倾斜角与斜率

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第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率

第3章   3.1  3.1.1 倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角与斜率1.倾斜角的相关概念(1)两个前提:①直线l 与x 轴相交;②一个标准:取x 轴作为基准,x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角; ③范围:0°≤α<180°,并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用:①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可. 思考:下图中标的倾斜角α对不对?2.斜率的概念及斜率公式(1)定义:倾斜角α(α≠90°)的正切值.(2)记法:k =tan α. (3)斜率与倾斜角的对应关系.图示倾斜角(范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率(范围)(0,+∞)不存在(-∞,0)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k3313-3-1-33(4)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k =y 2-y 1x 2-x 1.思考:所有直线都有斜率吗?若直线没有斜率,那么这条直线的倾斜角为多少?1.如图所示,直线l 与y 轴的夹角为45°,则l 的倾斜角为( )A .45°B .135°C .0°D .无法计算2.已知一条直线过点(3,-2)与点(-1,-2),则这条直线的倾斜角是( )A .0° B .45° C .60° D .90° 3.已知经过两点(5,m )和(m ,8)的直线的斜率等于1,则m 的值是( )A .5 B .8 C .132 D .74.已知直线l 的倾斜角为30°,则直线l 的斜率为( )A .33 B . 3 C .1 D .22直线的倾斜角【例1】 设直线l 过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l 1,那么l 1的倾斜角为( )A .α+45°B .α-135°C .135°-αD .当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾角为α-135°求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)两点注意:①当直线与x 轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x 轴垂直时,倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.1.一条直线l 与x 轴相交,其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为( )A .αB .180°-αC .180°-α或90°-αD .90°+α或90°-α 跟踪训练2 已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l 的倾斜角为 .直线的斜率【例2】 (1)已知点A 的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B ,若k AB =4,则点B 的坐标为( )A .(2,0)或(0,-4)B .(2,0)或(0,-8)C .(2,0)D .(0,-8) (2)已知直线l 经过点A (1,2),且不经过第四象限,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A .(-1,0]B .[0,1]C .[1,2]D .[0,2]例3 经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角α. (1)A (2,3),B (4,5); (2)C (-2,3),D (2,-1); (3)P (-3,1),Q (-3,10).解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k =tan α(α≠90°)解决. (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k =y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2)求解.(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解.1.(1)已知过两点A (4,y ),B (2,-3)的直线的倾斜角为135°,则y =________.(2)过点P (-2,m ),Q (m ,4)的直线的斜率为1,则m 的值为________.跟踪训练2 如图所示,直线l 1,l 2,l 3都经过点P (3,2),又l 1,l 2,l 3分别经过点Q 1(-2,-1),Q 2(4,-2),Q 3(-3,2),计算直线l 1,l 2,l 3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.直线倾斜角与斜率的综合[探究问题]1.斜率公式k=y2-y1x2-x1中,分子与分母的顺序是否可以互换?y1与y2,x1与x2的顺序呢?2.斜率的正负与倾斜角范围有什么联系?命题角度1三点共线问题例3如果三点A(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一条直线上,求m的值.