一次方程组的应用
一次方程组的应用 ppt课件2
x y 8 把原方程组化简得: 35x 15y 192 ①×15－②得: 20 x 72
18 x 5 18 18 y 8 把 x 5 代入①得: 5 22 y 5 18 x 5 22 y 5
请同学们思考并讨论
分析:
由“甲种圆珠笔每支售价1.2元,乙种圆珠笔每支售 价0.9元,两种圆珠笔混合装盒后,每盒售价是 26.4元.”得到一个等量关系: (1) 甲种圆珠笔总价 +乙种圆珠笔总价=26.4元 由“已知盒中甲种圆珠笔的支数是乙种圆珠笔的 支数的2倍”得到另一个等量关系: (2) 甲种圆珠笔的支数 =乙种圆珠笔的支数的2倍
等量关系:(1) 甲种圆珠笔总价 +乙种圆珠笔总价=26.4元 (2) 甲种圆珠笔的支数 =乙种圆珠笔的支数的2倍 解: 设甲种圆珠笔有 x 支,乙种圆珠笔有 y 支. 根据等量关系(1)、(2)得:
1.2 x 0.9 y 26.4 x 2y
由①得: 由②代入③得: 4(2 y) 3 y 88 把 y 8 代入②得:
（3） 列方程：认真分析题中的相等关系，列出方程 （4） 解方程：准确求出未知数的值 （5） 写答案：检验所得的方程的解符合题意后，写出答 案，并注意单位名称
9.8 一次方程组的应用
列方程解应用题的基本类型及基本等量关系： 1. 比例分配问题：
三角形三内角的度数和为180度 2. 简单经济问题： (1) 利息＝本金 ×期数×利率 (2) 本利和＝本金 ＋ 利息 3. 工程问题： 工作总量＝工作效率×完成工作总量的时间
1 1 + 乙 小时行路程=16千米 4
一次方程(组)及其应用思维导图
一次方程(组)及其应用思维导图
一次方程（组）
一次方程（组）是指能够用一组一元方程来描述一个特定系统，用来解释其数学模型。
可以有两种形式：显式和隐式。
应用思维导图：
一次方程（组）
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|—显式形式：用一组一元方程来描述系统的解决方案
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|—隐式形式：用一组方程来描述系统的关系
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|—应用：
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|—数学建模：如统计数据的拟合、智能参数控制等
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|—科学问题的分析：如物理学中的位置和运动、航空航天技术中的飞行器控制等
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|—工程实践应用：如排水工程中计算水位、建筑学中计算荷载等。
一元一次方程组的应用
一元一次方程组的应用在数学中，一元一次方程组是指由多个一元一次方程组成的一个方程组。
一元一次方程组的求解方法可以应用在现实生活中各种问题的解决中。
本文将探讨一元一次方程组的应用，并呈现几个具体的例子。
1. 动态平衡问题动态平衡问题常见于物理学中，涉及到物体在平衡状态下力的平衡。
例如，一根悬挂在两个固定点上的杆，其两端分别受到不同的力的作用，我们可以通过建立一元一次方程组来计算力的大小和方向。
假设两个力分别为F1和F2，根据力的平衡原理，我们可以得到以下等式: F1 + F2 = 0根据题目给出的具体数值，我们可以将其代入方程组中，解得F1和F2的值。
这样，我们就能知道杆上受力的具体情况。
2. 混合物浓度计算在化学实验中，经常需要计算混合物中某一种物质的浓度。
假设我们有两种液体A和B，其浓度分别为x和y，我们需要根据两种液体的混合比例来计算混合物的浓度。
通过建立一元一次方程组，我们可以得到以下等式:Ax + By = C其中C表示混合液体的总体积。
通过求解这个方程组，我们可以得到混合液体中各种物质的具体浓度。
3. 养宠物问题当我们养宠物时，经常需要计算它们的饮食消耗。
例如，假设我们养了若干只猫和狗，每天需要喂养的食物总量为F，而每只猫每天需要食物x千克，每只狗每天需要食物y千克。
我们可以建立以下一元一次方程组来计算猫和狗的数量:x * 猫的数量 + y * 狗的数量 = F通过求解这个方程组，我们可以得到猫和狗的数量，从而确定它们的食物所需量。
4. 车辆行程计算在交通运输领域，我们常常需要计算车辆的行程时间和距离。
以两辆车A和B为例，它们同时从A地点出发，行进到B地点。
假设车A的速度是x千米/小时，车B的速度是y千米/小时，行程时间为t小时。
我们可以建立以下一元一次方程组来计算车辆的行程距离:x * t = y * t + D其中D表示A地点到B地点的距离。
通过求解这个方程组，我们可以得到行程的距离。
6.11 一次方程组的应用(1)&(2)
练习
3. 六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都
有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文
小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人
数的
（1）班没有参加天文小组的人数的
1 ，（2）班参加天文小组的人数恰好是 3 1
4
，问六年
级（1）班、（2）班没有参加天文小组的各多少
人？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 练习
4. 某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽， 一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每 人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个。问要有 多少工人生产螺栓，其余的工人生产螺帽，才 能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套。
能力提高
若玩青蛙跳５元每人，玩极速风车１５元 每人。其中玩这两项游乐项目共花了40元 。求各有多少人玩青蛙跳和极速风车．
设玩青蛙跳的有a人，玩极速风车的有b人．
可列出方程为？
