—碰撞PPT

5
★ 几个工程实际问题
vB
mB mA
vA
B
A
两个飞船对接后速度？
6
★ 几个工程实际问题
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
7
★ 几个工程实际问题
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
8
★ 几个工程实际问题
击球手的手握在哪里 所受的撞击力最小？
9
★ 几个工程实际问题
请注意这一装 置的功能，与碰 撞有没有关系？
解得碰撞后两个球的速度分别为
v v A 1 k A v vB 1 k B mA m A mB mA m A mB
v A vB v A vB
21
A
vA
B
vB
T1
A
1 2
1 2
Hale Waihona Puke Baidu
B
mAv A
2
vAB
1 2
1 2
2
A
v'A
B
v'B
T＝
m A mB 2m A m B
vA ＝
2
T1 1 mA mB
mA «mB
T T1
锤头的动能绝大部分转变为 被锻造金属的塑性变形能。
汽锤传递的动量一定时，铁 砧质量mB越大，其速度v′B 越小。
mA »mB
T 0
锤头的动能绝大部分转变为 锤头与桩一起运动的动能。
打桩传递的动量一定时，桩 26 的质量mB越小，其速度v′B 越大。
铁锤打击钢板 锤重4.45N;
塑料
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s; 碰撞的时间间隔 0.00044s; 撞击力峰值 1491 N， 静载作用的335倍。
2
铁锤打击人体
锤重4.45N;
塑料
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s; 碰撞的时间间隔 0.01s; 撞击力峰值 244.8 N， 静载作用的55倍。
mv1x v1x I x
e
F
0

1x
FN 1x t d
J C 2 0
1


0
F1 rdt
回球与台面的碰撞－由于F1> FN1 ，使得顺时针旋转的球的角 速度很大，碰撞前，球与台面接触点的速度与球的运动方向相反。 因而，台面对球的切向碰撞力(摩擦力F2)与球的运动方向相同， 从而使这一次碰撞后，球前进的速度更高。
据有关资料介绍，一只重 17.8N 的飞鸟与飞机相撞， 如果飞机速度是 800km/h ，碰撞力可高达 3.55×105N ， 即为鸟重的 2万倍 ！这就是航空上所谓“鸟祸”的原 因之一。
3
★ 撞击力的瞬时性——撞击力在很短的时间间隔内发 生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。
▼ 碰撞冲量——撞击力在碰撞时间内的累积效应。
例 题 3
mB mA A
vB
vA
B
mA 18 10 kg，mB 6.6 10 kg；
3 3
在惯性参考系中： A＝00.2i 0.03 j 0.02k m/s ，v B 0 v
求：1.对接成功后，联合体的质心速度； 2.对接不成功，恢复系数e=0.95,碰撞后二者的速度。 (以上分析中均可略去飞船的转动)
● 对于确定的材料，恢复系数为常量。 ● 这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物 体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速 度大小的比值是不变的。 ● 恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也 19 描述了物体变形的恢复程度。
n
恢复系数的取值范围
k 1 完全弹性碰撞：无能量 损耗， 碰撞后变形完全恢复；
10
★ 几个工程实际问题
这与碰撞有 关系吗？
11
§15-2 用于碰撞过程的基本定理
1. 用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
质点：
mv mv

t
Fdt I
I——碰撞冲量
0
质点系：
mi vi mi vi I i
(e)
Ii
(i )
mi vi mi vi I i I i
1、 主要是来球和回球方向两次碰撞。 2、 摩擦力的作用，使球发生旋转，回球碰撞台面后的速度大于 32 球拍击出的速度。
来球与球拍的碰撞－挥拍击来球， 球受 FN1 和 F1 两个力。 FN1 为法向正 压力； F1 为摩擦力。而且，F1> FN1 。 碰撞后，球在前进的同时发生旋转。
应用刚体平面运动的积分形式
(e)
(e)
) ri Fi
(e)
dLO ri Fi
dt ri dI i
(e)
(e)

LO 2
LO1
dLO ri dI i
0
t
或
LO 2 LO1 ri dI i
0
t
(e)
根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：
LO 2 LO1 ri dI i
碰撞前系统的总动能 碰撞后系统的总动能
mB v B
mB v B
2
T2
m A v A
2
碰撞前、后系统动能的变化
T＝T1－T2 1 2 m A v A v v A v A A 1 2 mB vB v vB v B B
v v A 1 k A v vB 1 k B
v v B 0 B
vA v'A
B
h1
vA
2 gh1 ,
v A
h2
2 gh2
k
h2 h1
18
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
k
n
I2 I1

n vr vr
n
vr —碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
vr —碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
对于球B
k I2 I1 mB v v B mB v vB v v B v vB
k
I2 I1

v v B A v A vB
17
对于球A与固定平面的正碰撞情形
k I2 I1
A A

v v B A v A vB
， k I2 I1 v A vA
4. 碰撞时平面运动刚体的动力学方程
( mvCx I ixe ) mvCx
mvCy mvCy I iy
(e)
J C 2 J C1 M C ( I i )
(e)
注意：以上各方程式中均不计普通力的冲量！
14
§15-3 恢复系数
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段
最后得到碰撞后，二飞船的速度分别为
v ＝0.095 i 0.03 j 0.02 k m/s ， A v ＝ 0.285 i m/s B
v ＝0.095m/s ，v ＝0.285m/s30 Ax Bx
请注意： 1、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？ 2、这种碰撞具有什么特点？ 31
mv 2 x v 2 x I x
e


