第二章母函数与递推关系习题
递推关系与母函数法
递推关系与母函数法1.2 递推关系Hanoi塔问题：这是组合数学中的著名问题。
n个圆盘依其半径大小，从下而上套在柱A上，如图1.1所示。
每次只允许取一个转移到柱B或柱C上，而且不允许大盘放在小盘上方。
若要求把柱A上的n个盘转移到柱C上，请设计一种方法，并估计要移动几个盘次，现在只有A，B，C三根柱子可供使用。
设a,b,c是3个塔座。
开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。
各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a 上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。
在移动圆盘时应遵守以下移动规则：规则1：每次只能移动1个圆盘；规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。
图1.1Hanoi塔是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，即估计工作量。
这一问题有典型的意义，第一步先解决算法问题，即如何完成n个盘的搬动，进一步还要对算法作出复杂性分析，即对要作多少盘次的搬动进行估计。
算法设计：n=时，第一步先把最上面一个圆盘套在柱B上；第二步把第二个圆盘转2移到柱C上；最后再把柱B上的一个圆盘转移到柱C上，到此转移完毕。
假定1n-个盘子的转移算法已经确定。
对于一般n个圆盘的问题，先把上面的1n-个圆盘转称到柱B上，再把最后一上圆盘转移到柱C上，然后把柱B上的1n-个圆盘转移到柱C上，转移完毕。
上述的算法是递归的连用。
2n=时，第一步便利用n=时已给出了算法；3算法把上面两个圆盘移到柱B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上的两个圆盘转移到柱C上，4,5,,n= 以此类推。
图1.1形象地给出4n=的转移过程。
void hanoi (int n, int a, int b, int c) {if (n > 0) {hanoi (n-1, a, c, b); move (a,b);hanoi (n-1, c, b, a); } }算法分析：令n h 表示n 个圆盘所需要的转移盘次。
组合2母函数递推关系
TP SHUAI
16
2.1 递推关系-线性常系数递推关系
定义1 如果序列{an}满足
a n C1a n 1 C 2a n 2 C k a n k b(n), a 0 d 0 ,a1 d1,,a k 1 d k 1, C1 ,C2 ,...C k (C k 0),d 0 ,d1,d k 1是常数
组合数学
帅天平
北京邮电大学数学系 Email: tpshuai@
第二章:递推关系与母函数
1,递推关系引入，Fibonacci数列 2,常系数递推关系求解 3,母函数及其性质 4,用母函数求解递推关系 5,母函数的应用-整数剖分 6指数型母函数及其应用 7,非线性递推关系举例--几类特殊组合数
t t 2 ... t 6 枚举子
TP SHUAI
26
2.2 母函数-引入6
母函数的思想很简单— 即:把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数 列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关 系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. 再看下面的例子.
(1 a 1 x )(1 a 2 x ) (1 anx ) 1 (a 1 a 2 an ) x (a 1a 2 a 1a 3 an 1an ) x 2 a 1a 2 anx n (2-1-1)
) F2 n1 F2 n F2 n2
F1 F3 F5 F2 n1 F2 n
TP SHUAI 13
2.1 递推关系-Fibonacci数列10
3)
证明：
F 2 F22 Fn 2 Fn Fn 1 1
母函数与递推关系习题
母函数与递推关系习题1、 有n 阶台阶，一人从下往上走，每次走一或两级，求他走这n 级台阶的方法数。
2、 {1,2,3,}n S n = 的一个子集为交替的：如果按递增次序列出该子集的元素时，它们的奇偶性为：奇、偶、奇、偶、 。
空集也算作交替的。
求n S 的交替自己的树木。
3、 某人有n 元钱，他一天买一样东西，或一元钱的甲、或二元钱的乙、或二元钱的丙，问他用完这n 元钱有多少种方法？4、 求{,,}S a b c =∞⋅的n 排列数，要求在排列中a 与a 不相邻。
5、 设40nn i a i ==∑，0n ≥，求n a 。
6、 求1003102-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
7、 平面上有n 条直线，其中任意两条都相交于一点，但没有三条相交于同一点，求这n 条直线将平面分成的区域数。
8、 空间中有n 个平面，其中任意两个都有唯一交线，任意三个都有唯一一个交点，但没有四个相交于同一点。
求这n 个平面将空间分成的区域数。
9、 在平面上画一个圆，然后再依次画n 条与圆都相交的直线，其中当k 是大于1的奇数时，第k 条直线只与前面(1)k -条直线中的一条在圆内相交，当k 是偶数时，第k 条直线与前面(1)k -条直线都在圆内相交，又没有三条直线在圆内相交于同一点。