第六章 一次方程（组） 和一次不等式（组）
6.11 一次方程组的应用（2）
例题
甲、乙、丙三数之和为26，甲数比乙数 大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18， 求甲、乙、丙三个数．
方案二：6角的邮票 1 张，8角的邮票 4 张。
能力提高
某游乐园的门票规定成人９０元／人，儿 童４５元／人．现有大人带着孩子（都为 儿童）去游玩，买门票共花了720元．问成 人和孩子各去了多少人？
（1）这个问题中，有几个未知数? （2）能列一元一次方程求解吗? （3）如果设成人有x人，儿童有y人， 你能列出方程吗？
450x + 150(600-x) ＝210000
等量关系： 低价票的张数
+ 草地票的张数 =600
购买低价票的总价 + 购买草地票的总价 =210000
一元一次方程组的应用
一元一次方程组的应用一元一次方程组是指由一元一次方程构成的方程组，其中每个方程都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
在实际生活中，一元一次方程组的应用非常广泛，例如用于解决线性问题、经济学中的供求关系等。
本文将讨论一元一次方程组在实际问题中的应用。
一、商品购买问题假设小明去超市购买苹果和香蕉，已知苹果和香蕉的价格分别为x元/斤和y元/斤。
小明购买了a斤苹果和b斤香蕉，总共支付了m元。
根据此情况可以建立一个一元一次方程组，求解出苹果和香蕉的价格。
设方程组如下：方程一：a*x + b*y = m方程二：x = 2y其中方程一表示购买苹果和香蕉总花费为m元，方程二表示苹果的价格是香蕉价格的两倍。
通过求解这个一元一次方程组，可以得到苹果和香蕉的具体价格，从而可以帮助小明合理购买商品。
二、投资问题假设小王要进行投资，已知他现在手中有a万元的资金。
小王将资金分为x万元用于购买货币基金，y万元用于购买股票基金，并且规定货币基金的年收益率为2%，股票基金的年收益率为5%。
小王希望将投资一年后的总资金增加到m万元。
根据此情况可以建立一个一元一次方程组，求解出小王应该分别投入多少资金到货币基金和股票基金。
设方程组如下：方程一：2%x + 5%y = m - a方程二：x + y = a其中方程一表示投资一年后总资金增加到m万元，方程二表示小王手中资金的总额为a万元。
通过求解这个一元一次方程组，可以得到小王应该分别投入多少资金到货币基金和股票基金，从而帮助他做出明智的投资决策。
三、消费者满意度调查问题假设一家公司进行了一次消费者满意度调查，调查的问题是对该公司的产品进行评价，用评分1-5分来表示，分数越高表示满意度越高。
假设共有n位消费者参与调查，调查结果列成一个n行1列的向量y，其中y(i)表示第i位消费者给出的评分。
另外，公司还针对每一位消费者进行了星级评价，用星号表示，星号的数量代表了消费者的评分等级。
一元一次方程组的应用
一元一次方程组的应用在数学学科中，一元一次方程组是初等代数中的一个重要概念。
它由一组一元一次方程组成，其中每个方程中只有一个未知数以一次次数出现。
这个概念在实际生活中有着丰富的应用，涉及到各种问题的求解和分析。
本文将介绍一元一次方程组的应用，并且给出其中一些典型例子。
1. 问题一：商场购物小明去商场购物，他买了若干件衣服和若干双鞋子。
已知衣服的单价为x元，鞋子的单价为y元，小明一共花费了z元。
根据这些已知条件，我们可以建立以下一元一次方程组：x + y = z该方程组描述了小明购物的情况，未知数x和y分别表示衣服和鞋子的件数。
通过解这个方程组，我们可以确定小明购买衣服和鞋子的数量。
2. 问题二：公交车票价一辆公交车上有成人和学生两类乘客，已知公交车售卖的成人票价为x元，学生票价为y元。
今天，该公交车一共售出了a张成人票和b 张学生票，总共收入了c元。
我们可以建立以下一元一次方程组来描述这个问题：ax + by = c通过解这个方程组，我们可以得到成人和学生乘客的数量以及售票价。
3. 问题三：比例分配甲乙两人合资开办一家公司，甲出资x万元，乙出资y万元，总共出资z万元。
根据出资的比例，我们可以得到以下一元一次方程组：x + y = z通过解这个方程组，我们可以计算出甲和乙实际出资的金额。
4. 问题四：工程问题某工程队参与了两个工程项目，第一个工程项目共花费了x小时，工程队的小时工资为y元；第二个工程项目共花费了a小时，工程队的小时工资为b元。
总共工作了c小时，一共支付了d元。
我们可以建立以下一元一次方程组：xy + ab = cxd + ab = c通过解这个方程组，我们可以确定在两个工程项目中工程队的工作时间以及工资的具体数值。
5. 问题五：容器混合有两个容器，第一个容器中装有纯净水，第二个容器中装有含有某种溶液的水。
现需要从这两个容器中分别取出x升和y升水，混合后得到z升新液体。
已知第一个容器中纯净水的体积比例为a，第二个容器中溶液的体积比例为b。
一次方程组的应用
一次方程组的应用引言一次方程组是数学中常见的问题解决工具，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍一次方程组的定义、求解方法以及在现实生活中的一些应用案例。
一次方程组的定义一次方程组指的是一组含有未知数的线性方程的集合。
一般来说，一次方程组的形式可以表示为：a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b1a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b2...a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = bn其中，x1, x2, …, xn是未知数，a1, a2, …, an是已知系数，b1, b2, …, bn是已知常数。
一次方程组的求解方法一次方程组的求解方法有多种。
以下是常见的两种方法：1. 代入法代入法是一种简单直接的求解一次方程组的方法。
其基本思路是将一个方程的一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解出未知数的值。
以一个简单的一次方程组为例，：2x + y = 10x + y = 6我们可以选择第二个方程将y的表达式代入到第一个方程中：2x + (6 - x) = 10化简后得到：x = 2将x的值代回第二个方程，得到y的值：2 + y = 6y = 4最终，方程组的解为x = 2, y = 4。
