第四节等腰三角形与直角三角形
四川6年中考真题精选（2012-2017）
命题点1等腰三角形的性质及计算(绵阳：6年2考；四川：2016年2考，2015年7考，2014年4考)
1. (2013成都4题3分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第1题图第2题图
2.(2014南充8题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为()
A. 30°
B. 36°
C. 40°
D. 45°
3.(2015广安8题3分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是()
A. 12
B. 9
C. 13
D. 12或9
4.(2015内江8题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC 交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC 的度数为()
A. 40°
B. 45°
C. 60°
D. 70°
第4题图
5. (2012广安9题3分)已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD
＝1 2
BC，则△ABC底角的度数为()
A. 45°
B. 75°
C. 45°或75°
D. 60°
6. (2016雅安8题3分)如图所示，底边BC为23，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为()
A. 2＋2 3
B. 2＋ 3
C. 4
D. 3 3
第6题图
7. (2016绵阳9题3分)如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为()
第7题图
A. 5－1
2 B.
5－1
4 C.
5＋1
4 D.
5＋1
2
8. (2012广元14题3分)已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是____________．
9. (2013绵阳17题3分)已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3kx＋8＝0，则△ABC的周长是________．
10. (2013凉山州17题4分)若实数x、y满足|x－4|＋8
y ＝0，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为________．
11. (2015乐山14题3分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.
第11题图第12题图
12. (2015攀枝花14题4分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点，若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为____________.
命题点2等边三角形的性质及计算(绵阳：2014.11；四川：2016年1考，2015年1考，2014年2考)
13. (2014泸州5题3分)如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为()
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
第13题图
14. (2016内江11题3分)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()
A.
3
2 B .
33
2 C.
3
2 D. 不能确定
15. (2014绵阳11题3分)在边长为正整数的△ABC中，AB＝AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1∶2的两部分，则△ABC 面积的最小值为()
A.
7
12 B.
715
36 C.
37
4 D.
715
4
命题点3直角三角形的性质及计算(绵阳：6年2考；四川：2017年3考，2016年4考，2015年3考，2014年1考)
16. (2012绵阳7题3分)如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1＋∠2＝()
A. 225°
B. 235°
C. 270°
D. 与虚线的位置有关
第16题图第17题图
17. (2016南充7题3分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 1＋ 3
18.(2015眉山10题3分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是()
A. 2 3
B. 2
C. 4 3
D. 4
第18题图第19题图
19.(2017绵阳11题3分)如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交
BC于点F，连接AF交CE于点M，则MO
MF的值为()
A. 1
2 B.
5
4 C.
2
3 D.
3
3
20.(2016甘孜州13题4分)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．
21. (2015内江22题6分)在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝________．
22. (2013巴中19题3分)若直角三角形两直角边长分别为a、b，且满足269
a a
++＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．23. (2014凉山州16题4分)已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________．
24. (2017乐山14题3分)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到直线AB的距离是________．
第24题图
答案
1. D
2．B【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵CD＝AD，∴∠C＝∠CAD.∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C＝180°，∠BDA＝∠C＋∠DAC＝2∠B，∴在△BAD中，5∠B ＝180°，∴∠B＝36°.
3. A【解析】解方程x2－7x＋10＝0，得x＝2或x＝5，分两种情况讨论：①当2为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为2，2，5，∵2＋2<5，∴此时不能构成三角形；②当5为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，5，2，此时三边能构成三角形，∴周长为5＋5＋2＝12.
4．A【解析】由AE∥BD可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC 可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.
5．C【解析】当AB＝AC时，如解图①，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
则∠B＝45°；当AB＝BC时，如解图②，AD＝1
2BC＝
1
2AB, AD⊥BC，
则∠B＝30°，∠C＝75°.综上，△ABC底角的度数为45°或75°.
第5题解图
6．A 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝2 3，∴∠B ＝∠C ＝30°，
BF ＝CF ＝3，在Rt △ACF 中，AC ＝CF cosC ＝3cos30°＝2.∵DE 垂直平
分AB ，∴BE ＝AE ，∴△ACE 的周长＝AE ＋CE ＋AC ＝BE ＋CE ＋AC ＝BC ＋AC ＝23＋2.
