由万有引力定律推导行星椭圆轨道
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由万有引力定律推导行星椭圆轨道
作者:Michaelexe
我们先来推导椭圆的极坐标方程。
把极点选在椭圆的一个焦点上,让极轴沿着椭圆的长轴指向远离另一焦点的方向,如图。
按照定义,椭圆是到两焦点的距离之和等于常数(设这常数为2a)的点的轨迹。椭圆的方程应为
(这里设两焦点间的距离为2c)。
在上一方程中,先把左边的第一项r移到右边,再取两边的平方消去根号,我们得到
由此又可得到
这里
这样我们得到了椭圆的极坐标方程
采用极坐标
其中,(万有引力定律),。
这里M是太阳的质量,m是行星的质量,G是万有引力常数。行星的运动方程可以写成
(极坐标加速度公式)
这里k=GMm。后一方程两边乘以r得
或
这说明面积速度为常数
(常数)
再来考察方程
(1)
记u=1/r,则从
可得
我们有
方程(1)化成
即
这是一个二阶常系数线性微分方程。容易看出它的一个特解是。于是这个方程的一般解为
这式又可写成
其中
于是有
这里
我们得到了圆锥曲线的一般方程
因为旋转中的行星不会跑到无穷远去,它的轨道应该是一个椭圆。