2. 消元法消元法是另一种常用的求解一次方程组的方法。
其基本思路是通过将方程组中的某些方程相加、相减或相乘，消去其中的未知数，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解出未知数的值。
以一个简单的一次方程组为例，：2x + y = 10x + y = 6我们可以将第二个方程的y系数乘以2，然后将第一个方程减去第二个方程：2 * (x + y) - (2x + y) = 2 * 6 - 10化简后得到：x = 2将x的值代回第二个方程，得到y的值：2 + y = 6y = 4最终，方程组的解为x = 2, y = 4。
一次方程组在现实生活中的应用案例一次方程组在现实生活中有很多应用，以下是一些常见的应用案例：1. 购物问题假设你去商店购买3个苹果和2个香蕉，总共花费15元；如果购买2个苹果和3个香蕉，总共花费13元。
一次方程组的应用
7.布置作业 六、 教学反思 依照课程标准，通过分析教材中教学情境设计和例习题安排的意图，在此基础上 依据学生实际，制订了本堂课的教学目标，教学重点和难点，课堂教学的设计始终围 绕这教学重点和难点展开. 在充分理解教材编写意图、教学要求和教学理念的基础上，根据学生实际，从学 生的已有经验出发， 创设了教学情境： 关心老人， 突出情感主线， 并贯穿整个教学. 并 对教学内容进行适当的重组、补充和加工等，创造性地使用了教材. 所选择的例习题 都体现实际问题数学化的思想，让学生感受到数学的魅力. 这两个方面的设计贯穿整 堂课，把知识内容和情感体验自然连贯起来. 其次，在教学过程设计中，体现了让学生展示解决问题的思维过程，通过几个合 作学习，激发学生主动去接触问题，从而达到解决问题的目的. 重视学生学习过程中 的自我评价和生生间的相互评价，关注学生对解题思路回顾能力的培养. 导入中的（1）题联系社会生活实际，引起学生的学习兴趣。 （2）题为根据相等关 系列二元一次方程打下了基础； （3）题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的 优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣。 反馈练习用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛， 而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力。 七、 教师个人介绍 省份：山东 学校： 青州市黄楼初中 姓名： 韩淑杰 职称： 一级教师 电话： 3831061 电子邮件：1019610396@ 通讯地址：山东省青州市黄楼初中 [个人简介 个人简介] 个人简介 韩淑杰，女，中学一级教师。1990 年进入黄楼初中任数学教师，参加过“十五”教育 技术重点研究课题、山东省“十一五”教育技术研究课题研究。工作期间，积极撰写 论文，并多次获奖， 2008 年被评为“优秀且含有两个相等关系，列出二元一次方程组比 列一元一次方程更直接、更容易。我们这一节课就来学习二元一次方程组的应用。 2、探索新知 、 出示例 1：小华买了 80 分与 2 元的邮票共 16 枚，共花了 18 元 8 角，80 分与 2 元的邮票各买了多少枚？ （1） 题中有几个未知数？分别是什么？ （2） 题中有几个相等关系？分别是什么？ 学生分小组讨论，指名回答。 未知数：80 分邮票枚数与 2 元邮票枚数。 相等关系 1）80 分邮票枚数+2 元邮票枚数=总枚数 2）80 分邮票总价+2 元邮票总价=全部邮票总价 一名同学板演，其余同学在练习上完成解题过程。然后讲评。 /z/q109662964.htm?sp=3001 强调：1）选定几个未知数，就是根据问题中条件找几个相等关系，这 几个相等关系正好表示了应用题的全部含义。 2)列方程组解应用题时，解方程组的过程在练习本上完成。 3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然 后再写答语。 反馈练习： 反馈练习 小兰在玩具厂劳动， 4 个小火车、 个小汽车用去 3 小时 42 分； 5 个小火车、 做 7 做 6 个小汽车用去 3 小时 37 分，平均做 1 个小火车与 1 个汽车各用去多少时间？ 请同学们仿照例 1 的方法，拟出分析问题。学生分小组讨论，然后解答。教师巡 视指导。最后出示一名同学解答过程集体纠正。 /question/175839641.html 变式训练，培养能力： 变式训练，培养能力 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16 个或制盒底 43 个，一个盒身与两个盒底配 成一套罐头盒，现有 150 张白铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，可以正好制成 整套罐头盒？ 此题的相等关系不明显，所以小组讨论的时候要及时的加以指导，找到第二个相 等关系。 相等关系： （1）制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=150 张 （2）盒底总数=2×盒身总数 一名同学板演，然后集体订正。 /question_detail.php?id=13057 4、课堂小结 、 我们这节课学习了二元一次方程组的应用， 你能简单归纳出列二元一次方程组解 应用题的步骤吗？ 学生发言后，教师适当补充、纠正。 板书： （1）设(未知数)（2）找（相等关系） （3）列（方程组） （4）解（方程组） (5)答 关键是找出相等关系。 (3) 已知 x = 2, 是关于 x,y 的方程 2x+ay=5 的一个解，则 a= y =1 .
一次方程与方程组应用题
买应该支付(4.5x＋135)元．
3．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为 1.2 元， 一支圆珠笔的售价为 2 元．该店在“六一”儿童节举 行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打 8 折出售，圆珠 笔按原价打 9 折出售，结果两种笔共卖出 60 支，卖得 金额 87 元，若设铅笔卖出 x 支，则依题意可列得的一 元一次方程为( )
利润 ①利润＝售价－成本；②利润率＝成本×100%.