第6题解图
7．C 【解析】∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，∴∠A ＝36°.∵D 是AB 的中点，DE ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝2，AE ＝BE ，∴∠ABE ＝∠A
＝36°，∴∠EBC ＝36°，∴△ABC ∽△BCE ，∴AB BC ＝BC CE ，∴BC 2＝
AB ·CE ，设AE ＝BE ＝BC ＝x ，则CE ＝4－x ，∴x 2＝4·(4－x )，解得x
＝25－2(负值舍去)，则cos A ＝AD AE ＝225－2
＝5＋14. 8. 50°，50°或80°，20° 【解析】分情况讨论：(1)若等腰三角形的
顶角为80°，则另外两个内角＝180°－80°2
＝50°；(2)若等腰三角形的底角为80°，则它的另外一个底角为80°，顶角为180°－80°－80°＝
20°.
9. 6或12或10 【解析】根据题意得k ≥0且(－3k )2－4×8≥0，解得k ≥329.∵整数k ＜5，∴k ＝4，∴方程变形为x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，∵△ABC 的边长均满足关于x 的方程x 2－6x ＋8＝0，∴△ABC 的边长为，2，2，2或4，4，4或4，4，2，∴△ABC 的周长为6或12或10.
10．20【解析】由绝对值和二次根式的非负性可知：x ＝4，y ＝8，由三角形三边关系知该三角形三边只能为4，8，8，所以周长为20. 11．15 【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴∠AED ＝90°，且AD ＝BD .∵∠ADE ＝40°，∴∠A ＝90°－∠ADE ＝50°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝180°－50°2
＝65°.∵AD ＝DB ，∴∠DBA ＝∠A ＝50°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠DBA ＝15°. 12．(2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4) 【解析】∵点A 的坐标为(10，0)，点D 是AO 的中点，∴DO ＝5，∵点C 的坐标为(0，4)，∴OC ＝4，∵四边形ABCO 是矩形，∴直线BC 上的点的纵坐标均为4.如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，当点P 在CH 上时，要使△DOP 是等腰三角形，则(1)当P 1D ＝OD 时，P 1D ＝5，在Rt △P 1HD 中，HD ＝4，P 1D ＝5，根据勾股定理得P 1H ＝3，∴CP 1＝CH －P 1H ＝5－3＝2，即点P 1的坐标为(2，4)；(2)当P 2O ＝P 2D 时，点P 2在OD 的垂直平分线上，∴点P 2的坐标为(2.5，4)；(3)当P 3O ＝DO 时，在Rt △P 3CO 中，P 3O ＝5，CO ＝4，由勾股定理得CP 3＝3，此时点P 3的坐标为(3，4)；当点P 在HB 上时，∠ODP ＞90°，此时只能是OD
＝P4D，在Rt△P4HD中，HD＝4，P4D＝5，由勾股定理得P4H＝3，∴CP4＝CH＋HP4＝8，∴此时点P4的坐标为(8，4)．综上所述，所有满足条件的点P的坐标为(2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4)．
第12题解图
13. C【解析】由等边△ABC得∠C＝60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC，∴∠DEC＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.
14. B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依
次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H.则BH=3
2，AH
＝22
AB BH
＝
33
2.连接P A，PB，PC，∵S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴
1
2AB·PD ＋
1
2BC·PE＋
1
2CA·PF＝
1
2BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝
33
2.
