上海历年中考数学压轴题复习[试题附答案解析]
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并写出函数的定义域；
②当 CE＝1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程）．
27．（1）①证明：
∵ ∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC ＝∠A，∴ ∠ABP＝∠DPC．∵ 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，∴ ∠A＝ ∠D．∴ △ABP∽△DPC．
试说明理由． （图 5、图 6、图 7 的形状大小相同，图 5 供操作、实验用，图 6 和图 7 备用）
五、（本大题只有 1 题，满分 12 分，（1）、（2）、（3）题均为 4 分） 27．
图1
（1）解：PQ＝PB
图2
图3
……………………（1 分）
证明如下：过点 P 作 MN∥BC，分别交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，那么四边形
22
②AP＝2 或 AP＝3－ 5 ．
（题 27 是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推 断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造 即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的 联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问 题的途径．）
……………………（1 分）
解法一 此时，QN＝PM＝ 2 x ，CP＝ 2 －x，CN＝ 2 CP＝1－ 2 x ．
2
2
2
∴ CQ＝QN－CN＝ 2 x －（1－ 2 x ）＝ 2x －1．
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
当 2 －x＝ 2x －1 时，得 x＝1．
……………………（1
分）
解法二 此时∠CPQ＝ 1 ∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°， 2
分）
∴ PQ＝PB．
（2）解法一
由（1）△QNP≌△PMB．得 NQ＝MP．
∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝ 2 x ，BM＝PN＝CN＝1－ 2 x ，
2
2
∴ CQ＝CD－DQ＝1－2· 2 x ＝1－ 2x ． 2
得 S ＝ 1 BC·BM＝ 1 ×1×（1－ 2 x ）＝ 1 － 2 x． ………………（1
交边 DC 于点 F，G 为切点：
AMND 和四边形 BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图 1）．
∴ NP＝NC＝MB．
分）
∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
……………………（1
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM．
……………………（1
分）
又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB． ……………………（1
②解：设 AP＝x，则 DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得 AB PD ，即 2 5 x ，
AP DC x 2
解得 x1＝1，x2＝4，则 AP 的长为 1 或 4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴ AB AP ．即 2 x ，
PD DQ 5 x 2 y
得 y 1 x2 5 x 2 ，1＜x＜4．
观察得到结论；
（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解
析式，并写出函数的定义域；
（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指
出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，
∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，
∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1．
……………………（1 分）
上海市 2003 年初中毕业高中招生统一考试
27.如图，在正方形 ABCD 中，AB＝1 ，弧 AC 是点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段
弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作弧 AC 所在圆的切线，
分）
解法二
作 PT⊥BC，T 为垂足（如图 2），那么四边形 PTCN 为正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．
S
＝S
＋S
＝S
＋S ＝S
四边形 PBCQ
△四边形 PBT
四边形 PTCQ
四边形 PTCQ
△PQN
正方形 PTCN
分）
…（2
＝CN2＝（1－ 2 x ）2＝ 1 x2－ 2x ＋1
△PBC 2
2
2
24
分）
S ＝ 1 CQ·PN＝ 1 ×（1－
△PCQ 2
2
2x ）（1－ 2 x ）＝ 1 － 3 2 x ＋ 1 x2
2
24
2
（1
分）
S
＝S ＋S ＝ 1 x2－
四边形 PBCQ
△PBC
△PCQ 2
2x ＋1．
即
y＝ 1 x2－
2x ＋1（0≤x＜
2
）．
2
2
……………………（1 分，1
上海市 2002 年中等学校高中阶段招生文化考试
27．操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对 角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q．
图5
图6
图7
探究：设 A、P 两点间的距离为 x．
（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你
2
2
∴ y＝ 1 x2－ 2x ＋1（0≤x＜ 2 ）．
2
2
（3）△PCQ 可能成为等腰三角形
……………………（1 分）
①当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 D 重合，这时 PQ＝QC，△PCQ 是等腰三角形，
此时 x＝0
……………………（1 分）
②当点 Q 在边 DC 的延长线上，且 CP＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图 3）
上海历年中考数学压轴题复习
2001 年上海市数学中考
27．已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足∠BPC＝∠A．
图8
①求证；△ABP∽△DPC ②求 AP 的长． （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A， PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 ①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP＝x，CQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，
