组合数学 第4章 递推关系与母函数

4.2.2 指数母函数 §4.1 指数母函数概念
定义 4.3
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)（简记为{an}），称
函数 fe ( x) ai
i0
xi i!
为序列{an}的指数母函数。
注： fe(x)也是形式幂函数。 经常可结合以下公式运算：
e x 1 x 2 x2 ... n xn ...
4.2.1 普通母函数
例题
例2、求序列(0, 1×2×3, 2×3×4,…, n(n+1)(n+2),…)的普通母函数。
解：由牛顿二项式定理的推论1.10.4，有
1
xn
1 x n0
将上式两端同时微分两次得
2
n(n 1)xn2
(1 x)3 n2
将上式两端再微分得
6 (1 x)4
n(n 1)(n 2)xn3
1! 2!
n!
ex 1 x x2 ... (1)n xn ...
1! 2!
n!
sin x x x3 ... x2n1 ... e x e x
1! 3!
(2n 1)!
2
1
xn
1 x n0
§4.2§4母.1函指数数母的函基数本例概5 念
4.2.2 指数母函数
例题
例3、设n是整数，求序列(p(n,0), p(n,1), …, p(n,n))的指数母函数fe(x)。
an an1 2(n 1) (n 2)
a1 2
求解这个递推关系可以得到问题的解答。
§4.1 递推关§系建4.立1例递2-1推关系的建立
例题
例3、“Hanoi塔”问题：n个大小不一的圆 盘依半径的大小，从下而上的套在柱子A上。 如图所示。现要求将所有的圆盘从柱子A上 全部移到柱子C上，每次只允许从一根柱子 上转移一个圆盘到另一根柱子上，且在转移
解关：系要即求可§解。4.1这递个推问关题系§建，4立.首1例先递1-必2推须关建系立的递推建关立系，然后求解递推
设这n条直线将圆分成的区域数为an，如果有n-1条直线将圆分 成相a交n例-。1个显区题然域，，这那条么直再线加在入圆第内n条被直分线成与n条在线圆段内，的而其每他条n-线1条段直又线将 第n条直线在圆内经过的区域分成两个区域。这样，加入第n条 直线后，圆内就增加了n个区域。而对于n=0，显然有a0=1，于 是对于每个整数 n，可以建立如下带初值的递推关系
§4.1 错排问题定理5 练习
错排
如{a1,a2,…an}为{1,2,…,n}的一排列，对所有 的i，有ai≠i，称这种排列为错排Dn 。
Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)，(n≥3)
§4.1
递推关系定义
§4.1 递推关系的建立
定义 4.1
设{an}为一序列，把该序列中an和它前面几个ai (0≤i≤n-1)关联起来的方程称做一个递推关系
组合数学
主讲人：苏建忠 地址：系统生物学教研室
第4章 递推关系与母函数
本章主要介绍递推关系的建立及几种 常见的求解方法：
• 母函数法 • 常系数齐次递推关系 • 常系数非齐次递推关系
§4.1 递推关系§建4立.1例递1-1推关系的建立
例题
例1、在一个平面上有一个圆和n条直线， 这些直线中的每一条在圆内都同其他的直 线相交。如果没有多于三条的直线相交于 一点，试问这些直线将圆分成多少个不同 区域？
过程中不允许出现大圆盘放到小圆盘上。试
问至少要转移多少次才能将柱子上的n个圆 盘全部转移到柱子C上去？
§4.1 递推关§系建4.立1例递2-2推关系的建立
解：用Hn表示从一根柱子上的n个圆盘全部转移到另一根柱子 上的例转移题次数。显然，H1=1, H2=3。当n≥3时，要将柱子A上 的n个圆盘转移到柱子C上，可以这样设想。先把柱子A上的n-1
数 f ( x) ai xi 为序列{an}的普通母函数（发生、
生成函数）i 0。
注： f(x)是无穷级数，不管其收敛性； x为形式变元，f(x)为形式幂级数 ； 序列与母函数一一对应； 母函数是序列的另一表达形式； 有限序列也可用母函数表示。
§4.2 §母4.函1 普数通的母函基数本例1概念
4.2.1 普通母函数
例题
例 1 、 求 序 列 (C(n,0),C(n,1),C(n,2),…, C(n,n))的普通母函数。
解：由定义4.1及二项式定理的推论1.9.2有
f (x)
n 0
n 1
x ...