跟踪训练3已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3),B(2,-1),则m的值为()A.0 B.1 C.2 D.3命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围例4直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,求直线l的斜率和倾斜角的范围.【例3】已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围;(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.将本例变为:已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).若点D在线段BC上(包括端点)移动,求直线AD的斜率的变化范围.1.求直线斜率的取值范围时,通常先结合图形找出倾斜角的范围,再得到斜率的范围.2.利用斜率可解决点共线问题,点A,B,C共线⇔k AB=k AC或k AB与k AC都不存在.3.y2-y1x2-x1的几何意义是直线的斜率,用之可通过几何方法解决函数的值域问题.一、选择题1.下列说法中正确的是( )A .一条直线和x 轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角B .直线的倾斜角α的取值范围是[0°,180°]C .和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D .每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率 2.已知l 1⊥l 2,直线l 1的倾斜角为60°,则直线l 2的倾斜角为( ) A .60° B .120° C .30° D .150°3.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+3),则此直线的倾斜角是( ) A .30° B .45° C .60° D .90°4.已知直线l 的斜率的绝对值等于3,则直线l 的倾斜角为( ) A .60° B .30° C .60°或120° D .30°或150° 5.下列各组中,三点能构成三角形的三个顶点的为( )A .(1,3)、(5,7)、(10,12)B .(-1,4)、(2,1)、(-2,5)C .(0,2)、(2,5)、(3,7)D .(1,-1)、(3,3)、(5,7) 6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( ) A .k 1<k 2<k 3 B .k 3<k 1<k 2 C .k 3<k 2<k 1 D .k 1<k 3<k 27.一条直线l 与x 轴相交,其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为( ) A .α B .180°-α C .180°-α或90°-α D .90°+α或90°-α 8.已知直线l 过点A (1,2),且不过第四象限,则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A .2 B .1 C.12 D .0二、填空题9.若三点A (2,2),B (a,0),C (0,b )(ab ≠0)共线,则1a +1b的值等于 .10.已知点A (1,2),若在坐标轴上有一点P ,使直线P A 的倾斜角为135°,则点P 的坐标为 . 11.若经过点A (1-t,1+t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角,则实数t 的取值范围是 . 12.若直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R )两点,则直线l 的倾斜角的取值范围为 . 三、解答题13.已知坐标平面内两点M (m +3,2m +5),N (m -2,1).(1)当m 为何值时,直线MN 的倾斜角为锐角?(2)当m 为何值时,直线MN 的倾斜角为钝角? (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗?四、探究与拓展14.已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,3+1).若D为△ABC的边AB上一动点,则直线CD的斜率k的取值范围为()A.[33,3] B.[0,33]∪[3,+∞) C.[33,+∞) D.[3,+∞)15.已知坐标平面内三点P(3,-1),M(6,2),N(-3,3),直线l过点P.若直线l与线段MN相交,求直线l的倾斜角的取值范围.3.1.2两条直线平行与垂直的判定1.两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示思考1如图,设对于两条不重合的直线l1与l2,其倾斜角分别为α1与α2,斜率分别为k1与k2,若l1∥l2,α1与α2之间有什么关系?k1与k2之间有什么关系?思考2对于两条不重合的直线l1与l2,若k1=k2,是否一定有l1∥l2?为什么?2.两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在,且都不为零)⇔k1k2=-1l1的斜率不存在,l2的斜率为0⇒l1⊥l2思考1如图,设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2,斜率分别为k1与k2,且α1<α2,若l1⊥l2,α1与α2之间有什么关系?为什么?思考2 已知tan(90°+α)=-1tan α,据此,如何推出思考1中两直线的斜率k 1、k 2之间的关系?思考3 如果两直线的斜率存在且满足k 1·k 2=-1,是否一定有l 1⊥l 2?如果l 1⊥l 2,一定有k 1·k 2=-1吗?为什么?1.已知A (2,0),B (3,3),直线l ∥AB ,则直线l 的斜率k 等于( )A .-3 B .3 C .-13 D .132.已知直线l 1的斜率k 1=2,直线l 2的斜率k 2=-12,则l 1与l 2( )A .平行B .垂直C .重合D .非以上情况3.l 1过点A (m ,1),B (-3,4),l 2过点C (0,2),D (1,1),且l 1∥l 2,则m =________.