②当 CE＝1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程）．
27．（1）①证明：
∵ ∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC ＝∠A，∴ ∠ABP＝∠DPC．∵ 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，∴ ∠A＝ ∠D．∴ △ABP∽△DPC．
试说明理由． （图 5、图 6、图 7 的形状大小相同，图 5 供操作、实验用，图 6 和图 7 备用）
五、（本大题只有 1 题，满分 12 分，（1）、（2）、（3）题均为 4 分） 27．
图1
（1）解：PQ＝PB
图2
图3
……………………（1 分）
证明如下：过点 P 作 MN∥BC，分别交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，那么四边形
22
②AP＝2 或 AP＝3－ 5 ．
（题 27 是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推 断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造 即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的 联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问 题的途径．）
……………………（1 分）
解法一 此时，QN＝PM＝ 2 x ，CP＝ 2 －x，CN＝ 2 CP＝1－ 2 x ．
2
2
2
∴ CQ＝QN－CN＝ 2 x －（1－ 2 x ）＝ 2x －1．
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
当 2 －x＝ 2x －1 时，得 x＝1．
……………………（1
分）
解法二 此时∠CPQ＝ 1 ∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°， 2
分）
∴ PQ＝PB．
（2）解法一
由（1）△QNP≌△PMB．得 NQ＝MP．
∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝ 2 x ，BM＝PN＝CN＝1－ 2 x ，
2
2
∴ CQ＝CD－DQ＝1－2· 2 x ＝1－ 2x ． 2
得 S ＝ 1 BC·BM＝ 1 ×1×（1－ 2 x ）＝ 1 － 2 x． ………………（1
交边 DC 于点 F，G 为切点：
AMND 和四边形 BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图 1）．
∴ NP＝NC＝MB．
分）
∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
……………………（1
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM．
……………………（1
分）
又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB． ……………………（1
②解：设 AP＝x，则 DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得 AB PD ，即 2 5 x ，
AP DC x 2
解得 x1＝1，x2＝4，则 AP 的长为 1 或 4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴ AB AP ．即 2 x ，
PD DQ 5 x 2 y
得 y 1 x2 5 x 2 ，1＜x＜4．
观察得到结论；
（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解
析式，并写出函数的定义域；
（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指
出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，
∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，
∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1．
……………………（1 分）
上海市 2003 年初中毕业高中招生统一考试
27.如图，在正方形 ABCD 中，AB＝1 ，弧 AC 是点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段
弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作弧 AC 所在圆的切线，
分）
解法二
作 PT⊥BC，T 为垂足（如图 2），那么四边形 PTCN 为正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．
S
＝S
＋S
＝S
＋S ＝S
四边形 PBCQ
△四边形 PBT
四边形 PTCQ
四边形 PTCQ
△PQN
正方形 PTCN
分）
…（2
＝CN2＝（1－ 2 x ）2＝ 1 x2－ 2x ＋1
△PBC 2
2
2
24
分）
S ＝ 1 CQ·PN＝ 1 ×（1－
△PCQ 2
2
2x ）（1－ 2 x ）＝ 1 － 3 2 x ＋ 1 x2
2
24
2
（1
分）
S
＝S ＋S ＝ 1 x2－
四边形 PBCQ
△PBC
△PCQ 2
2x ＋1．
即
y＝ 1 x2－
2x ＋1（0≤x＜
2
）．
2
2
……………………（1 分，1
上海市 2002 年中等学校高中阶段招生文化考试
27．操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对 角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q．
图5
图6
图7
探究：设 A、P 两点间的距离为 x．
（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你
2
2
∴ y＝ 1 x2－ 2x ＋1（0≤x＜ 2 ）．
2
2
（3）△PCQ 可能成为等腰三角形
……………………（1 分）
①当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 D 重合，这时 PQ＝QC，△PCQ 是等腰三角形，
此时 x＝0
……………………（1 分）
②当点 Q 在边 DC 的延长线上，且 CP＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图 3）
上海历年中考数学压轴题复习
2001 年上海市数学中考
27．已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足∠BPC＝∠A．
图8
①求证；△ABP∽△DPC ②求 AP 的长． （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A， PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 ①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP＝x，CQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，