量子力学-复习要求

量子力学复习要求

2008. 4. 24

一. 基本概念:

●波粒二象性, 德布罗意关系

●波函数的统计解释,波函数的标准条件,波函数的归一化●几率与几率流密度与波函数的关系

●几率与几率密度的区别;

●算符, 坐标算符, 动量算符, 角动量算符及哈密顿算符的

构成.

●本征值方程, 本征值, 本征函数

●氢原子波函数的构成, 简并的概念, 4个量子数

●态叠加原理, 波函数按照本征函数展开, 展开系数的意义●算符的对易关系与测不准关系

●表象的概念

●定态微扰论: 求能量的一级修正,二级修正,波函数一级修

正的基本思路

●含时微扰论: 计算跃迁几率的基本思路

●自旋概念的引入, 自旋算符, 泡利矩阵

●在某个自旋态求平均值, 自旋算符的本征值和本征函数●全同性原理的含义与表述

●玻色子与费米子的定义与区别,泡利不相容原理的表述二.计算题与证明题

● 一维薛定谔方程的求解; ● 简单的本征值方程求解; ● 几率与几率密度的计算; ● 力学量在某个态平均值的计算;

● 有关厄密算符性质的证明(本征值为实数, 本征函数正交等)

● 证明或检验算符的对易关系及测不准关系; ● 简单的定态微扰论求能量的一级和二级修正; ● 自旋算符的本征值问题.

量子力学概念题, 证明题和计算题的具体要求

1. 微观粒子的波粒二象性,徳布罗意关系的物理意义(1.2, 1.3);

2. 一维无限深势阱的波函数的表达式, 习题2.3的结果可以直接用:

2.3一粒子在一维势场

(),0,0,0,x U x x a x a

⎧∞<⎪

=≤≤⎨⎪

∞>⎩

中运动, 求粒子的能级和对应的波函数.

结果: 粒子的能级为 222

22n n E a πμ=,

归一化的波函数为

n n x a

πψ=

. 3. 利用波函数的标准条件定解(2.3, 2.7);

4.有关本征值,本征函数,本征值方程的概念与证明(见教材

有关内容);

5.波函数的统计解释, 几率密度,几率,几率流与波函数的联

系(3.3, 3.4题);

6.波函数按照本征函数展开,所得到展开系数的物理意义

(3.9题);

7.氢原子4个量子数的取值范围,各个量子数的取值与对应

的算符的本征值的关系,简并态的概念(3.5, 3.9题);

8.氢原子电子的基态波函数, 电子几率分布的最可几半径

的计算(3.2题);

9.力学量平均值的计算,对平均值公式中各个量的理解(3.1,

3.2, 3.6, 3.7);

10.算符的对易与测不准关系; 用测不准关系估计氢原子的

基态能量(3.13题);

11.非简并定态微扰论计算能量的一级修正和二级修正(理

解计算公式中各个量的意义).(5.2, 5.3题)

12.对电子自旋角动量取值的理解;在自旋态中计算力学量的

平均值,计算力学量的均方偏差(7.2题);

13.泡利矩阵与自旋角动量算符矩阵的联系, 利用自旋角动

量算符的本征值方程(矩阵形式)确定自旋函数,及自旋角动量的本征值(教材有关内容及7.3题)

考试题型:

考试由概念题(25%)和计算题与证明题(75%)两个部分组成. 需要记住29个公式 第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω==

(1)

h

p n k λ

==

(2)

2.微观粒子的波粒二象性.

3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为

12.25

h

A λ=≈

(3)

4.戴维孙和革末的电子衍射实验

(说明电子具有波动性的实验).

作业: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5 第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:

波函数在空间某一点的强度()2

,r t ψ和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 2.态叠加原理:

如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.

3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程

薛定谔方程

()(),ˆ,r t i H r t t

∂ψ=ψ∂ (4)

定态薛定谔方程

()()ˆH

r E r ψ=ψ (5) 其中

()2

2ˆ2H U r μ

=-∇+ (6)

为哈密顿算符,又称为能量算符,

4.几率流密度和几率守恒定律与薛定谔方程的联系; 几率流密度

()2i J μ

**

≡ψ∇ψ-ψ∇ψ (7) 几率守恒定律

0w

J t ∂+∇⋅=∂ (8)

其中2

w *

=ψψ=ψ代表几率密度.

5. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.

6. 波函数的归一化,

1d τ*∞

ψψ=⎰

(9)

注意积分区域,注意不同坐标系中积分体积元和积分上下限. 7.求解一维薛定谔方程的几个例子.

一维无限深势阱及其变种, 线性谐振子(不要求). 注意在势能分布具有对称性的情况下应用对称性简化定解过程.

波函数的标准条件是: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.

● 波函数的连续性总是对的;

● 而波函数的一阶导数的连续性在个别情况下不成立(例如一维无限深势阱的情况).

作业: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8 第三章 量子力学中的力学量

1. 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;

2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念

ˆF ψλψ= (10)

3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.

ˆF dx ψφ*

=⎰

(

)

ˆF dx ψφ*

⎰

(11)

实数性: 厄密算符的本征值是实数.

正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.