15. C【解析】如解图，设这个等腰三角形的腰为x，底为y，所分的两部分周长分别为n和2n，
第14题解图
第15题解图 得222x x n x y n ?+=????+=??或222x x n x y n ?+=????+=??，解得2353n x n y ?=????=??或433
n x n y ?=????=??，∵n 为正数且根据三角形的三边关系，可知2×
23n <53n (不能构成三角形，故舍去)，∴AB ＝AC ＝43n ，BC ＝3
n .过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则BE ＝12BC ，∴三角形的面积S ＝12BC ·AE ＝12BC ·22AB BE -＝12×3
n ×22
4()()36n n -＝6336n 2＝712n 2，当n ＞0时，S 随着n 的增大而增大，故当n ＝3时，S ＝374取最小．
16．C 【解析】∵等腰直角三角形的两锐角之和等于90°，四边形的内角和等于360°，∴∠1＋∠2＝360°－90°＝270°.
17．A 【解析】∵ 在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，∴AB ＝2BC ＝2，∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ＝12AB ＝ 12×2＝1.
18．A 【解析】∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ，∴∠A ＝∠ACD ＝30°，∵∠ACB ＝90°－∠A ＝60°，∴∠BCD ＝30°，∴BC ＝30BD tan ?＝
1
3
3
＝3，∴AC＝2BC＝2 3.
19．D【解析】∵O是△ABC的重心，则CO＝
2
3CE，设CE＝3，则CO＝2，OE＝1，AE＝BE，∵∠ACB＝90°，∴AE＝CE＝BE＝3，∵∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵∠ACB＝90°，FE⊥AB，
∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝∠AEC＝60°，∴∠BCE＝∠CEF ＝30°，∴FC＝FE，∵AC＝AE，∴AF垂直平分CE，∴∠FME＝90°，ME＝
1
2CE＝
3
2，∴在Rt△MEF中，易得MF＝
3
3ME＝
3
3×
3
2＝
3
2，OM＝ME－OE＝
3
2－1＝
1
2，∴
MO
MF＝
3
3.
20. 6【解析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边的长为52－32＝4.∴该直角三角形的面积S＝
1
2×3×4＝6. 21. 63【解析】根据题意画出草图如解图，过点A作AD⊥BC与BC交于点D，由∠B＝30°且AB＝12，可得AD＝AB·sin30°＝12×
1
2＝6，由AC＝6，可以得AC与AD重合，即此三角形是直角三角形，所以BC＝22
AB AC
＝6 3.
第21题解图
22. 5 【解析】由算术平方根与绝对值的非负性得a 2－6a ＋9＝0，b －4＝0，∴a ＝3，b ＝4，∴斜边长为5.
23. 5或 7 【解析】分两种情况进行讨论：(1)当两边都是直角边时，则第三边为斜边，由勾股定理得32＋42＝5；(2)当已知边中的较长边为斜边时，第三边则为直角边，由勾股定理得42－32＝7.
24. 355 【解析】如解图，延长AB 至D ，连接CD ，AC ，因为AD ＝25，CD ＝2，AC ＝32，则AC 2＋CD 2＝AD 2，故AC ⊥CD ，设
点C 到直线AB 的距离是d ，则12AD·d ＝12AC ·CD ，即25d ＝32×2，
解得d ＝35 5.
