椅子放平稳问题

椅子放平稳问题

所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模. 下面例子是一个简单的数学建模问题.

问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？

1.模型假设 (文字转化为数学语言)

(1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；

(2) 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面；

(3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.

2.模型建立 （运用数学语言把条件和结论表现出来）

设椅脚的连线为正方形 ABCD ，对角线 AC 与 x 轴重合，坐标原点 O 在椅子中心，当椅子绕 O 点旋转后，对角线 AC 变为 A'C'，A'C'与 x 轴的夹角为θ.

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A 、C 两脚与地面距离之和为 )(θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为 )(θg .显然0)(≥θf 、0)(≥θg 。 因此椅子和地面的距离之和可令)()()(θθθg f h +=。由假设（2），)(x f 、)(x g 为连续函数，因此)(θh 也是连续函数；由假设（3），得：0)()(=θθg f 。则该问题归结为：

已知连续函数0)(≥θf 、0)(≥θg 且0)()(=θθg f ，至少存在一个0θ，使得：

0)()(00==θθg f

3.模型求解 （找出0θ）

证明：不妨设,0)0(>f 则0)0(=g 令2π

θ=（即旋转o 90，对角线AC 和BD 互换）。则有0)2

(,0)2(>=π

πg f

定义：)()()(θθθg f H -=，所以

0)]2()0([)2()0(<-=π

πg f H H 根据连续函数解的存在性定理，得：存在)2,0(0π

θ∈

使得：

0)()()(000=-=θθθg f H ； 又 0)()(00=θθg f 所以0)()(00==θθg f 即 当0θθ=时，四点均在同一平面上。