(4)行程问题
路程＝速度×时间．
若用 v 表示轮船的速度，用 v 顺、v 逆、v 水分别表
示轮船顺水、逆水和水流的速度，则有如下关系：
v 顺＝v＋v 水
v 逆＝v－v 水
v＝v顺＋2 v逆
v 水＝v顺－2 v逆
在轮船航行问题中，知道 v 顺、v 逆、v、v 水中的任
A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87 B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87 C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87 D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87
4．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左 侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球， 还有 2 个各 20 克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移 至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的一个砝码后，天平仍 呈平衡状态，如图②，则被移动的玻璃球质量为( )
方法总结： 1.列方程组解应用题的关键是准确地找出题中 的等量关系，正确的列出方程组. 2.设未知数可以采用直接设法也可以采用间接设法. 3.一般地，设几个未知数，就应列出几个方程. 4.要根据应用题的实际意义检验求得的解是否合 理，不符合题意的解应该舍去.
5．小颖家离学校 1200 米，其中有一段为上坡路，
一元一次方程(组)实际应用PPT课件
对解进行解释和应用
解释解的意义
根据实际问题背景，解释解的实际意义 和作用。
VS
应用解到实际问题
将解应用到实际问题中，解决实际问题， 并对结果进行评估和解释。
04
实际应用练习与思考
练习题一：购物问题
总结词
购物问题是一元一次方程在实际生活中的常见应用，主要涉及到商品价格、折扣、优惠 等方面的计算。
投资问题
总结词
投资问题通常涉及到利率、本金和收益等，通过建立一元一次方程可以计算出最优的投资方案。
详细描述
例如，某人有一定数量的本金，可以选择存入银行或购买股票等不同的投资方式，银行的年利率为2%， 股票的年收益率不确定但风险较大。通过一元一次方程可以计算出最优的投资方式。
03
解决实际问题的策略和技 巧
要点二
详细描述
在投资问题中，通常需要解决诸如“本金增长、利息计算 、投资回报”等问题。通过设立一元一次方程，可以预测 投资未来的收益和风险，从而做出明智的投资决策。
THANKS
感谢观看
解算方程
使用代数方法对方程进行 求解，得到未知数的值。
检验解的合理性
根据实际问题背景，检验 解的合理性，排除不合逻 辑或实际意义的解。
对解进行检验和验证
检验解的正确性
通过代入原方程或方程组，验证解是否满足原方程或方程组。
验证解的实际意义
根据实际问题背景，验证解是否符合实际情况，排除不符合实际意义的解。
02
工程设计
在工程设计中，我们需要解决各种实际问题，例如计算建筑物的面积、
体积、高度等，一元一次方程可以帮我们快速准确地完成这些计算。
03
经济分析
在经济分析中，我们需要分析各种经济数据，例如分析某个行业的市场
第07讲 专题3 一次方程(组)中整体思想的应用(解析版)七年级数学下册
第07讲专题3一次方程（组）中整体思想的应用类型一：不解方程（组）求式子的值类型二：利用整体代入法求方程组的解类型三：整体换元法求未知数的值类型一：不解方程（组）求式子的值1．已知x，y为二元一次方程组的解，则x﹣y＝1．【分析】两式相减即可得出答案．【解答】解：，②﹣①，得2x﹣2y＝2，则x﹣y＝1．故答案为：1．2．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（）A．3B．6C．﹣1D．﹣2【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可．【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．故选：B．3．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为2024．【分析】先将方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整体代入求值即可．【解答】解：将代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，∴原式＝﹣1+2025＝2024；故答案为：2024．4．已知是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为9．【分析】把代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：把代入方程mx+ny＝5得：2m+3n＝5，所以4m+6n﹣1＝2（2m+3n）﹣1＝2×5﹣1＝9．故答案为：9．5．如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝4．【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．【解答】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，∴2m﹣3n＝2020．∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．故答案为：4．6．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b的值为﹣1．【分析】把解代入二元一次方程中，可得结论．【解答】解：∵是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，∴3a﹣2b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，∴x﹣y＝2，故选：A．8．已知x、y满足方程组，则x+y的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】直接把两式相加即可得出结论．【解答】解：，①+②得，4x+4y＝16，解得x+y＝4．故选：B．9．已知二元一次方程组，则m+n的值是（）A．9B．3C．﹣3D．﹣9【分析】②﹣①得：m+n＝3．【解答】解：，②﹣①得：m+n＝3．故选：B．10．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（）A．1B．2C．﹣1D．0【分析】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．【解答】解：把代入方程组，得：，①+②，得：7（a+b）＝7，则a+b＝1．故选：A．类型二：利用整体代入法求方程组的解11．解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求解即可．【解答】解：，由①得x＝3y﹣1③，把③代入②，得6y﹣y＝10，解得y＝2，把y＝2代入③，解得x＝5，∴．12．解方程组时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组．【分析】利用整体代入法的求解方法进行解答即可．【解答】解：，把①代入②得：3×12+5y＝26，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：2x+6＝12，解得x＝3，故原方程组的解是：．13．阅读以下材料：解方程组：；小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：（1）请你替小亮补全完整的解题过程；（2）请你用这种方法解方程组：．【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；（2）利用整体代入法进行求解即可．【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：4×1﹣y＝0，解得y＝4，把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，解得x＝5，故原方程组的解是：；（2），整理得：，把③代入④得：2×2+1+15y＝50，解得y＝3，把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，解得x＝，故原方程组的解是：．14．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，把y＝﹣1代入③得：x＝0，则方程组的解为．15．整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：x﹣y＝1③，把③代入②中，求得x＝0，y＝1；利用整体代入思想，已知，则x2+4y2＝17．【分析】将x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5即可求得x，y的值；给2x2+xy+8y2＝36两边同乘以2得到方程③4x2+2xy+16y2＝72，然后方程①3x2﹣2xy+12y2＝47加方程③4x2+2xy+16y2＝72即可解答．