变分原理与 元方法

u(x) 0 ， x [x0 , x1 ]
故 L 在 M 上是一个正定算子。
§3.1.3 对称正定算子方程的变分原理
对于一个正定算子方程，一定有一个与之等价的泛函极小值问题。 【定理】设 L 是对称正算子，若算子方程
L(u) f ， u M
存在解 u u0 ，则 u0 所满足的充分必要条件是泛函
解 对于任意实数 ， 及 u, v M 有
L(u v) d (u v) du dv L(u) L(v)
dx
dx dx
因此， L 在 M 上是一个线性算子。
3. 对称算子[1] 【定义】 M 是一个线性集合， L 是 M 中的线性算子。若对于任何 u, v M ，有
L(u), v x1 u' v' dx x0
L(u), u x1 u'2 dx 0 x0
x1 u'2 dx 0 x0
因 u' (x) 在 [x0 , x1 ] 上连续，从而推知 u' (x) 0 ，即 u(x) 在 [x0 , x1 ] 上是常数。 由于 u M ， u(x0 ) 0 ， u(x1 ) 0 ，于是
L(u0 ),u0 2 f ,u0 L(), 2L(u0 ), 2 f ,
（ L(u0 ), L(), u0 ）
J[u0 ] L(), 2L(u0 ) f ,
（3.1.3-4）
由于 L(u0 ) f 0 ，故
解 事实上， L 是线性算子。对每一对 u, v M 构造内积并进行积分
L(u), v x1 u' ' vdx (u' v) x1 x1 u' v' dx
x0
x0
x0
由于 v M ， v(x0 ) 0 ， v(x1 ) 0 ，于是边界项
(u' v) x1 x0
元素 L(u) （ L(u) D ）。 L 就是一个微分算子，记 L : M D 为
L d [ p(x) d ] q(x)
dx
dx
如果给定 f (x) C[a, b] ，则 L( y) f (x) 是算子方程。
例 积分算子
对于任意的 y(x) M （ M : L2 [a, b] ）
L( u),u L(u), u
f ,u fud f ud f , u
(微分、积分与变分次序可以互换)
5
第三章 变分原理与有限元方法
注意到算子 L 是对称的，有
L(u), v u, L(v) 则称算子 L 为对称算子
例 2[1] 设 M 是由 u(x) C 2 [x0 , x1 ] 组成的线性集合，且满足齐次边界条件 u(x0 ) 0 ， u(x1 ) 0 。
3
第三章 变分原理与有限元方法
证明算子 L（） d （2 ）是对称算子 dx 2
点 u(P*) 0 。因 u(P) 在 上连续，所以必存在 P * 的某个领域 G ，在该邻域上 u(P) 0 ，从而
u,u u2 (P)d u2 (P)dG 0