第24题解图
等腰三角形和直角三角形专项练习题
等腰三角形和直角三角形专项练习题 一、选择题 1.等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,则腰长为（ ）cm ． D.39 2.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） 3.如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 于M ，连接CD ．下列结论：①AC+CE=AB ；②CD ＝21AE ；③∠CDA=45°；④AM AB AC =定值．其中正确的有（ ） 个 个 个 个 4.等腰三角形的一个角等于20°,则它的另外两个角等于:（ ） °、140°°、140°或80°、80°°、80°°、80° 5.如图，BE 和AD 是△ABC 的高，F 是AB 的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6.下列命题正确的是（ ） A.等腰三角形只有一条对称轴 B.直线不是轴对称图形 C.直角三角形都不是轴对称图形 D.任何一角都是轴对称图形 7.等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米,则它的第三边长为( ) 或22cm 8.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（) A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等 9.等腰三角形中,AB 长是BC 长2倍,三角形的周长是40,则AB 的长为( ) 或16 10.如图已知:AB ＝AC ＝BD,那么∠1与∠2之间的关系满足( ) A.∠1＝2∠2∠1＋∠2＝180° C.∠1＋3∠2＝180° ∠1－∠2＝180° 二、填空题 1. 等腰三角形的腰长是底边的4 3，底边等于12cm ，则三角形的周长为______cm. 2. 等腰三角形的底角是65°,顶角为________. 3. 等腰三角形的一个内角为100°,则它的其余各角的度数分别为_______. 4. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时,则顶角为_________度． 5. 已知如图，A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD,∠C ＝40°,则∠ABD ＝_______ 6. 如图,∠P ＝25°,又PA ＝AB ＝BC ＝CD,则∠DCM ＝_______度. 第7题
小学数学几何形体周长 面积 体积计算公式
小学数学几何形体周长面积体积计算公式 1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽S=ab 4、正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高S=ah 7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径 常见的初中数学公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
等腰三角形、直角三角形
北京四中 编稿：史卫红审稿：谷丹责编：赵云洁 等腰三角形、直角三角形 一、知识讲解： 1.等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性. 2.等腰三角形和等边三角形的性质和判定。 二、例题精讲：
说明:等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小. 例1.等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245°,求它的顶角的度数. 分析: 这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算. 解: (一)设这个等腰三角形的顶角为x°,根据"同一三角形中等边对等角",则它的一个底角为 ，这个顶角的外角为，底角的外角为[180-. 由题意可得: (180-x)+[180-(180-x)]=245 ∴180-x+180-90+x=245 ∴-x=245-270 ∴x=50 答:这个三角形顶角为50°. 解: (二)设顶角为x°,底角为y°,顶角外角为(180-x)°,底角外角为(180-y)°. 由三角形内角和定理可得:x+2y=180 由题意可得: (180-x)+(180-y)=245,∴x+y=115, ∴解方程组得 答:这个三角形顶角为50°. 例2.等腰三角形中的一个内角为50°,求另外两个角的度数. 分析:等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个50°的角既可以是顶角又可以是底角,所以要分类进行讨论. 解:若顶角为50°时, 由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:=65°.
易错题之等腰三角形
等腰三角形 易易漏漏易易错错 等腰三角形 知识概要： 1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫等腰三角形的__， 第三条边叫等腰三角形的 ____ 2、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等。（简称“__________”） （2）等腰三角形的顶角平分线__________，并且__________。 （3）等腰三角形的_________________________互相重合。简称“三线合一” （4）等腰三角形中的重要线段相等 （5）轴对称性 3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简称 “_____________” 4、等边三角形： （1）三条边均相等的三角形是等边三角形。 （2）等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°。 （3）有一个角等于60°的______三角形是等边三角形。 等腰三角形中常见的结论： **等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的________； **三条线段能构成等腰三角形的条件是：为腰的两条线段（相等的两条线段）的和大于第三条线 段。 等腰三角形ABC 的周长为10cm ，底边BC 长为ycm ，腰AB 长为xcm. （1）用含x 的代数式表示y （2）求x 的取值范围；（3）求y 的取值范围. **过角的平分线上的点作一条边的平行线能构成等腰三角形。 第第一一类类：：关关于于边边的的易易漏漏易易错错 一一、、当当腰腰或或底底边边不不明明确确时时，，必必须须进进行行分分类类讨讨论论；；最最后后务务必必检检验验每每种种情情况况是是否否满满足足三三角角形形的的三三边 边关关系系。。 No1、已知等腰三角形的两边长分别为5cm 和6cm ，则此三角形的周长为_____。 No2、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的周长为_____。 No3、若一个等腰三角形的三边长均能满足方程y 2-6y+8=0，则此三角形的周长为_____。 （2015?四川）一个等腰三角形的两条边长分别．． 是方程x 2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形 考向一 等腰三角形的性质 1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°． 3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则 2 b C．AB=2BD D．AD平分∠BAC 【答案】C 【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得， A．AD⊥BC，故A选项正确； B．∠B=∠C，故B选项正确； C．无法得到AB=2BD，故C选项错误； D．AD平分∠BAC，故D选项正确． 故选C． 【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质. 1．（2020·自贡市田家炳中学初二期中）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm. 考向二等腰三角形的判定 1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形． 典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形． 【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD． 又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD， ∴∠FEA=∠F， ∴△AEF是等腰三角形． 2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．
数学图形计算公式
数学图形计算公式 1、正方形：C周长S面积a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体：V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形 s面积a底h高面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形：s面积a底h高面积=底×高s=ah 7、梯形：s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8 圆形：S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9、圆柱体：v体积h:高s底面积r底面半径c底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体：v体积h高s底面积r底面半径体积=底面积×高÷3 植树问题 1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1