求这n 直线将圆分成的区域数。
10、求{1,2,3}S =∞⋅的k 排列的个数，要求在排列中同一元素至多连续出现两次。
11、 将一个凸(1)n +边形用它的对角线划分成三角形，要求所用的对角现在多边形内部无交点，求划分的方法数。
12、 设一克、三克、七克重的砝码分别有1枚、3枚、2枚。
问用这些砝码能称出哪些重量？称每一重量又各有几种方案？13、 有两种拆分：（1）1{1,12,3,14,}S =∞⋅⋅∞⋅⋅ ；（2）23{1,2,3,}S =⋅ 。
证明对同一正整数n ，这两种拆分的拆分数相等。
14、证明：周长为2n ，边长为整数的三角形的个数等于将n 拆分成恰好三项的拆分数。
二章六节非线性递推关系举例
8. S(n,n 1) C(n,2)
把n个有标志的球放进n-1个相同的盒子中， 因为必须保证每个盒子中都有球，因此只有1个 盒子中有2个球，问题就是求两个球的组合数， 因此有C(n,2)种方案。
15
2.14.1 司特林(Stirling)数
9. S(n,n 2 ) C(n,3) 3C(n,4)
可分为空m-1盒，m-2盒，…，空1盒，都不空。
S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,m),n≥m S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,n),n≤m。
22
2.14.1 司特林(Stirling)数
5、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，允许空盒，方案数情况？
有C(m+n-1,n)。
6、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，不允许空盒，方案数情况？
例如：1,2,3,4分成两两2组的方案。 {(1,2),(3,4)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)}
16
2.14.1 司特林(Stirling)数
定理2.15 第二类司特林数满足下面的递推关系：
S(n,m) mS(n 1,m) S(n 1,m 1), n 1,m 1
证明：设有n个有区别的球b1,b2,…,bn,对于其 中的某一个球bi, 根据bi的情况分为两类：
1、 bi独占一盒，其方案为S(n-1,m-1) 个球放2到、mb个i不盒独子占，一不盒允，许这空相盒当，于共先有将S剩(n下-1,的m)n种-1 不同方案，
bi球不然独后占将一b盒i球的放方进案其数中为一m盒S，(n共-1,有m)m种选择方式。
6. S(n,2 ) 2n1 1; 7. S(n,3 ) 1 (3n1 1) 2n1;
卢开澄组合数学--组合数学第二章
第二章 母函数与递推关系
§2.1 母函数
递推关系是计数的一个强有力的工具， 特别是在做算法分析时是必需的。递推关 系的求解主要是利用母函数。当然母函数 尚有其他用处，但这主要是介绍解递推关 系上的应用。例如
(1 a1x)(1 a2x) (1 anx)
1 (a1 a2 an)x (a1a2 a1a3 an 12.2 递推关系
上述算法是递归的运用。n=2时已给出 算法；n=3时，第一步便利用算法把上面 两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转 移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到 柱C上。N=4，5，…以此类推。
§2.2 递推关系
算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要 的转移盘次。根据算法先把前面n-1个盘子 转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最 后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。
§2.2 递推关系
(1 8x) A(x) 8 9x 9 10x2
个5的n位十进制数的两个组成部分。
p91apn21表达p，n由1令含有取偶p5n以数外个的5的0，n-11，位2十，进3制，数4，6，
7当，8，9p九1是p个2含数有p中n奇的1数一个个5数的构n-成1位的十。进制b项n数表1 ，示 令 而得pn 5 是含p1偶p2数个p5n 的n位十进
制数。
bn 9bn1 an1也有类似解释。
n2n1
(2 -1- 5)
等式(2-1-5)两端令x=1，得：
C(n,1) 2C(n,2) 3C(n,3) nC(n, n)
n2n1
(2 -1- 5)
§2.1 母函数
用类似的方法还可以得到：
C(n,1)x 2C(n,2)x2 3C(n,3)x3 nC(n, n)xn nx(1 x)n1
习题1排列组合-2母函数
习题11、 基本题：1～9，14，16，19，22～23，29，312、 加强题：11～12，17，18，21，283、 关联题：10，27，4、 提高题：13，15，20，24～26，30，321-1 在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（解）问题相当于求在相异元素{}9,7,5,3,1中不重复地取1个、2个、…、4个元素的所有排列数，答案为45352515P P P P +++＝5+20+60+120＝2051-2 比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？(1) 每位的数字全不同；(2) 每位数字不同且不出现数字2与7。
