利用导数研究函数零点问题
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利用导数研究函数零点问题
数形结合法研究零点问题
[典例引领]
已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；
(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围． 【解】 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ， 其定义域为(0，＋∞)， 所以F ′(x )＝2ax －2x
＝2（ax 2－1）x
(x ＞0)．
①当a ＞0时，由ax 2－1＞0，得x ＞1
a
， 由ax 2－1＜0，得0＜x ＜
1a
， 故当a ＞0时，F (x )在区间⎝⎛
⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在区间⎝
⎛⎭⎫0，1
a 上单调递减．
②当a ≤0时，F ′(x )＜0(x ＞0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．
(2)原式等价于方程a ＝2ln x
x
2在区间[2，e]上有两个不等解．
令φ(x )＝2ln x
x 2，由φ′(x )＝2x （1－2ln x ）x 4易知，φ(x )在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为
减函数，
则φ(x )ma x ＝φ(e)＝1
e ，
而φ(e)＝2e 2，φ(2)＝ln 2
2
.
由φ(e)－φ(2)＝2e 2－ln 22＝4－e 2ln 22e 2＝ln e 4－ln 2e 22e 2＜ln 81－ln 2
7
2e 2
＜0，
所以φ(e)＜φ(2)． 所以φ(x )min ＝φ(e)，
如图可知φ(x )＝a 有两个不相等的解时，需ln 22≤a ＜1e
.
即f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不相等的解时a 的取值范围为[ln 22，1
e
)．
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围．
利用函数性质研究函数零点
[典例引领]
已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)． (1)当a ＝4时，求函数y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程；
(2)如果关于x 的方程g (x )＝2e x f (x )在区间⎣⎡⎦⎤
1e ，e 上有两个不等实根，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝4时，g (x )＝(－x 2＋4x －3)e x ，g (0)＝－3， g ′(x )＝(－x 2＋2x ＋1)e x ，g ′(0)＝1，
所以，所求的切线方程为y ＋3＝x －0，即y ＝x －3. (2)由g (x )＝2e x f (x )，
可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3，a ＝x ＋2ln x ＋3x .
设h (x )＝x ＋2ln x ＋3
x
(x >0)，
所以h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）
x 2
，
所以x 在⎣⎡⎦⎤
1e ，e 上变化时，h ′(x )，h (x )的变化如下：
x ⎝⎛⎭
⎫1e ，1
1 (1，e) h ′(x )
－
＋
h (x )
单调递减 极小值(最小值) 单调递增
又h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (1)＝4，h (e)＝3e ＋e ＋2. 且h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e