第7章 递推关系和生成函数

• 定理7.1.2 沿Pascal三角形左下到右上 对角线上的二项式系数的和是 Fibonacci数
7.2 线性齐次递推关系
• 数列h0,h1,h2,…,hn,… • hn=a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k+bn (n≥k) • 错排数列Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1) (n ≥2) Dn=nDn-1+(-1)n (n ≥1)
7.4 生成函数（母函数）
母函数就象一根晒衣绳, 我们把需要 得到的一列数就挂在它上面. 假定我们的问题的解是一列数: a0,a1,a2,,an, . 我们想知道这个数 列是什么, 我们期望得到怎样的答案? 当然, 最好的答案就是关于an的一个 简单的公式. 比如诸如an=n2+3之类的 表达式. 即, 通项公式.
2
.
这与把它们看成普通函数的运算是一致的.
• 例16：令k是一个整数，并令序列 h0,h1,h2,…,hn,…使hn等于e1+e2+…+ek=n的非 负整数解的个数。 • 例17：确定苹果、香蕉、橘子和梨的n组合 的个数，其中在每个n组合中苹果的个数是 偶数，香蕉的个数是奇数，橘子的个数在0 和4之间，而且至少要有一个梨。 • 例18：确定可以由苹果、香蕉、橘子和梨 袋装水果的袋数hn，其中在每个袋子中苹 果数是偶数，香蕉数是5的倍数，橘子数最 多是4个，梨的个数为0或1。
7.3 非齐次递推关系
例9 (Hanoi塔问题)：n个圆盘依其半径 大小, 从下而上套在柱A上, 如图3.1所 示. 每次只允许取一个转移到柱B或C 上, 而且不允许大盘放在小盘上方. 若 要求把A上的n个盘转移到C柱上. 请设 计一种方法, 并估计要移动几个盘次. 现在只有A, B, C三根柱子可供使用.
• Fibonacci数列 Fn= Fn-1+ Fn-2 (n ≥2)
• 阶乘序列hn=nhn-1 (n ≥1) • 几何序列hn=qhn-1 (n ≥1)
• hn=a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k (n≥k) 其中 a1,a2,…,ak 是常系数，称为常系数线性齐次 递推关系。 • 定理7.2.1 令q为一非零数。则hn=qn是hna1hn-1-a2hn-2-…-akhn-k =0(ak≠0,n≥k) 的解，当 且仅当q是多项式方程xk-a1xk-1-a2xk-2-…ak=0的一个根。如果多项式方程有k个不同 的根q1,q2,…,qk，则hn=c1q1n+c2q2n+…+ckqkn
例14 设F(x)= 1+x+x2+, G(x)=1-x, 由定 义可以得到 F(x)G(x)=1, 因此1/G(x)= G-1(x)=F(x), 即
1 1 x 1 x x
2
这同微积分中函数1/(1-x)的幂级数展开 式是完全一致的.
例15 设
F ( x)
G( x )
n
(n 0)
• 例3：令g0,g1,g2,…,gn,…是满足下面 给出的Fibonacci数列递推关系和初始 条件：gn=gn-1+gn-2 (n≥2) g0=2,g1=-1 • 例4：确定2Xn棋盘用多米诺骨牌完美 覆盖的方法数hn。 • 例5：确定用单牌和多米诺骨牌对1Xn 棋盘完美覆盖的方法数bn。
既然在上述多项式中, xi的系数表明选 取i个球的方法, 那么 (1+ax)(1+bx)(1+cx) 所表明的是: 对a, b, c三球, 选取的方法 是, “选a或不选a”和“选b或不选b”以 及“选c或不选c”. 多项式中x的幂次表示选取球的个数, 而其相应系数表示一切可能的选取方 法.
如果我们只关心不同组合方案的数目, 不关心各种方案的罗列. 可以在(7.2)式 中令a=b=c=1, 则得到 (1+x)3 = C(3,0)+C(3,1)x +C(3,2)x2+C(3,3)x3 =1+3x+3x2+x3. (7.3) 总方案数 N=C(3,0)+C(3,1)+C(3,2)+C(3,3) =1+3+3+1=8.
(7.3)就是一个关于形式变量x的幂函数, 这个幂函数中不同幂次的系数都是一 个组合数. 这可以推广到任意n个不同球所有可能 组合的方案数情况. 这其实就是我们大 家熟悉的二项式系数. 不过现在我们是 用形式级数的观点来看问题. 利用这种形式级数不仅仅是一种不同 的表达形式, 还非常有用.