（解）（1）分类统计：①一位正整数有919=P 个；②两位正整数有1919P P ⨯＝81个；③三位正整数有2919P P ⨯＝9×9×8＝648个；④千位数小于5的四位数有3914P P ⨯＝4×9×8×7＝2016个；⑤千位数等于5，百位数小于4的数有28141P P ⨯⨯＝4×8×7＝224个。
由乘法法则，满足条件的数的总个数为9＋81＋648＋2016＋224＝2978（2）仿（1），总个数为17P ＋1717P P ⨯＋2717P P ⨯＋3713P P ⨯＋26131P P ⨯⨯＝7＋49＋294＋630＋150＝11301-3 一教室有两排，每排8个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
（解）（1）5人在前排就座，其坐法数为 ()58,P ，4人在后排就座，其坐法数为 ()48,P ，还空7个坐位，让剩下的54514=--个人入坐，就座方式为 ()57,P 种，由乘法法则，就座方式总数为()58,P ()48,P ()57,P ＝28 449 792 000 （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。
图论与组合数学期末复习题含答案
组合数学部分第1章 排列与组合例1：1)、求小于10000的含1的正整数的个数；2、)求小于10000的含0的正整数的个数；解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套用。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。
不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。
例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。
例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个内点值则记入序列。
如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。
2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：112223344567。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
组合数学第二章习题解答
1+ x G(x) = (1− x)4
2.13已知
an = ∑k ,
3 k=1
n+1
1+4x+ x2 ∞ =∑ n+1 3 xn ( ) 4 (1−x) n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+(1+23)x+(1+23 +33)x2 +...+(1+23 +...+(n+1)3)xn +... G(x) =(1+ x+ x2 +...) +23 x(1+ x+ x2 +...) +...(n+1)3 xn(1+ x+ x2 +...) +...
2.25 分母展开求出an的递推关系，再求出bn的递推关系 将分母展开(1-x)(1+x-x2)=1-2x2+x3 因此an满足递推关系：an-2an-2+an-3=0,a0=4,a1=-3 an-an-1+an-1-an-2-an-2+an-3 = bn+bn-1-bn-2=0 b0=4,b1=-7,母函数为：
b +(b +b )x 0 1 0 4−3x = 1+ x − x2 1+ x − x2
G x) = (
2.26 逐项展开，两边合并。
2.27 求下列递推关系的一般解
(a)an-4an-1=5n
a −4 n−1 −5 n−1 +2 a −2 = 0 a a 0 n n a −9 n−1 +2 a −2 = 0 a 0 n n 特 方 的 为和 征 程 解 4 5 一 解 : r 4n +r 5n 般 为 1 2
母函数与递推关系
归纳法 计算这个数列前几项:
1, 3, 7, 15, 31, … 看起来有点象
hn=2n-1, n=1,2,… 根据递归关系(3.3)用归纳法即可证之.
8
例2 (Fibonacci问题): Fibonacci数列是递推关系的又一典型
问题, 数列的本身有着许多应用. (1) 问题的提出：假定初生的一对雌雄兔
14
母函数把数列的所有成员用一种非常 巧妙的方法联系在一起, 虽然这样做并 不一定能得到数列的简单公式, 可是也 许能够给出一个幂级数和的简单公式, 展开这个和函数, 所得到的幂级数的系 数就是我们所要找的数列.
比如我们学习到的Fibonacci 数列, 它 满足一个递归关系
Fn+1=Fn+Fn-1 (n>2; F1=F2=1).
《图论与组合优化》
第四讲
母函数与递归关系
1
例1(Hanoi塔问题)：n个圆盘依其半径大 小, 从下而上套在柱A上, 如图3.1所示. 每次只允许取一个转移到柱B或C上, 而且不允许大盘放在小盘上方. 若要求 把A上的n个盘转移到C柱上. 请设计一 种方法, 并估计要移动几个盘次. 现在 只有A, B, C三根柱子可供使用.
