2020届高考数学二轮复习专题《圆锥曲线的离心率问题》

△ PQM 是钝角三角形，
则∠PMQ＞90°，∠PMN＞45°，cos∠PMN＜ 22，abc2＜ 22，e2＋ 2e－1＜0，又 0
＜e＜1，
所以椭圆 E 离心率的取值范围是 0＜e＜
6－ 2
2 .
本题考查求椭圆离心率的大小和范围，(1)题中，设 B 为椭圆的左顶点后，由 椭圆的对称性可得，四边形 APBQ 是平行四边形，从而有△ AFM 与△ BQF 相似，从而
1 可得ABFF＝ABMQ＝2BBQQ＝12，于是可得 a 与 c 的等量关系，进而求得离心率的值，本解的解 决包含着等价转化思想的应用；(2)题中，要求离心率的范围，先要找出含有 a，b，c 的 不等关系的条件，将题中的圆心角钝角∠PMQ 转化为它的一半的范围，从而由 45°<12 ∠PMQ<90°，由此可得 a，b，c 的不等关系，进而可求离心率的范围.
→→ ∵AF1·AF2＝0，∴AF1⊥AF2
在 Rt△ AF1B 中，有2a－2x2＋3x2＝2a－x2，解得 x＝a3.
∴|AF2|＝23a，|AF1|＝43a
在
Rt△
AF1F2
中，有43a2＋23a2＝2c2
整理得ac22＝59，∴e＝ac＝
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圆锥曲线中的离心率的计算，通常有三种方法：一是根据题目中的条件，直接 求出 a，b，c 的值，再计算离心率；二是利用题设条件构建关于 a，b，c 的一个齐次等 量关系，再化归为关于离心率 e 的方程求解；三是利用题设条件构建关于 a，b，c 的一 个齐次不等式，再化归为关于离心率 e 的不等式求解．要得到 a，b，c 的关系，常有两 种途径，一是利用图形中的几何特征，比如焦点三角形、圆锥曲线的定义等；二是利用 坐标运算，将题中点的坐标用 a，b，c 表示，再利用条件列出等式或不等式求解．此处 不能忽略圆锥曲线离心率的自身限制条件，否则容易扩大所求离心率的取值范围.
即 6c2－5ac－6a2＝0. ∴ 6e2－5e－6＝0 解得 e＝32，e＝－23(舍去)
(2020·济南模拟)设椭圆xa22来自百度文库yb22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 →→ → →
F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，且AF1·AF2＝0，AF2＝2F2B，则椭圆 E 的离心率为________．
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→→ ∵AF2＝2F2B，设|BF2|＝x(x＞0)，则|AF2|＝2x，由椭圆的定义，可以得到|AF1| ＝2a－2x，|BF1|＝2a－x.
联立yy＝＝abba(xx＋c)
，解得 B(b2a－2ca2，b2a－bca2)，则 OB2＝(b2a－4ca22)2＋(ba22－b2ac22)2＝c2.
整理得：b2＝3a2，∴ c2－a2＝3a2，即 4a2＝c2，∴e＝ ac22＝2.
图 33-4
(2020·徐州模拟)设双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1， F2，P 为该双曲线上一点，若 PF1 与 x 轴垂直，cos∠PF2F1＝1123，则该双曲线的离心率为 ________．
5
∵抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.∴ F(1,0)，准线 l 的方程为 x＝－1， ∵ l 与双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且|AB|＝ 4|OF|(O 为原点)， ∴|AB|＝2ab，|OF|＝1，∴2ab＝4，∴b＝2a，∴c＝ a2＋b2＝ 5a，∴e＝ac＝ 5.
(2019·全国卷)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1， → → →→
F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若F1A＝AB，BF1·BF2＝0，则 C 的离心率为________．
2
→ → →→ 如图 33-4，∵F1A＝AB，BF1·BF2＝0， ∴ OA⊥F1B，则 F1B 所在直线方程为 y＝ab(x＋c)．
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由通径长公式得|PF1|＝ba2，∵cos∠PF2F1＝1123，∴|PF2|＝153ab2，∵|PF2|－|PF1|
＝2a，∴153ab2－ba2＝2a,8b2＝10a2，∴e＝ 1＋ba22＝ 1＋54＝32.
在 Rt△ PF1F2 中， ∵cos∠PF2F1＝1123， ∴tan∠PF2F1＝152， b2 ∴2ac＝152， ∴5ac＝6b2＝6(c2－a2)，
图 33-1
x2 y2 点 M 是椭圆 E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)上的点，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于 椭圆的焦点 F，圆 M 与 y 轴相交于 P，Q，若△ PQM 是钝角三角形，则椭圆 E 离心率的 取值范围是________．
0，
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2
因为圆 M 与 x 轴相切于焦点 F，所以 Mc，ba2，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为 N，
又 0＜e＜1，所以， 33≤e＜1，椭圆 E 的离心率 e 的取值范围是 33，1.
图 33-3
(2019·天津卷)已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线xa22－yb22＝ 1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且|AB|＝4|OF|(O 为原点)，则双曲线 的离心率为________．
设 F1，F2 是椭圆 E：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在其右准线上存在 点 P，使线段 PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆 E 的离心率 e 的取值范围是________．
33，1
如图 33-3，由题意知，PF2＝F1F2＝2c，又 PF2≥AF2＝ac2－c,2c≥ac2－c，
(2019·全国卷)设 F 为双曲线 C：xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O 为坐标原 点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则双曲线 C 的离 心率为________．
2 图 33-2
如图 33-2 所示， 由题意，把 x＝2c代入 x2＋y2＝a2，得 PQ＝2 a2－c42， 再由|PQ|＝|OF|，得 2 a2－c42＝c，即 2a2＝c2, ∴ca22＝2， 解得 e＝ac＝ 2.
x2 y2 (2020·苏州模拟)在平面直角坐标系中，已知点 A，F 分别为椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点 O 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 AP 的中点为 M，若 Q，F，M 三点共线，则椭圆 C 的离心率为________．
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如图 33-1 所示，设点 B 为椭圆的左顶点，由题意知 AM∥BQ，且 AM＝12BQ ∴ABMQ＝ABFF，则12＝aa＋－cc，求得 a＝3c，即 e＝13.
圆锥曲线的离心率问题
离心率是圆锥曲线的重要几何性质，在解决圆锥曲线问题中有着重要作用．纵观近 几年高考试题，离心率在填空题中考查居多，一是求椭圆(或双曲线)的离心率的大小， 二是求椭圆(或双曲线)的离心率的范围，难度一般为中等或中等偏下．解答题中考查大 都是把离心率作为求椭圆方程的一个条件，只需代入即可，是基本要求．本专题主要通 过对近年来各地的一些模考题及高考题的分析，来探索有关求离心率的策略与方法.