等腰三角形直角三角形
等腰三角形、直角三角形 重点：1、等腰三角形的性质和判定方法。 2、直角三角形的性质与判定，锐角三角函数及解直角三角形。 难点：数学思想的渗透及知识的综合运用能力的提升。 考点一：等腰三角形 1．性质 （1）?? ?→? ??? 两腰相等两底角相等（等边对等角）等腰三角形三线合一轴对称图形 （2）等边三角形 → 三边相等，三角相等，有三条对称轴 2.判定 ???? 两边相等的三角形等腰三角形两角相等的三角形 ? ?????? 三边相等的三角形三角相等的三角形等边三角形有一个角是60的等腰三角形 例1：如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD=CE ，AE 与BD 相交于点P ，BF ⊥AE 于点F.求证:BP=2PF 【随堂练习】 1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．20° 2.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A ．25 B ．25或32 C ．32 D ．19 3.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4.如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上， 且BD=AE ，AD 与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为（ ） A ．60° B ．45° C ．40° D ．30° P F E D C A 第4题
5.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边 形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A ．180° B ．220° C ．240° D ．300 6.等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（ ） A 、70° B 、55°或70° C 、40°或70° D 、40° 7.等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为 __ ___. 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________． 9.如图，△ABC 是等边三角形，AD 是△ABC 的角平分线，延长AC 到E ，使得CE=CD ． 求证：AD=ED ． 10. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD. ⑴上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） ⑵选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形 A E B C O D 第5题
等腰三角形基础练习题解析
等腰三角形基础练习题 一、填空题 1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形. 2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合. 3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________. 4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么 BC=________. 5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________. 6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________. 7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________. 8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________. 9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是 _______. 10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.
11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D 是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形. 12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________. 13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____. 14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______. .15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________. 二、选择题 1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.
《周长固定三角形面积的最大值》
《周长固定三角形面积的最大值》——数学建模一例谈到，周长固定围成面积的问题， 许多人会想到正方形和二次函数。好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L 的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行 的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。好了，现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。而且我 们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a + b)。有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。现在，把b=L/2-a 代入s=a*b 就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s 有最大值。微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令 s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab， 所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去―=‖，s有最大值因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有 一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有个推论：三角形两边之差小于第三边。不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x 。根据三边关系定理有：x2c。可以，以2c=x 的中点建立坐标系，则：a^2= (L-x/2)^2 ，b^2= (L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/ 。 三角形与椭圆 所以椭圆方程为：X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1 函数图像的直观反映 ，三角形的面积为：s=(1/2)*( 2c)*Y ，因为，x=2c是固定的，所以s取决于Y，当Y取max时，即Y=b 时，s有最大值。即：S=s(x)max （且此时，该三角形为等要三角形）=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2 =(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (02017等腰三角形,直角三角形存在性
等腰三角形、直角三角形的存在性 专题攻略：如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 1、几何法一般分三步：分类、画图、计算． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 2、代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 例1：如图1，抛物线y=ax 2+x+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．其中B 点坐标为（4，0），对称轴为直线x=1． （1）求抛物线的解析式；4212++-=∴x x y （2）T 是抛物线对称轴上的一点，且△ATC 是等腰三角形，求点T 的坐标； （3）T 是抛物线对称轴上的一点，且△ATC 是直角三角形，求点T 的坐标； 2如图所示，在平面直角坐标中，M 是x 轴正半轴上一点，⊙M 与x 轴的正半轴交于A 、B 两点，A 在B 的左 侧，且OA 、OB 的长是方程2650x x -+=的两根，ON 是⊙M 的切线，N 为切点，N 在第四象限. （1）求⊙M 的直径； （2）求直线ON 的解析式； （3）在x 轴上存在点T ，使△OTN 是等腰三角形， 请直接写出T 的坐标.