G
这与假设矛盾。
例 1 u cos x ， v x 定义在 [0, ] 上，求 u, v
L(u v) L(u) L(v) 则称算子 L 为线性算子（linear operator）。线性微分算子相对应的方程为线性微分方程。
微分、积分运算是线性运算。因此，许多微分方程和积分方程都是线性算子方程。
例
1
证明在线性集合 C1[x0 , x1 ] 上给定的算子 L（）
d（）为线性算子 dx
由（3.1.1-1）式可以看出，两个函数的内积是一个实数，它由积分值所确定。
从内积的定义可以得到内积的如下性质：
设为 u(P) 、 v(P) 、 u1 (P) 、 u2 (P) 是定义域在 上的连续函数， 、 是任意实数，则 ① 对称性： u, v v, u ② 线性： (u1 u2 ), v u1 , v u2 , v ③ 非负性： u, u 0 ④ u, u 0 u(P) 0 ， P
设 M 为二阶连续可微函数空间 C 2 [a, b] ，对于任意的 y(x) M
L( y) d [ p(x) dy(x) ] q(x) y(x)
dx
dx
p(x)y' '(x) p'(x)y' (x) q(x)y(x)
其中 p(x) ， q(x) 为已知函数。
若 D 为 [a, b] 上连续函数空间 C[a, b] ，则 M 中的每一个元素 y （ y M ）, 对应于 D 中的一个
③ u, u u 2 (P)d 0
④ 若 u(P) 0 ， P ，则 u 2 (P)d 0 。
1
第三章 变分原理与有限元方法
若 u,u u2 (P)d 0 ，则应有 u(P) 0 ， P 。否则，必有一点 P* ，在该
L(u),u 0
而且只有当 u 0 时上式为 0，则称算子 L 为正定算子（positive operator） 例 3 例 2 中已经证明算子 L（） d （2 ）是对称算子，现证明其为正定算子 dx 2 解 由于对任意 u, v M 有
成立。取 u v ，于是 当 L(u), u 0 时，有
u' (x0 )v(x0 ) u' (x1 )v(x1 ) 0
从而
L(u), v x1 u 'v ' dx L(v),u u, L(v) x0
因此， L 在 M 上是一个对称算子。
4. 正定算子（正算子） 【定义】若 L 算子是对称算子，对于任何 u M ，恒有
J[u] J[u0 ] L(),
注意到 L 是正算子定义，所以当 为非零函数时 L(), 0 ，仅当 0 时 L(), 0 ，即
L(), 0
因此有
J[u] J[u0 ]
且等号当且仅当 u u0 时才成立。这说明泛函 J[u] 在 u u0 时取极小值。 再证明充分性：
§3.1 预备知识
为了叙述方便，先介绍几个基本概念。
§3.1.1 函数的内积
【定义】 定义域在 上的连续函数 u(P) 、 v(P) （ P ）乘积在 上的积分
u, v u(P)v(P)d
（3.1.1-1）
称为函数 u(P) ， v(P) 在区域 上的内积。
若 u, v 0 ，称 u 与 v 正交。
实践告诉我们，微分方程边值问题的求解往往比较困难，而从泛函变分求微分方程近似解常常 容易些，可以采用 Ritz 方法、有限元法等。这种方法的关键问题是要找到以所给微分方程为其 Euler 方程的泛函，这一泛函如何构造？本章主要介绍典型的微分方程、偏微分方程的变分原理，并通过 微分方程的有限元求来说明有限元方法的基本思想。
2
变分理论与数值分析方法
本课程只涉及微分算子，一般情况下，提到的算子都是指微分算子。
例 微分方程的边值问题可以写成微分算子方程的形式，如
2u

x
2

2u y 2

f (x, y)
u p(x, y)
(x, y) 为 的边界
（3.1.2-1）
该微分方程的解 u(x, y) 在区域 内满足（3.1.2-1）的第一式，在边界 上满足（3.1.2-1）的第
变分理论与数值分析方法 教案
（第三章 变分原理与有限元方法）
蔡中义
变分理论与数值分析方法
第三章 变分原理与有限元方法
泛函的极值函数可以通过求解相应的 Euler 方程（微分方程的边值问题）来获得，另一方面， 也可以通过求解泛函的极值函数获得相应微分方程的解。这就是说，求解微分方程边值问题等价于 求解相应泛函极值问题，这种相关性通常叫做变分原理。把这一原理应用于各类物理问题就构成了 各种物理问题的变分原理，变分原理是以积分形式表达的物理定律，这种积分形式的泛函常常代表 能量，习惯上也把微分方程边值问题转化为泛函极值问题的求解方法叫做能量法，如力学中的最小 势能原理、虚功原理等。
J[u] L(u),u 2 f ,u
（3.1.3-1） （3.1.3-2）
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变分理论与数值分析方法
在 u u0 处取极小值。
定理中的泛函 J[u] ，一般称为算子方程的能量泛函。
证明 先证明必要性：
若 u u0 是算子方程（3.1.3-2）的解，则有
L(u0 ) f 0
因为当 u u0 时，泛函 J[u] 取极小值，从而 J 0 ，即
J [L(u),u 2 f ,u] L( u),u L(u), u 2 f , u 0
注：
L(u),u L(u)ud [L(u)u]d { [L(u)]u L(u) u}d {[L( u)]u L(u) u}d
对于 M 中任意的 u u0 ，应有
J[u] J[u0 ] L(u0 ),u0 2 f ,u0
（3.1.3-3）
因为 L 是对称正算子，根据内积的性质，上式可以展开
J[u] L(u0 ),u0 L(u0 ), L(),u0 L(), 2 f ,u0 2 f ,
b
T ( y) K (x, t) y(x)dt a
其中， K (x, t) 是矩形域 [a, b][a, b] 中的二元连续函数。
T 就是一个积分算子。如果给定 f (x) L2 [a, b] ，则
即为算子方程T ( y) f 。