2. 母函数定义 定义7.1 利用给定序列a0,a1,a2,所构造 的函数 F(x)= a0+a1x+a2x2+ 称为序列a0, a1, a2,的母函数. 母函数定义中的级数是形式幂级数, 不 必关心收敛性, x只是一个形式变量. 有限序列 a0, a1,, an也可以定义它的 母函数. (后面添加0)
但是,
如果一个未知数列没有简单公式, 或者即便存在, 但是很复杂, 很不容易 得到, 我们也不知道, 该怎么办? 如果我们还希望研究这个数列, 讨论它 的性质, 该如何下手? 举一个极端的例子, 假定这个数列是2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …., 此处an是 第n个素数. 这样的情况, 期望任何简单 的公式都是不合理的.
A
B
C
假定n-1个盘子的转移算法已经确定. 对n个圆盘问题, 先把上面的圆盘1,2,…, n-1转移到B上, 再把最后一个盘子转移 到C上, 然后把B上的n-1个圆盘转移到 柱C上. 转移完毕. 这运用的是递归算法n=2时给出了算法; n=3时先利用n=2时的算法把圆盘1, 2移 B上; 再把圆盘3转移到柱C上;再利用 n=2时的算法把B上两个圆盘转移到柱 C上. n=4,5,以此类推.
1. 母函数概念 设有a, b, c三个不同的球, 从中选取一 个, 或选a, 或选b, 或选c, 把这些可能 的选取形象地表示为a+b+c. 类似地, 从中选取二个, 或选a和b, 或 选a和c, 或选b和c. 可形象地表示为 ab+ac+bc, 同样, 从中选取三个, 只有 一种方法, 也可形象地表示为abc.
1 1 x
1
1 x x x
2 k
1 2x
1 1 x
1 2x 2 x 2 x
2 2 k k
则(F(x)-G(x))(1-3x+2x2)=x. 这说明
1 1 2x G( x ) F ( x ) x 1 3x 2x
• 例6：求满足初始值h0=1,h1=2,h2=0的递推 关系hn=2hn-1+hn-2-2hn-3 (n≥3)的解 • 例7：只由三个字母a,b,c组成的长度为n的 一些单词将在通信信道上传输，满足条件： 传输中不得有两个a连续出现在任一单词中。 确定通信信道允许传输的单词个数。 • 例8：递推关系hn=4hn-1-4hn-2 (n≥2)的解 • 定理7.2.2 令q1,q2,…,qt为hn=a1hn-1+a2hn2+…+akhn-k (ak≠0,n≥k) 的特征方程的互异的 根。此时，如果qi是si重根，则对qi部分一 般解为Hn(i)=(c1+c2n+…+csinsi-1)qin
第7章 递推关系和生成函数7.1 Nhomakorabea一些数列
• 算术序列（等差数列） • 几何序列（等比数列） • 例1：确定平面一般位置上的n个互相 交叠的圆所形成的区域数。
例2 (Fibonacci问题):
Fibonacci数列是递推关系的又一典型 问题, 数列的本身有着许多应用. (1) 问题的提出：假定初生的一对雌雄兔 子, 从出生的第2个月之后每个月都可 以生出另外一对雌雄兔. 如果第1个月 只有一对初生的雌雄兔子, 问n个月之 后共有多少对兔子？
(3) Fibonacci数列的性质
I.
部分和Sn=f0+f1+f2+…+fn=fn+2-1
II. Fibonacci数列是偶数当且仅当n能被 3整除 III. Fibonacci数列满足公式
fn 1 1 5 2 5
n
1 1 5 2 5
3. 母函数的运算 设序列{ai}的母函数A(x)=aixi, {bi}的 母函数为B(x)= bixi. 运算定义如下: (1) 相等:A(x)=B(x){ai}={bi}ai= bi, i=1,2,… (2) 相加: A(x)+B(x)=(ai+bi) xi (3) 相减: A(x)-B(x)=(ai-bi) xi (4) 数乘: cA(x)=(cai) xi
A
B
C
1 2 3 4
图
Hanoi塔是个经典问题. 对于这个问题, 我们先要设计算法, 进而估计算法的计 算复杂性, 这里就是移动的总次数.
(1) 算法设计： n=2时, 圆盘1从A套在B上；把圆盘2从 A转移到C上；把圆盘1从B上转移到C 上. 完毕. n=3时, 把圆盘1从A转移到C上；把圆 盘2从A转移到B上；把圆盘1从C上转 移到B上; 把圆盘3从A套在C上; 把圆盘 1从B再转移到A上; 把圆盘2从B转移到 C上, 把圆盘1从A套在C上. 完毕. 看看n=3的演示过程.
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例10：解hn=3hn-1-4n (n≥1) h0=2 步骤总结
I. 求齐次关系的一般解 II. 求非齐次关系的一个特解 III. 将一般解和特解联合，按初始条件求系数
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困难在于特解的求解。 例11： hn=2hn-1+3n (n≥1) h0=2 例12：hn=3hn-1+3n (n≥1) h0=2 例13： hn=hn-1+n3 (n≥1) h0=0