反常积分的收敛判别法
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习 题 8.2 反常积分的收敛判别法
⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；
⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或时，
和的敛散性可以产生各种不同的的情况。
+∞∫
∞
+a
dx x )(ϕ∫
∞
+a
dx x f )(解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。则
当收敛时也收敛； ∫∞
+a dx x )(ϕ∫∞
+a dx x f )(当发散时也发散。
∫∞
+a dx x f )(∫∞
+a dx x )(ϕ证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
∫∞+a dx x )(ϕ0>∀ε ，，a A ≥∃00,A A A ≥′∀：
K
dx x A A
ε
ϕ<∫′
)(。 于是
≤
∫′
A A
dx x f )(εϕ<∫′
A A dx x K )(，
所以也收敛；
∫∞
+a dx x f )(当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
∫∞
+a dx x f )(00>∃ε，，a A ≥∀00,A A A ≥′∃：
εK dx
x f A A ≥∫′
)(。
于是
≥∫′A A dx x )(ϕ0)(1
ε≥∫′
A A dx x f K ，
所以也发散。
∫∞+a dx x )(ϕ（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)
()(lim
=+∞→x x f x ϕ。则当发散时，∫也发散；但当收敛时，∫可能收敛，
∫∞
+a dx
x f )(∞+a dx x )(ϕ∫∞+a dx x f )(∞+a dx x )(ϕ
也可能发散。
例如21)(x
x f =
，)20(1)(<<=p x x p ϕ，则0)()
(lim =+∞→x x f x ϕ。显然有 ∫∞
+1
)(dx x f 收敛，而对于，则当∫∞
+1)(dx x ϕ21<
10≤
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)
()
(lim
x x f x ϕ。则当
收敛时，∫也收敛；但当发散时，∫可能发散，也可能收敛。
∫∞
+a
dx x f )(∞+a dx x )(ϕ∫∞
+a
dx x f )(∞
+a dx
x )(ϕ例如x
x f 1)(=
，21(1)(>=
p x
x p ϕ，则+∞=+∞→)()
(lim x x f x ϕ。显然有 ∫∞
+1
)(dx x f 发散，而对于，则当
∫∞
+1)(dx x ϕ12
1
≤
1>p ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）。
证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有，
f x ()≥0K 是正常数。
⑴ 若f x K
x
p ()≤，且，则收敛；
p >1∫∞+a dx x f )(⑵ 若f x K
x
p ()≥，且，则发散。
p ≤1∫∞+a dx x f )(推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有
，且
f x ()≥0lim ()x p x f x l →+∞
=，
则
⑴ 若0≤<+∞l ，且，则收敛；
p >1∫∞
+a dx x f )(
⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则发散。
∫∞
+a dx x f )(证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为
p x
1
。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴1
1
3
21
x e
x dx x
−++−+∞
∫ln ;
⑵
∫
∞
++1
3
1tan arc dx x
x
; ⑶110++∞
∫x x dx |sin |;
⑷x x dx
q p
11
++∞
∫（）. +
∈R q p ,解 （1）当+∞→x 时，
1
ln 1
23
++−−x e
x x
～
2
31
x ，
所以积分1
1
321
x e x dx x −++−+∞
∫ln 收敛。
时，
（2）当+∞→x 31arctan x x +～3
2x
π
， 所以积分∫∞
++1
3
1tan arc dx x
x
收敛。 （3）因为当时有
0≥x x
x x +≥+11
sin 11，
而积分dx x
∫∞
++0
11
发散，所以积分110++∞∫x x dx |sin |发散。
（4）当时，
+∞→x p q
x
x +1～q
p x −1，