【解答】解：把x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5，解得y＝﹣1，∴x＝0，故答案为：0，1；，②×2得：4x2+2xy+16y2＝72③，③+①得：4x2+2xy+16y2+3x2﹣2xy+12y2＝47+72，∴7x2+28y2＝119，∴7（x2+4y2）＝119，∴x2+4y2＝17，故答案为：17．16．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．请你解决以下问题（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组；（i）求xy的值；（ii）求出这个方程组的所有整数解．【分析】（1）把3x+5y看做一个整体，求出3x+5y的值，进而可得出结论；（2）将①代入方程②求出xy的值，再由x与y是整数求出符合条件的x，y的对应值即可．【解答】解：（1），将方程②变形：6x+10y+y＝35，即2（3x+5y）+y＝35③，把方程①代入③得：2×16+y＝35，解得y＝3，把y＝3代入方程①，得，所以方程组的解为；（2）（i）原方程组化为，将①代入方程②得：72+7xy＝51，∴xy＝﹣3；（ii）由（i）得xy＝﹣3，∵x与y是整数，∴或或或，由（i）可求得2x2+3y2＝21，∴和符合题意，故原方程组的所有整数解是或．类型三：整体换元法求未知数的值17．用换元法解方程组，如果，那么原方程组化为关于u、v的方程组是．【分析】结合已知条件，利用换元法将原二元一次方程组进行换元即可．【解答】解：已知，设＝u，＝v，那么原方程组化为：，故答案为：．18．解方程组．【分析】先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解．【解答】解：原方程组可化为：，（2）×5+（1）得：46y＝46，y＝1，把y＝1代入（1）得：x＝7．∴．19．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．【解答】解：由题意知，，①+②，得：2x＝7，x＝3.5，①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，所以方程组的解为，故选：C．20．阅读材料，解答问题：材料：解方程组，我们可以设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．请用换元法解方程组：．【分析】设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再解方程组即可求解．【解答】解：设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再将a、b转化为，解得．21．阅读下列材料，解答问题：材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．问题：请你用上述方法解方程组．【分析】设x+y＝A，x﹣y＝B，方程变形后，利用加减消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值即可．【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，方程组变形得：，整理得：，①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，即A＝﹣10，把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，∴，解得：．22．阅读探索：材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为，解得，即，解得．材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：．根据上述材料，解决下列问题：（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．（3）已知x、y、z，满足，试求z的值．【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可；（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；（3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．【解答】解：（1）设，，∴原方程可以化为，用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，∴方程组的解为，即，解得，∴原方程组的解为；（2）解：设，则方程化为：，即，解得；（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，变形为，将方程②代入③得：，解得z＝2．。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
x＋y＝40， x＋y＝12， C.3x＋4y＝12 D.3x＋4y＝40
6．(2019·岳阳第 15 题 4 分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下 列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”其意思 为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺．问每日各织 多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布335115 尺．
8. (2019·娄底第 23 题 9 分)某商场用 14 500 元购进甲、乙两种矿泉水
共 500 箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别
成本价(元/箱)
销售价(元/箱)
甲
25
35
乙
35
48
求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
解：设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱，依题意，得
x＋y＝500， 25x＋35y＝14 500，
2 次，2020 年考查 2 次)
2x－y＝5， 1．(2021·郴州第 6 题 3 分)已知二元一次方程组x－2y＝1，则 x－y 的
值为
（ A）
A．2
B．6
C．－2
D．－6
2．(2021·株洲第 2 题 4 分)方程x2－1＝2 的解是 A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6
（ D）
3．(2019·湘潭第 6 题 4 分)若关于 x 的方程 3x－kx＋2＝0 的解为 2，则 k 的值为 44 .
m＝8，m＝5， m＝2， ∴n＝2，n＝6，或n＝10， ∴共有 3 种运输方案，
方案 1：安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆， 所需费用：500×8＋400×2＝4 800(元)； 方案 2：安排 A 型车 5 辆，B 型车 6 辆， 所需费用：500×5＋400×6＝4 900(元)； 方案 3：安排 A 型车 2 辆，B 型车 10 辆， 所需费用：500×2＋400×10＝5 000(元)． ∵4 800＜4 900＜5 000， ∴安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆最省钱，最省钱的运输费用为 4 800 元．
初中数学知识归纳一元一次方程组的解法及应用
初中数学知识归纳一元一次方程组的解法及应用一、什么是一元一次方程组？一元一次方程组是由一元一次方程的集合组成的数学表达式。
一元一次方程指的是其中只含有一个未知数，并且未知数的次数为一。
方程组则表示由多个方程组成的集合。
二、一元一次方程组的解法解决一元一次方程组的关键在于确定未知数的值，使得所有方程都成立。
下面是一些常见的解法：1. 图解法通过将方程组转化为坐标系中的直线，可以通过观察直线的交点来得到方程组的解。
假设我们有如下一元一次方程组：x + y = 3x - y = 1通过画出两条直线，我们可以确定它们的交点就是方程组的解。
2. 消元法消元法是通过逐步消去未知数的系数，使得得到的方程只包含一个未知数。
假设我们有如下一元一次方程组：2x + 3y = 83x - 2y = 1通过适当的加减运算可以得到新的方程组：5x + 0y = 90x + 5y = 15现在我们得到了两个只包含一个未知数的方程，可以分别解出x和y的值，从而得到整个方程组的解。
3. 代入法代入法是通过将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到另一个只包含一个未知数的方程。
假设我们有如下一元一次方程组： x + y = 52x - y = 1通过解第一个方程可以得到x = 5 - y，将其代入第二个方程中可得： 2(5 - y) - y = 1通过求解上述方程可以得到y的值，进而求得x的值。