0
F2 x dt
33
回球与台面的碰撞
mv 2 x v 2 x I x
e


0
F2 x dt
n v'2 v2

假设球与台面的碰撞为完 全弹性碰撞 .
k＝ v2 n v2 n 1
x
又因为F2与球的运动方向相同，上述积分恒为正， 于是，有
27
解：1.对接成功时联合体的质心速度 可以直接应用动量守恒关系式
m A v A mB v B m A v mB v A B
这时， 于是，有
v ＝v ＝v AB A B
m A v A mB v B m A mB v AB
v AB m A v A mB v B m A mB 18 10 0.2 i 0.03 j 0.02 k 0
23
塑性碰撞 —— k=0, 动能损失为
T＝ m A mB 2m A mB
v A v B
2
若 vB=0
T＝
m A mB 2m A mB
2
vA
2
T1
1 2
m Av A
T＝
mB
m A mB
T1
1 mA mB 1
T1
24
例 题 2
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁砧与桩 的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度均为 vA 试分析：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。 25
T＝ 1 2
mA m A mB mA m A mB
v A vB v A vB
1 k
m A mB m A mB
v A vB v A vB vA v B
22
碰撞前、后系统动能的变化
T＝ 1 2
1 k

m A mB m A mB
★ 恢复系数——碰撞的恢复阶段 的冲量与变形阶段的冲量之比， 用 k 表示：
k
I2 I1
16
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系 ——应用动量定理的积分形式，对于球A
k I2 I1 m A v (v) A m A v (v A ) v v A vA v
碰
撞
※ 碰撞现象 · 碰撞力 ※ 几个工程实际问题 ※ 动力学普遍定理在碰撞问题 中的应用 ※ 恢复系数
※ 碰撞问题举例
※ 撞击中心
※ 结论与讨论
1
§15-1 碰撞现象· 碰撞力
碰撞－物体与物体之间，在极短的时间内，发生 有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的 撞击力的动力学过程。 ● 碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的 运动效应。
(e)
(i )
mi vi I i(e ) mi vi mvC mvC I i
(e )
质点系在碰撞开始和结束 时动量的变化，等于作用于 质点系的外碰撞冲量的主矢。
12
2. 用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理
由质点系动量矩定理：
d dt LO M O ( Fi
F
I1

tm
F dt
t1
变形阶段的碰撞冲量；
I1 I2 t t1 tm t2
I2

t2
F dt
tm
恢复阶段的碰撞冲量。
15
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段
F
mA
I1
I1
mB
vB vAB
变形阶段
vA vAB
I1 I2 t t1 tm t2
mA
I2 I2
mB
vAB v'B
恢复阶段
vAB v'A
3

18 10 6.6 10
3
3
0.146 i 0.022 j 0.015 k
m/s
28
解：2.对接不成功时，二飞船的速度 不考虑对接处的摩擦，二飞船在y、z方向上的速度分量 保持不变；在x方向上二飞船动量守恒：
m A v Ax mB v Bx m A v mB v Ax Bx
v A vB v A vB vA v B
k
I2 I1
v v B A v A vB
T＝
m A mB 2m A mB
1 k v
2
A
vB
2
两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化
完全弹性碰撞 —— k=1, T=T2－T1=0。 碰撞过程中没有能量损失。
0 t (e)
或
LO 2 LO1 ri I i
(e)
MO ( Ii )
(e)
质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化，等于作用于 质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。 13
3. 碰撞时定轴转动刚体的动力学方程
J z 2 J z1 M z ( I i )
(e)
同时利用恢复系数与速度的关系式
k v v B A v A vB
将m A、mB、v Ax、v Bx 和e值代入后，解得
v ＝0.095m/s ，v ＝0.285m/s29 Ax Bx
考虑到碰撞前后，二飞船在y、z方向上的速度不变，即
v ＝0.03 m/s ，v ＝ 0.02 m/s ，v ＝v ＝0 Ay Az By Bz
F/N
I

t2
F dt
t1
Fmax
I
t/s

t2
Fdt
t1
4
研究碰撞问题的两点简化
（1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力 （重力、弹性力等）的冲量可忽略不计。 （2）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的 位移可忽略不计。
上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此 在具体问题的分析中，一定要分清碰撞过程和一般过程； 分清运动的三个阶段，即撞前的运动，碰撞阶段和撞后 的运动。
k 0
完全非弹性碰撞(塑性 碰撞)： 变形完全不能恢复。
0 k 1
非完全弹性碰撞：能量 损耗， 变形不能完全恢复；
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§15-4 碰撞问题举例
例 题 1
A
vA
由
B
vB
A
B
vAB
A
v'A
B
v'B
m A v A mB v B m A v mB v A B
k I2 I1 v v B A v A vB