第09讲-密度函数及其性质、均匀分布

连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不
可能事件，则有 P{ X a} 0.
连
续
若 P{ X a} 0,
型
则不能确定 { X a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
型
例11 设随机变量X 的密度函数为
2π
2a
1 1 π 2. 2 π6 3
(3) 随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
F( x)
1
0,
a2 x2 , a x a, 其它.
2.3.2 常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义2.5 设连续型随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间 (a,b) 区间上服从均匀分布,
性质
(1) f ( x) 0;
(2) f ( x)d x 1;
(3)
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
x2 f ( x)d x;
x1
同时得以下计算公式
a
P{X a} F(a) f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a) a f ( x)d x.
CHAP2 随机变量及其分布
第09讲 密度函数及其性质、均匀分布
2.3.1 密度函数及其性质
定义2.4 如果对于随机变量 X 的分布函数 F ( x), 存在
非负函数, 使对于任意实数 x 有 F ( x)
x
f (t)dt,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x) 称为 X 的概率
密度函数,简称概率密度. 并称X 的分布为连续型分布.
即
A
B arcsin
a a
A
2
B
0,
A
B arcsin
a a
A
2
B
1,
解之得 A 1 , B 1 .
2
所以
0,
x a,
F(x)
1
2
1
arcsin
x a
,
a x a,
1,
x a.
(2) P{a
X
a} 2
F(a) 2
F(a)
1 1 arcsin( a ) 0
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F ( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概 率等于零.即 P{ X a} 0.
证明
a x
P{ X a} lim
f ( x)d x 0.
由此可得
x0 a
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
a a
,
a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao
b
x
例13 设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布，求一元二 次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.
解: 因为当 X 2 4 0时, t 2 Xt 1 0有实根.
故所求概率为:
P( X 2 4 0) P( X 2或X 2)
而X的密度函数为 :
.
P{Y
2}
3 2
2 3
2
1
2 3
33
2 3
3
1
2 3
0
20 . 27
记为 X ~ U (a,b).
概率密度
f (x)
函数图形
•
a
o
•
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X ,
落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能
性是相同的.
f (x)
p l ba
l
l
1
•
a
ba
o
•
b
x
分布函数
0,
x a,
F(x)
F
(
x
)
x b
ae3x , x 0 f (x)
0, x 0 (1)确定常数a;(2)求P{X>0.1}(3)求X的分布函数F(x)
解 (1)由归一性，我们有
f ( x)dx
0
ae3xdx a e3x 3
0
a 3
1
解得a＝3，于是X得密度函数为
3e3x , x 0; f (x)
0, x 0.
0,
x a,
F
(x)
A
B arcsin
x a
,
a
x a,
1,
x a.
求 : (1) 系数 A, B 的值;
(2) P{a X a}; 2
(3) 随机变量 X 的概率密度.
解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 所以F ( x)连续,
故有 F (a) lim F ( x), xa
F (a) lim F ( x) , xa
解 X 的分布密度函数为
f ( x) 13 , 2 x 5, 0, 其他.
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”, 即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3} 51 d x 2 ,
33
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3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
2 3
(2)P{X 0.1}
f ( x)dx
3e3xdx 0.740 8
0.1
0.1
（3）有密度函数的定义知当x≤0时，F(x)=0;
当x＞0时
F ( x)
x
f (t )dt
x 3e3xdx 1 e3x
0
所以
1 e3x , x 0; F(x)
0, x 0.
例12 设连续型随机变量 X 的分布函数为
1 5, 1 x 6;
f (x)
0,
其他,
且
6
4
P( X
2) 2
f (t )dt
, P(X 5
2) 0,
因此所求概率 P( X 2 4 0) 4 .
5
例14 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现对 X 进 行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于3 的概率.