n n
xn
(1 x)n
§4.2§母4.1函普数通的母基函数本例概4 念
an an1 n (n 1)
a0 1
求解递推关系得an
n2
n 2
2
§4.1 递推关系的建立
例题
例2、在一个平面中，有n个圆两两相交， 但任二个圆不相切，任三个圆无公共点，
求这n个圆把平面分成多个区域？
解：设这n个圆将平面分成an个区域。 如图。易见 ，a1=2, a2=4。 现在假设前n-1个圆将平面分成了an-1 个区域，当加入第n个圆时，由题设 这个圆与前面的n-1个圆一定交于 2(n-1)个点，这2(n-1)个点把第n个圆 分成2(n-1)条弧，而每条弧正好将前 面的 n-1个圆分成的区域中的其经过 的每个区域分成2个区域，故新加入的第n个圆使所成的区域数 增加了2(n-1) 。因此可以建立如下带初值的递推关系：
个月起每月产一对兔子。试问第n个月后养 殖场中共有多少对兔子？
§4.1 递推关§系4建.1立递例3推-2 关系的建立
解：设第n个月时养殖场中兔子的对数为Fn。并定义F0=1， 显由然于例有在， 第题Fn个1=月1。时，除了有第n-1个月时养殖场中的全部兔子 Fn-1外，还应该有Fn-2对新兔子，这是因为在第n-2个月就已 经有的每对兔子，在第n个月里都应生一对新的兔子。因此 可以建立如下带初值的递推关系
Hn 2Hn1 1 (n 2) H1 1
求递3-1推关系的建立
例题
例4、“Fibonacci兔子问题”也是组合数学 中的著名问题之一。这个问题是指：从某
一年某一月开始，把雌雄各一的一对兔子
放入养殖场中，从第二个月雌兔每月产雌
雄各一的一对新兔。每对新兔也是从第二
（递归关系）。
如错排数Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)，(n≥3) 和关系式an=3an-1，(n≥1)都是递推关系。
如a0=d0 , a1=d1,…, ak=dk，di为常数(i=0,1,…,k)，称为递推 关系的初值。
如D1=0, D2=1作为初值即可惟一的确定序列(D0,D1,…, Dn,…)，a0=1作为初值即可惟一的确定序列(1,3,32,…,3n,…)。
解：由定义4.2及公式P(n,r)=r!C(n,r),以及例1的
结论，有
fe ( x)
p(n, 0)
p(n,1) x ... 1!
p(n, n)
xn n!
n 0
n 1
x ...
n n
xn
(1 x)n
§4.2§4母.1函指数数母的函基数本例概7 念
4.2.2 指数母函数
例题
Fn Fn1 Fn2 (n 2)
F0 1, F1 1 求解上式可以得到我们所需的答案。 注：利用该式我们可以推得
(F0,F1,…,Fn,…)=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…) 常称Fn为Fibonacci数， (F0,F1,…,Fn,…)为Fibonacci数列。 Fibonacci数列在数学中是一个奇特而又常见的序列，它在算 法分析中起着重要的作用。具体性质以后讨论。
个圆盘转移到柱子B上，这需要转移Hn-1次；然后把柱子A上最 后一个圆盘转移到柱子C上，显然这需要转移一次；最后再把
柱子B上的n-1个圆盘转移到柱子C上，这也需要转移Hn-1次。 经过这些步骤后，所有A上的n个圆盘就全部转移到柱子C上。
由加法法则，这一共转移了2Hn-1+1次。于是可以建立如下带初
值的递推关系
例4、求序列{1,α,α2,…,αn,…}的指数母函数 fe(x)。其中α是实数。
解：由定义4.2，有
fe ( x)
1
x 2
1!
x2 2!
... n
xn n!
...
e x
特别地：若 =1，则序列(1,1,…,1,…)的指数母函数为ex 。
n3
两边同乘以x得
6x (1 x)4
n(n 1)(n 2)xn
n0
0 1 2 3x 2 3 4 x2 ... n(n 1)(n 2)xn ...
因此
f
(
x)
(1
6x x)4
是序列(0，1
2
3，2
3
4,
...,
n(n
1)(n
2),
...)
的普通母函数。
§4.2 母函数的基本概念
将递推关系和初值结合起来称为带初值的递推关系。如
Dn (n 1)(Dn1 Dn2 )
D1 0, D2 1
(n 3),
an 3an1 a0 1
(n 1)
§4.2 普通§母函4.数2概母念函数的基本概念
4.2.1 普通母函数
定义 4.2
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)(简记为{an})，称函