1.4卡诺图化简法

【表示法2】 【表示法3】 【表示法4】 【表示法5】
m7 m6 m3 m1
m1,3,6,7
m i (i 1,3,6,7)
(1,3,6,7)
i
例：将下列函数化为最小项之和的形式
Y A BC
添项
A(B B)(C C) (A A)BC
注意：
将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反 函数的最小项表达式。 在n个变量的逻辑系统中，如果Y为i个最小项之和，则 Y 必为余下的（n－i）个最小项之和。
（5）最小项的相邻性
任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子
都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。 显然，m0与m1具有相邻性，而 m1 (A BC)与 m 2 (ABC )不相 邻，因为他们有两个因子不相同。m3与m4也不相邻，而m3与m2
例
m1 ABC 001 m6 ABC 110
1 1 1 1 1
m2 ABC 010 m7 ABC 111
m3 ABC 011 F =（m1+m3）+（m2+m3+m6+m7）
F ( A B C A BC) ( A BC A BC ABC ABC ) AC B
例10 用卡诺图化简函数
F ( A, B, C, D) ABCD ABCD ABCD ABCD
解： 根据最小项的编号规则，得
F m3 m9 m11 m13
将这四个最小项填入四变量卡诺图内
化简得
F ACD BCD
例11 用卡诺图化简函数
F ( A, B, C, D) ABC AC D ABC D ABC
返回
（2）最小项的表示方法 通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的 原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序 排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数， 就是这个最小项的下标i。 3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
m0 A B C、m1 A BC、m 2 ABC、m3 ABC m 4 AB C、m5 ABC、m6 ABC、m7 ABC
右图为两个1格合并时消去一个变量的例 子。图中，m1和m5为两个相邻1格，则有：
m1 m5 ABC ABC ( A A)BC BC
再如：
A BCD ABCD AB C D AB CD BCD( A A) BCD AB D(C C ) AB D
练习：判断正确与错误 例1
错误 （多画一个圈）
正确
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F BC ABC ACD AC D
F BC ACD AB D
例2
错误（圈的面积不够大） 正确
F B ABC
F B AC
例3
错误 （圈的 面积不 够大）
例4
圈错 无误 新（ 的有 一 格个 ）
F C BC D F BD ABC ACD ABC ACD
m6 0 0 0 0 0 0 1 0
m7 0 0 0 0 0 0 0 1
性质2：不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值 也不同。
（3）最小项的性质
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
3 变量全部最小项的真值表 ABC ABC m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1BC A 0BC 0 0 0 B 0C 0 0 A AABC 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
解： 从表达式中可以看出此为四变量的逻辑函数，但是有的
乘积项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘 积项中都要将缺少的变量补上：
ABC ABC( D D) ABCD ABC D AC D AC D( B B) ABCD ABC D ABC A BC( D D) ABCD ABC D F m 0 m1 m2 m6 m8 m9 m10
ABD
B CD
性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项，可以合并成一个与项， 并消去两个变量。 例：
A B C A BC AB C ABC A C ( B B) AC( B B) A C AC C
A
C
再如：
AC
A B C D A BC D ABC D AB C D A C D ( B B ) AC D ( B B ) C D ( A A) C D
性质4：全部最小项的和必为1。
（4）逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称
为标准与或表达式，也称为最小项表达式。
对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1
和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。
最小项的若干表示方法
例如：
L(A, B, C) AB AC AB(C C) A(B B)C 【表示法1】 ABC ABC ABC ABC
ABC ABC A BC A BC ABC ABC
A B C A BC ABC ABC ABC
m0 m1 m2 m3 m7
m(0,1,2,3,7)
已知真值表，写出函数的最小项之和的形式
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最 小项相加，便是函数的最小项表达式。
图 三变量卡诺图
图 四变量卡诺图
补充画卡诺图。
例8 画出逻辑函数
的卡诺图。 解：
F ( A, B, C, D) m(0,1,2,5,7,8,10,11,14,15)
3. 逻辑函数的卡诺图化简法