三、一元一次方程组的应用一元一次方程组在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 物品价格问题假设某商店出售苹果和橙子，苹果的价格为x元，橙子的价格为y 元，我们已知购买3个苹果和2个橙子共花费了10元，而购买2个苹果和3个橙子共花费了8元。
通过建立一元一次方程组，我们可以求解出苹果和橙子的价格。
2. 工时问题假设甲、乙两人共同完成一项工作，甲完成该项工作需要x小时，乙完成该项工作需要y小时，已知他们同时工作共花费了2小时，而乙独立工作花费了3小时。
七年级奥数：一次方程组的应用
七年级奥数：一次方程组的应用阅读与思考一次方程组是解数学题的重要工具之一，其应用主要体现在以下两个方面： 1．求代数式的值一些表面与方程组无关的问题，借助相关概念、性质、对题意的理解等将问题转化为解方程组而获解．2．列方程组解应用题不同的应用问题应采用不同的解决手段或方法，对于含有多个未知量的问题，利用方程组求解常常比单设一个未知数建立一元方程容易，列方程组解应用题的步骤与列一元方程解应用题的步骤类似，它们的不同之处在于：首先，列方程组所解决的应用题中含有多个未知量，须设多个未知数，而列方程只能设一个未知数，其他未知量只能用这一个未知数的代数式表示；其次，列方程组解应用题应列出彼此独立的方程来组成方程组，而列方程解应用题只需列出一个方程．例题与求解例1 设x 、y 满足x ＋３y ＋＝１９２ｘ＋ｙ＝６，则ｘ＝_______，Y ＝_______． (第十届“希望杯”邀请赛试题)解题思路 两等式联立可得关于x ，ｙ的方程组，解题的关键是如何脱去绝对值符号．例2 4x －3y —6ｚ＝０，ｘ＋2y －7ｘ＝0，等于( )． (A )－(B )－ (C )—15 (D )—13 (1997年重庆市竞赛题) 解题思路 ｘ、ｙ、ｚ的值不惟一确定，不妨视2为常数，解关于x ，ｙ的方程组．例3 某班进行个人投篮比赛，下表记录了在规定时间内投进几个球的人数分布情况。
同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人?(上海市中考题)解题思路 已知两种情况的每人投进球的平均数，利用平均每人投进的球数＝列出方程组．例4 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队8700元；乙、丙两队合做10y x -3222222103225zy x z y x ---+21219总人数投进总球数天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．(天津市中考题) 解题思路求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比较，进行正确的经济决策．例5 有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根共长36米．问甲种1根、乙种2根、丙种3根共长多少米?(天津市竞赛题) 解题思路三个未知量却只有两个等量关系，需运用相关的解方程组的技巧，如视某个变量为常量、整体思想等．能力训练A级1．若a—b＝2，ａ－ｃ＝，则(ｂ—ｃ)—3(ｂ—c)＋＝_______．2．全国足球甲A联赛前12轮(场)的比赛后，前三名比赛成绩如下表，则每队胜一场、平一场、负一场分别各得——分．(南京市中考题)3．若ｘ＋２ｙ＋３ｘ＝10，４ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝１５，则ｘ＋ｙ＋ｚ＝_______．4．如图，在长方形ABCD中，放人六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为_______．5．已知—4ｘｙ与ｘｙ是同类项，则ｍ、ｎ的值分别为( )．3221349nm+nm+32m-7n+1(Ａ)ｍ＝1，ｎ＝7 (Ｂ)ｍ＝3，ｎ＝1(Ｃ)ｍ＝，ｎ＝ (Ｄ)ｍ＝ ｎ＝－２6．把x ＝1和x ＝—1分别代入代数式ｘ＋ｂｘ＋ｃ，它的值分别是２和８，则ｂ、ｃ的值是( )．(A )ｂ＝3，c ＝4 (B )ｂ＝3，c ＝—4 (C )6＝—3，c ＝—4 (D )ｂ＝—3，ｃ＝47．方程＋＝１的整数解的个数是( )．(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个8．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁．那么( )． (A )甲比乙大5岁 (B )甲比乙大10岁 (C )乙比甲大10岁 (D )乙比甲大5岁(2000年全国初中数学联赛题)9．某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒(如图1)，利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等(如图2)，现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这种小盒，求可做成甲、乙两种小盒各多少个?(上海市中考题)10．某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或丙种零件200个，甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天?(福建省中考题)某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，则共付486元．(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元? (2)两班各有多少名学生?(江苏省宿迁市中考题)12．甲、乙、丙三人各有糖若干块，要求互相赠送，先由甲给乙、丙，所给的糖的块数等于乙、丙原来各自的糖块数；依同样的方法再由乙给甲、丙现有的糖块数；后由丙给甲、乙现有的糖块数，互相赠送后，每人恰好各有糖64块，问三人原来各有糖多少块?(天津市竞赛题)10296545232--y x 1++y xB 级1．定义新运算“▽”如下：ｘ▽ｙ＝ａｘ＋ｂｙ＋ｃ(ａ，b ，C 为常数)，其中∣▽∣＝2，2▽2＝1，则2003▽2003的值为_______．(河南省竞赛题)2．《数理天地》(初中版)月刊，全年12期，每期定价2.5元，某中学初一年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元，若订全年的改订半年，订半年的改订全年时，则共需订费1245元，则该中学初一年级订阅《数理天地》的学生共有_______人．(“希望杯”邀请赛试题)3．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机_______台．(全国初中数学联赛试题) 4．购买五种数学用品A 、A 、A 、A 、A 的件数和用钱总数列成下表则五种数学用品各买一件共需______元．5．买20枝铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39枝铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元，则买5枝铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )．(第十五届江苏省竞赛题)(A )20元 (B )25元 (C )30元 (D )35元6．在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是( )． (A )28 (B )27 (C )26 (D )25(“希望杯”邀请赛试题)7．已知4x —3y —6z ＝0，x +2y －7x ＝0，(xyx ≠0)，则的值为( )． (安徽省竞赛题)(A )(B )－ (C )1 (D )—1 8．某赛季足球比赛的计分规则是胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分，一足球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有( )． (A )3种 (B )4种 (C )5种 (D )6种(全国高考题)9．在车站开始检票时，有a (a >0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?1234522222275632z y x z y x ++++2121(广州市中考题)10．某一次考试共需做20个小题，做对一个小题得8分，做错一个扣5分，不做的得0分，某学生共得13分，问这个学生没做的题有多少个?(湖北省荆州市竞赛题)11．编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A 中有多少个弹球? (第十六届江苏省竞赛题)4141。
中考必考知识点： 一次方程(组)的实际应用
3x 12 y=24
C.
x
2
y
B.
x y=24 3x 4 12
y
D.
y 2x 3x 12
y=24
课标要求
要点归纳
即时练
即时练3 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至
齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何
日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到
课标要求
要点归纳
即时练
图1
(6)工程问题：总工作量未定时，可设总工作量为单位1.