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值． 4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 5、如图，已知△ABC是等边三角形，点O为是AC的中点，OB=12，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M， N在直线OB上，取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF，点E在线段AB上． （1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值； （2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）； （3）设等边△PMN和矩形ODE F重叠部分的面积为S，请求你直接写出当0≤t≤2秒时S与t 的函数关系式，并写出对应的自变量t的取值范围； （4）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
(完整版)初二数学等腰三角形练习题
G F E C A 等腰三角形练习 一、填空题 1、已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为。 2、已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为。 3、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 4、在等腰三角形中，设底角为0x，顶角为0y，用含x的代数式表示y，得 y= ；用含y的代数式表示x，则x= 。 5、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形． 6、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠GEF= 7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢 8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为 9、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的三边长为 10、如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60o，且DE=1，则边BC的长为． 二、选择题 11、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………（）。 A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应相等 12、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（） A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半 13、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（） A、100° B、75° C、150° D、75°或100° 14、在△ABC中，AB=AC，下列推理中错误的是……………………（）。 A、如果AD是中线，那么AD⊥BC，∠BAD=∠DAC B、如果BD是高，那么BD是角平分线 C、如果AD是高，那么∠BAD=∠DAC、BD=DC D、如果AD是角平分线，那么AD也是BC边的垂直平分线 1
等腰三角形分类讨论专题复习
等腰三角形分类讨论专题复习 日期：第页姓名： 一、等腰三角形的分类 1、边分类 2、角分类 3、外角分类 4、一腰上的高与另一腰的夹角 5、一腰上的中线分三角形的周长为两部分 6、一腰上的中垂线与另一腰的夹角 思考：在A B C三边所在的直线上找一点D，使得A B D为等腰三角形，画图说明点D所在的位置 B B B B B B
二、练习姓名： 1、如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是． 2、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 3、已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于 4、已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 5、等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长 6、在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为 7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为 8、等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是． 9、若一个等腰三角形有一个角为100o，则另两个角为 10、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长 11、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数 12、(1)等腰三角形的顶角和一个底角的度数的比是4:1，则这个三角形三个内角的度数分别为________，_______，______________.
(2)在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________. 13、等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰的夹角为50o，求底角为 14、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 15、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角 ∠B=____________ 16、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 17、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数。 18、等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，则周长。
初二数学等腰三角形练习题.
G F E D C B A 第2章 三角形期中复习【课前复习】 1、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为。 2、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 3、在等腰三角形中，设底角为0x ，顶角为0 y ，用含x 的代数式表示y ，得y= ； 用含y 的代数式表示x ，则x= 。 4、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠GEF= 5、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数 为 .若一个角为140°呢，则另外两个角是6、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm ，那么它的 三边长为 7、如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在 点G 处，若∠CFE=60，且DE=1，则边BC 的长为． 8、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（）。A 、有一腰和一角对应相等 B 、有两边对应相等 C 、有顶角和一个底角对应相等 D 、有两角对应相等 9、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A 、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D 、底角的一半10、在△ABC 中，AB=AC ，下列推理中错误的是（）A 、如果AD 是中线，那么AD ⊥BC ，∠BAD=∠DAC B 、如果BD 是高，那么BD 是角平分线 C 、如果A D 是高，那么∠BAD=∠DAC 、BD=DC D 、如果AD 是角平分线，那么AD 也是BC 边的垂直平分线11如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、C E 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个 A 、4个 B 、6个 C 、3个 D 、5个 12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280 ，则∠B 的度数是（） A 、60 B 、70 C 、76 D 、45 13、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)() (2 2 a c c b b a ，那么这个三角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 14、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样 的P 点有（） A 1个 B 4个 C 7个 D 10个 E C B A E D C B A Q P C B A 15题图 16题图 17题图
(答案)等腰三角形,直角三角形