子, 从出生的第2个月之后每个月都可 以生出另外一对雌雄兔. 如果第1个月 只有一对初生的雌雄兔子, 问n个月之 后共有多少对兔子？
9
1月 2月 3月 4月
10
(2) 求递推关系: 设满n个月时兔子对数 为Fn, 其中当月新生兔数目设为Nn对. 第n-1个月留下的兔子数目设为Qn对. Fn= Nn+ Qn.
6
(2) 算法分析：令hn表示n个圆盘所需要 的转移次数. 根据算法先把前面n-1个 盘子转移到B上; 然后把第n个盘子转 移到C上; 最后再一次将B上的n-1个盘 子转到C上.
组合数学讲义及答案 2章 母函数
x1 x 1 x 3
1 x
6x
4
1 x
ex
-ln(1- a x)
《组合数学》
第二章
母函数
ak ak
k 1 ＝ 2k ! k 1 ＝
cos x
ak ＝
2k 1!
1k
1 sin x x
2k 1
1 arctan x x
n
n r r r 2 x r 0
n
n r 即不同的取法共有 a r r 2 种。 n 由于每类元素最多只能出现一次， 故 G(x)＝ 1 2 x 中不能
有 x 2 项，再由同双的两只鞋子有区别知，x 的系数应为 2。 解法二：用排列组合。先从 n 双鞋中选取 r 双，共有 r 种 r 选法，再从此 r 双中每双抽取一只，有 2 种取法，由乘法原理， 即得结果同上。 解法三： 仍用排列组合。 先取出 k 只左脚的鞋， 再在其余 n k
r 组合数为 x r 之系数 C n 。
r
(2.1.2)
为
推论2 S e1 , e2 ,, en ，则 r 无限可重组合的母函数
j 1 G(x)＝ x 1 x n j0
3/49
n
(2.1.3)
《组合数学》
第二章
母函数
5 i 6 i 7 i 10 i G1(x)＝ x x x x i 0 i 0 i 0 i 0 4 28 ＝ 1 4 x 35 x x
与
6/49
《组合数学》
第二章
母函数
0 , 当r n为奇数 ar rn r n , 当r n为偶数 C n 2 1 , 2
卢开澄《组合数学》习题答案第二章
2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B AG （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
组合数学第二章母函数与递推关系习题解答剖析
II 当n为奇数时
由I的讨论知， ar 比ar3 多了a+b-c=1
的三角形。
而这种三角形可知
a b n1 2
当 n 1 能被2整除时，这种三角形有 n 1
个2
2
当 n 1 不能被2整除时，这种三角形有
2 n 1 个
2
n1
an
an3
n (1) 4
2
(2)
n1
n1
an
an3
[ n (1) 8
x10系数即为所求。
4. 题目 解：A、B、C、D组成的全排列数为
P (1 x x2 )4 1! 2!
e4x
出现A后，其后续字母必为A、B、C、D
中的一个，其概率相等。
P
(1
x
)3
[1
3
x
(
3 4
x)2
]
1!
4
2!
e3x
3x
e4
15 x
e4
AB至少出现一次的排列为
P
P
P
e4x
特征方程为 x2 x 1 0
x1
1 2
5,
x2
1 2
5
设 Ax1n Bx2n
代入得
A
B
5 5
3
10 3
5 5
10
an
53 10
5 (1 2
5)n 5 3 10
5 (1 2
5)n
20. 题目 解：
设所求为 an
则 an (n 1)an1 (n 1)an2
21. 题目 解：
x
2
1 x 6
ln(G ( x))
ln
母函数与递推关系
2 3 4 5 6 7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为 f ( x ) [1 x x 2 ][1 x 2 ( x 2 )2 ( x 2 )3 ] 1 1 1 x 1 x2 1 (1 x )(1 x ) 2
1 2
1 (a b c ) x ( a ab ac b bc c ) x
2 3 2 2 2 2 2 2 2
( a a b ab a c ac abc b b c bc c ) x ...