①总工作量＝工作效率×工作时间；②总工作量＝各单位工作量之和；
③工作效率＝
1 工作天数
.
(7)行程问题(匀速运动)：基本关系式s＝v·t.
①相遇问题(同时出发)：如图1，s甲＋s乙＝ sAB ，t甲＝t乙；
课标要求
图1
长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲、乙经过多少日相
逢？设甲、乙经过x日相逢，可列方程为
（ B）
A. 7 5 1 x2 x
C. 7 5 1 x2 x
B. x 2 x 1 75
D. x 2 x 1 75
课标要求
要点归纳
即时练
即时练4 (人教七上P106练习第1题改编)某商店有两种书包，每个小书包比 大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同．其中，每个小书 包的利润率为30%，每个大书包的利润率为20%.设每个小书包的进 价为x元，则可列方程为： 30%x＝20%(x＋10) ．
即时练5 某出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付 7元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收2元(不足1千米按1 千米计). 小王乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则小王 的乘车路程为 9 千米．(取整数)
一元一次方程在实际问题中的应用有哪些？
一元一次方程在实际问题中的应用有哪些？
一元一次方程是数学中的基础概念，广泛应用于现实世界的各
个领域。
以下是一些一元一次方程在实际问题中的应用例子：
1.财务管理：一元一次方程可以用来解决财务管理中的各种问题。
例如，可以使用一元一次方程来计算公司的总收入，总成本或
每个单位的成本。
2.回路电路：在电路中，电流的分布可以通过解决一元一次方
程组来计算。
这对于设计和分析电路以及解决电路问题非常有用。
3.商业应用：一元一次方程可以帮助解决商业中的许多问题。
例如，可以使用一元一次方程来计算利润率，销售量或价格。
4.比例问题：比例问题可以通过建立和解决一元一次方程来解决。
这包括了许多实际生活中的问题，如比较价格，规模相似性和
相关变量之间的关系。
5.运动问题：一元一次方程也可以用来解决运动问题。
例如，可以通过一元一次方程来计算物体的速度，加速度或位移。
一元一次方程在实际问题中的应用非常广泛。
通过了解如何运用一元一次方程解决问题，我们可以更好地理解数学的实际应用意义，并应用到我们生活和学习的各个领域中。
一元一次方程组的解法与应用
一元一次方程组的解法与应用一元一次方程组是指由两个或多个一元一次方程组成的数学问题。
解决一元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数学中的基本概念和方法。
本文将介绍一元一次方程组的解法以及其应用。
一、一元一次方程组的解法一元一次方程组由两个或多个形如ax + b = 0的方程组成。
解决这类方程组可以通过以下两种方法：1.1 相消法相消法是求解一元一次方程组的常见方法。
通过相消法，我们可以将其中一个方程中的一个未知数消去，从而得到只含有一个未知数的方程，然后通过解这个一元一次方程求得未知数的解。
例如，考虑以下一元一次方程组：3x + 5y = 82x + 3y = 5我们可以通过相消法消去y这个未知数，得到一个只含有x的方程。
具体操作如下所示：2(3x + 5y) - 3(2x + 3y) = 2 * 8 - 3 * 56x + 10y - 6x - 9y = 16 - 15y = 1将y = 1代入第一个方程中，可以求出x的值：3x + 5 * 1 = 83x + 5 = 83x = 3x = 1因此，该一元一次方程组的解为x = 1，y = 1。
1.2 代入法代入法是另一种常用的求解一元一次方程组的方法。
通过代入法，我们可以先将其中一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将这个函数代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
以前述的一元一次方程组为例，我们可以使用代入法求解。
具体步骤如下：将第一个方程解为x的函数： x = (8 - 5y) / 3将这个函数代入第二个方程中：2[(8 - 5y) / 3] + 3y = 5通过化简和解一元一次方程，可以得到y的值：16 - 10y + 9y = 15-y = -1y = 1将y = 1代入第一个方程，可以求得x的值：x = (8 - 5 * 1) / 3x = 1因此，该一元一次方程组的解为x = 1，y = 1。
中考数学复习----一次方程(组)应用典型例题与考点归纳
中考数学复习----一次方程（组）应用典型例题与考点归纳典型例题讲解1.（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A 种茶30盒，B 种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B 种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A 、B 两种茶每盒的价格．【答案】A 种茶每盒100元，B 种茶每盒150元【分析】设第一次购进A 种茶每盒x 元，B 种茶每盒y 元，根据第一次购进了A 种茶30盒，B 种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B 种茶15盒，共花费5100元列出方程组求解即可．【详解】解：设第一次购进A 种茶每盒x 元，B 种茶每盒y 元，根据题意，得30206000,1.220 1.2155100.x y x y +=⎧⎨⨯+⨯=⎩解，得100,150.x y =⎧⎨=⎩∴A 种茶每盒100元，B 种茶每盒150元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确设出未知数列出方程组求解是解题的关键．2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？【答案】240千米【分析】平常速度行驶了12的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是x 千米，则平时每小时行驶4x 千米，减速后每小时行驶204x ⎛⎫− ⎪⎝⎭千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时， 则可得：232044x x x ⎛⎫⨯+−= ⎪⎝⎭，解得：240x =， 答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量关系，列出方程正确求解是解题的关键．3.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a%4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a ．求a 的值． 【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a 的值为8．【分析】（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x 、y 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x 、y 元，根据题意列方程组得，3231433x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得，75x y =⎧⎨=⎩， 答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）根据题意得，535450072500(1%)5(1%)(4500725005)(1%)2411a a a ⨯++⨯−=⨯+⨯+， 解得，10a =（舍去），28a =，答：a 的值为8．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．4.（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a ，x 的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值（用含a 的代数式表示），再将其代入1.43x 1.1a 中即可求出结论． 【解析】（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a ﹣x ）元．故答案为：1.04（a ﹣x ）．