利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为逻辑函数的卡诺图化简法。 ◆ 卡诺图相邻性的特点保证了几何相邻两方格所代表的最小 项只有一个变量不同。因此，若相邻的方格都为1（简称1格） 时，则对应的最小项就可以合并。合并的结果是消去这个不同 的变量，只保留相同的变量。这是图形化简法的依据。 综合上述概念，卡诺图具有下述性质： 性质1：卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项， 并消去一个变量。 例：
m6 0 0 0 0 0 0 1 0
m7 0 0 0 0 0 0 0 1
性质1：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1, 而在变量取其他各组值时这个最小项的值都是0。
（3）最小项的性质
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
3 变量全部最小项的真值表 m0 m1 m2 m3 m4 m5 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
则有
F ( A, B, C, D) ABCD ABC D ABCD ABC D ABC D ABCD ABC D
将这七个最小项填入四变量卡诺图内 化简得
F BC B D AC D
提
示
（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量 的个数（如果最小项中缺少变量，应按例的方法补齐）。 （2）画出最小项表达式对应的卡诺图。 （3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的 表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。 （4）圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一个也不漏圈的前 提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈 数越少，与或表达式的与项就越少。 （5）按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为1，2，4，8 等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多， 与项中的变量就越少。 （6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。 （7）用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。
性质3：任意两个不同的最小项的乘积必为0。
（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表 A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 。 0 1 1 变量 0 ABC 0取值为 0 001情况下，各最小项之和为 1 0 0 0 0 1 0 0 【因为其中只有一个最小项为 0 0 0 0 1 1，其余全为 0 0 0。】 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
◆ 用卡诺图化简法求最简与或表达式的步骤是：
（1）画出函数的卡诺图； （2）合并最小项； （3）写出最简与或表达式。
用卡诺图化简法求逻辑函数 F ( A, B, C, ) (1,2,3,6,7) 的最简与或表达式 解：1画出函数F 的卡诺图。对于在函数 F 的标准与或表达式中出现 的那些最小项，在其卡诺图的对应小方格中填上1，其余方格不填； 2合并最小项。把图中所有的1格都圈起来，相邻且能够合并在 一起的1 格圈在一个大圈中； 3写出最简与或表达式。对卡诺图中所画每一个圈进行合并，保 留相同的变量，去掉互反的变量。
BD
BD
性质3：卡诺图中八个相邻1格的最小项可以合并成一个与项， 并 消去三个变量。 综上所述，在 n 个变量卡诺图中，若有2k个1格相邻（k为 0，1，2…，n）, 它们可以圈在一起加以合并，合并时可消去 k个不同的变量，简化为一个具有(n-k)个变量的与项。若k =n，则合并时可消去全部变量，结果为1。
（3）最小项的性质
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
3 变量全部最小项的真值表 m0 m1 m2 m3 m4 m5 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 0 1 1 1 0 1 0 0
最小项 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
m1 A BC
m2 ABC
m3 ABC m5 ABC
则由真值表可得如下逻辑表达式：
Y m1 m 2 m 3 m 5 m(1,2,3,5) ABC ABC AB C ABC
二．逻辑函数的卡诺图化简法
1. 关于“最小项”
（1）最小项定义 如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其 中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次， 则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量A、B、C可组成8个最小项：
ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC
相邻。
相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变 量。如：
m0 m 2 A B C ABC A( B B) C A C
2.卡诺图
◆ 基本知识 卡诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的一种 用来描述逻辑函数的特殊方格图。 在这个方格图中，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项， 而且几何相邻（在几何位置上，上下或左右相邻）的小方格具 有逻辑相邻性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量 取值不同。 对于有n个变量的逻辑函数，其最小项有2n个。因此该逻 辑函数的卡诺图由 2n 个小方格构成，每个小方格都满足逻辑 相邻项的要求。 分别画出了二、三、四个变量的卡诺图。