三角形的证明 知识点：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定 定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。 8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 9.等腰三角形中腰大于高 10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明) 等腰三角形的判定： 1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。 知识点：等边三角形
?等边三角形定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形： 1.三边长度相等； 2.三个内角度数均为60度； 3.一个内角为60度的等腰三角形。 ?性质： ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。 ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角 的平分线所在的直线。 ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一） ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高) ?判定方法： ①三边相等的三角形是等边三角形（定义） ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形 ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 ④两个内角为60度的三角形是等边三角形 说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
(完整版)2019中考数学等腰三角形
等腰三角形 一、选择题 1．（2018?山东枣庄?3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点 P 的个数是（） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论． 【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故 选：B． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点 P 是解题的关键． 2 （2018?山东枣庄?3分）如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平分 ∠CAB，交C D 于点E，交C B 于点F．若A C=3，AB=5，则C E 的长为（） A．B．C．D． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点F作F G⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴=， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴=， ∵FC=FG， ∴=， 解得：FC= ， 即 CE ．故选： A． 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE． 3. （2018?山东淄博?4分）如图，P 为等边三角形A BC 内的一点，且P到三个顶点A，B，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）
(完整版)等腰三角形与直角三角形(Word版习题)
第四节等腰三角形与直角三角形 四川6年中考真题精选（2012-2017） 命题点1等腰三角形的性质及计算(绵阳：6年2考；四川：2016年2考，2015年7考，2014年4考) 1. (2013成都4题3分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第1题图第2题图 2.(2014南充8题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为() A. 30° B. 36° C. 40° D. 45° 3.(2015广安8题3分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是() A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 4.(2015内江8题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC 交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC 的度数为() A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
第4题图 5. (2012广安9题3分)已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD ＝1 2 BC，则△ABC底角的度数为() A. 45° B. 75° C. 45°或75° D. 60° 6. (2016雅安8题3分)如图所示，底边BC为23，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为() A. 2＋2 3 B. 2＋ 3 C. 4 D. 3 3 第6题图 7. (2016绵阳9题3分)如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为()
2020年中考数学压轴解答题01 因动点产生的等腰三角形问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题01 因动点产生的等腰三角形问题 【类型综述】 数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题,将几何问题转化为代数问题。 在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型,可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合,从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类. 【方法揭秘】 我们先回顾两个画图问题： 1．已知线段AB＝5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 2．已知线段AB＝6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C． 已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外． 在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类． 如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB＝AC,②BA＝BC,③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法． ①如图1,如果AB＝AC,直接列方程；②如图2,如果BA＝BC,那么1 cos 2 AC AB A =∠；③如图3,如果CA＝ CB,那么1 cos 2 AB AC A =∠． 代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来．
二次函数压轴题等腰三角形存在性,直角三角形存在性
中考数学压轴题 一、等腰三角形存在性 1 解题思想：分类讨论 2 解题技巧：坐标系内线段长度表示 （1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴 在x轴或平行于x轴：x右-x左 在y轴或平行于y轴：y上-y下 （2）线段为倾斜（斜线段）A（X A,Y A）B（X B,Y B）C（X C,Y C） 由勾股定理得：AB2= AC2= BC2= 3 解题方法 （1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方 （2）分三种情况列方程，解方程 （3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根） （2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点 （2）画图，作圆法，垂直平分线法 （3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。 例1. 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B 两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 代数法： 几何法： 例2 如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B 重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）试求△ABC 的面积； （2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设AD=x ，当△BDG 是等腰三角形时，求出AD 的长． 只能选择几何法 1 先分析三种情况 2 根据已知表示三边长度（相似） 3 列方程计算 同步练习： 1．如图，抛物线2 54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ． （1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式； （2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 2.如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． A C B y x 0 1 1