3 2 2 3 3
母函数与递推关系
母函数与递推关系
算法复杂度为：
h(n) 2h(n 1) 1, h(1) 1
2 3
(*)
H ( x ) h(1) x h(2) x h(3) x ,(**) H(x)是序列 h(1), h(2), h(3), 的母函数。给
定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也 一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而 知了。当然，利用递推关系(*)式也可以依次求 得 h(2), h(3), ，这样的连锁反应关系，叫做递 推关系。
所以
5 4 1 an , n 1, 2,... 4
n n
母函数与递推关系
§2 递推关系
定义：设(a0,a1,…,an,…)是一个序列，把该序列 中 an 与它前面几个ai(0≤i<n)关联起来的方程称 为递推关系。序列中的一些已知条件称为初始 条件。 例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
组合数学 第2章习题解答
( a )G
2
= (1 − x )
−4
= ∑ C ( n + 3,3) x n
n=0
∞
2.4 已知母函数 1 − x − 56 x 2，求对应的序列
注意到 1－x-56x2=(1-8x)(1+7x)， 用A/(1-8x)+B/(1+7x)的分子等于3-9x 待定A，B的方程组为： A + B = 3 7 A − 8 B = −9 解出A＝1，B＝2 G(x)=1/(1-8x)+2/(1+7x) 利用基本母函数1/(1-x) an=8n-7n
• 解：G(x)=/Sum{0,n}(anxn) • 参考p61，例2－13，2－14， • 参考p111， 例2－63
2.48有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个， 问从中取出10个球，试问有多少种不同的取法？ 用指数型母函数，可得母函数 x x2 4 x x 2 x3 3 G ( x) = (1 + + ) ⋅ (1 + + + ) 1! 2! 1! 2! 3!
• 用多项式除法，解出a0，a1均为1
1− x + x
2
1 1
1 1 −x x2
2
• P68 x −x • 将(1-x+x2)分解因子，转化为基本母函数.引 用P59，定理2－1. 并参考p56例子2－11. • 这个题目整体都做的不错
2.18（1）课练，用母函数法求 an-6an-1+8an-2=0
注：这个题目中有同学使用的符号 n指代比较 混乱。虽然最后结果对，但过程中未体现出逻 辑的连贯性。 也有同学用积分和求导渐次推理得到正确结论。 十分可贵。不过有的人在最后写有一个 m次方， 令人困惑
2章母函数
（1）定义
定义2.1.1对于数列 ，称无穷级数 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例
例2.1.1有限数列C(n,r)，r＝0,1,2,…,n的普母函数是 。
例2.1.2无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是
（3）说明
● 可以为有限个或无限个；
●数列 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；
所以C(x)＝A(x)B(x)
2.3
回顾：普通型母函数较好地解决了各种组合的计数问题。
分析：组合数数列的母函数在解决计数问题和证明组合恒等式时之所以成为一个有力工具，究其原因，是因为它具有有限封闭形式。
启发：对排列问题也采用母函数方式。尤其是n个不尽相异元素中取r个的排列问题。
困难：对于排列数数列{P(n，r)}，若采用普通型母函数，则使用起来十分不便。这是因为它不能表为初等函数形式的缘故。
推论3 ，每个元素至少取一个，则r可重组合（r≥n）的母函数为
G(x)＝ (2.1.4)
组合数为xr之系数C(r-1,n-1)。
推论4 ，每个元素出现非负偶数次，则r可重组合的母函数为
G(x)＝ (2.1.5)
组合数为xr之系数
推论5 ，每个元素出现奇数次，则r可重组合的母函数为
G(x)＝ (2.1.6)
改进：观察n集的r无重排列数和r无重组合数之间有如下关系：
C(n，r)＝
从而有
(1＋x)n＝ ＝
总结：在(1＋x)n的展开式中，项 的系数恰好是排列数。由此受到启发，排列数数列的母函数应该采用形如 的幂级数为好。由于这种类型的幂级数很象指数函数 的展开式，故取名为指数型母函数。
解 （1）分析：本问题即组合问题：从集合 中可重复地选取n个元素，但要求 与 的个数一样多，求不同的选取方案数。
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2
2
2
2
2
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4
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1 1 Fn 1 1 0 Fn
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n
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Sn Sn
解：...
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n
Sn
k 0
k (k 2),
n
k 0
k (k 1)(k 2).
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（b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
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解：...
8.证明
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解：...
1 1 1 9.利用 2 2 2 ， 1 2 3 6 改善 §4(2) 的 pn估计式。
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解：...
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4 4 4 4
解：...
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1 . 0 2
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解：...
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C (n, n), C (n 1, n), C (n 2, n),