（2）依题意，得：1.1a ＝1.43x+1.04（a ﹣x ），解得：x =213，∴1.43x1.1a =1.43⋅213a1.1a =0.22a1.1a =0.2．答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．5.（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【分析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【解析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，依题意，得：{2x +3y =19x +7y =26， 解得：{x =5y =3． 答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．（2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）．∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．6.（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A 品种的售价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a 的值．【分析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；根据题意列方程组即可得到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论．【解析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；根据题意得，{y −x =10010×2.4(x +y)=21600， 解得：{x =400y =500， 答：A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+209a%）， 解得：a ＝10，答：a 的值为10． 一次方（组）程应用考点归纳1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．。
专题23 一次方程组的应用（含答案）
专题23 一次方程组的应用知识解读1.解符合实际在用一次方程组解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.2.分类讨论有些问题需要根据题意分为若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合.3.设而不求当题目中的量比较多，仅设一两个未知数难以求解时，恰当地增设未知数，设而不求，联系转化，可使问题化难为易.4.整体求解在题目所给的条件无法求出每一个未知量时，通常要将题目最终所求的看成一个整体，利用已知条件进行恰当的变形求出这个整体。
培优学案典例示范1.解符合实际例1 在一个赛季篮球联赛中，每只球队都要比赛38场，比赛规则：胜一场积2分，输一场积1分.小明一直在关注比赛，他发现有一个球队的胜场积分等于它的负场积分.你认为小明的发现是对还是错？【提示】假设小明的发现正确，不妨设这个球队胜了x场，负了y场.列出方程组并求出x，y的值，看看它们的值是否符合实际情况.【解答】【技巧点评】在用一次方程组解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符根据一家商店的账目记录，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元.这个记录是否有误？如果有误，请说明你认为它有误的理由.2.分类讨论例2 已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市某中学计划将100500元全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出不同的购买方案供该校选择，并说明理由.【提示】应分三种情况讨论：只购进A，B两种型号的电脑；只购进A，C两种型号的电脑；只购进B，C两种型号的电脑.【解答】【技巧点评】…本题只提出购进两种不同型号的电脑，没有确定是哪两种型号，因此要分类讨论。
跟踪训练2某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张.已知体彩中心有A，B，C三种不同价格的彩票，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元.（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若销售A种彩票一张获手续费0.2元，B种彩票一张获手续0.3元，C种彩票一张获手续费0.5元。
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三．一次方程组的应用
1.某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有多少人？
2.人在周长是400米的环形跑道上散步.若两人从同地同时背道而行，则经过2分钟就相遇.若两人从同地同时同向而行，则经过20分钟后两人相遇.已知甲的速度较快，求二人散步时的速度.
3.的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，求三种球各有多少个？
4.一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？
6.一只船发现漏水时，已进了一些水，现水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时可淘完，5人淘水8小时淘完，如果2小时淘完水，需要多少人淘水.
7.有一片牧场，草每天都在均匀地生长(草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量相等：
(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
(2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
(1987年部分省市初中数学通讯赛试题)
8.小明买5个练习本和3个笔记本共付4元9角，若买3个练习本比2个笔记本便宜1角，那么练习本和笔记本的单价各是多少元？
13.某船顺流下行36千米用3小时，逆流上行24千米3小时，求水流速度和船在静水中的速度。
9.某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这场足球比赛中，雏鹰队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，问该队胜几场？
10.某公司向工商银行申请了甲、乙两笔贷款，共计68万元，每年需付利息8.42万元，甲贷款每年的年利率为12%，乙贷款每年利率是13%，求这两笔贷款各多少？
11.李明以两种形式分别储蓄2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得锐后可得利息43.92元，已知这两种储蓄利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（利息税=利息×20%）。
12.据《新华日报》消息，巴西医生马廷恩经过10年苦心研究后得出结论：卷入腐败行为的人容易得癌症，心肌梗塞，过敏症，脑溢血，心脏病，如果将犯有贪污，受贿罪的580名官员与600名守法官员进行比较，可发现，后都的健康人数比前者的健康人数多272人，两者患病（致死）者共444人，试问犯有贪污、受贿罪的官员与廉洁官员的健康人数各占百分之几？
13.若要利用截面为48平方毫米的圆钢锻造成长、宽、高分别为5毫米、10毫米、15毫米的长方体钢坯，需要这种圆钢长多少毫米。
14．一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走15公里早到24分钟，如果每小时走12公里，就要迟到15分钟，问原定时间是多少？他离某地多远？
15.一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要5小时30分钟，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离．
16.现有两种盐水，甲种含盐25％，乙种含盐10％，现在要配制含盐15％的盐水150千克，问需要取甲、乙两种盐水各多少千克？
17.现有红笔100支，蓝笔200支，现发给加A班学生每人一小袋笔，每小袋比中装有红笔2支，蓝笔5支，那么余下的蓝笔比红笔多4支，求A班学生人数。