两直线平行的判定及应用【例1】 根据下列给定的条件,判断直线l 1与直线l 2是否平行.(1)l 1经过点A (2,1),B (-3,5),l 2经过点C (3,-3),D (8,-7); (2)l 1经过点E (0,1),F (-2,-1),l 2经过点G (3,4),H (2,3); (3)l 1的倾斜角为60°,l 2经过点M (1,3),N (-2,-23); (4)l 1平行于y 轴,l 2经过点P (0,-2),Q (0,5).1.已知l 1经过点A (-3,3),B (-8,6),l 2经过点M ⎝⎛⎭⎫-212,6,N ⎝⎛⎭⎫92,-3,求证:l 1∥l 2.跟踪训练2 已知A (1,-a +13),B (0,-13),C (2-2a,1),D (-a,0)四点,当a 为何值时,直线AB 和直线CD平行.两条直线垂直关系的判定【例2】 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直.(1)l 1经过点A (-1,-2),B (1,2);l 2经过点M (-2,-1),N (2,1); (2)l 1的斜率为-10;l 2经过点A (10,2),B (20,3);(3)l 1经过点A (3,4),B (3,10);l 2经过点M (-10,40),N (10,40).例3已知三点A(5,-1),B(1,1),C(2,3).求证:△ABC是直角三角形.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看:就是看所给两点的横坐标是否相等.若相等,则直线的斜率不存在;若不相等,则进行第二步.(2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值:计算斜率的值,进行判断,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式对参数进行讨论.1.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,求a的值.跟踪训练2已知定点A(-1,3),B(4,2),以A,B为直径作圆,与x轴有交点C,求交点C的坐标.两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1.已知△ABC的三个顶点坐标A(5,-1),B(1,1),C(2,3),你能判断△ABC的形状吗?2.已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标?【例3】△ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形,求m 的值.1.本例中若改为∠A为锐角,其他条件不变,如何求解m的值?2.若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉,改为若△ABC为直角三角形,如何求解m的值?例4已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,求A点坐标.引申探究本例中若将条件“四边形ABCD 为直角梯形”改为AC ∥BD ,AB ∥CD ,求A 点坐标.反思与感悟 有关两条直线垂直与平行的综合问题,一般是根据已知条件列方程(组)求解.如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点,注意判断图形是否唯一,以防漏解.跟踪训练3 已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1),B (1,0),C (3,2),求第四个顶点D 的坐标.一、选择题1.设点P (-4,2),Q (6,-4),R (12,6),S (2,12),下面四个结论:①PQ ∥SR ;②PQ ⊥PS ;③PS ∥QS ;④PR ⊥QS . 其中正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .42.如果直线l 1的斜率为a ,l 1⊥l 2,那么直线l 2的斜率为( ) A.1a B .a C .-1aD .-1a或不存在3.若直线l 1的倾斜角为135°,直线l 2经过点P (-2,-1),Q (3,-6),则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A .垂直 B .平行 C .重合 D .平行或重合4.已知点A (m,3),B (2m ,m +4),C (m +1,2),D (1,0),且直线AB 与直线CD 平行,则m 的值为( ) A .1 B .0 C .0或1D .0或25.已知直线l 的倾斜角为20°,直线l 1∥l ,直线l 2⊥l ,则直线l 1与l 2的倾斜角分别是( ) A .20°,110° B .70°,70° C .20°,20°D .110°,20°6.顺次连接A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0)所构成的图形是( ) A .平行四边形 B .直角梯形 C .等腰梯形 D .以上都不对 二、填空题7.已知直线l 1经过点A (0,-1)和点B (4a ,1),直线l 2经过点M (1,1)和点N (0,-2),若l 1与l 2没有公共点,则实数a 的值为________.8.已知A (2,0),B (3,3),直线l ∥AB ,则直线l 的倾斜角为________.9.若点P (a ,b )与点Q (b -1,a +1)关于直线l 对称,则直线l 的倾斜角α为________.10.直线l 1,l 2的斜率k 1,k 2是关于k 的方程2k 2-3k -b =0的两根,若l 1⊥l 2,则b =____________;若l 1∥l 2,则b =____________.11.已知点A (-3,-2),B (6,1),点P 在y 轴上,且∠BAP =90°,则点P 的坐标是______.三、解答题12.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:(1)倾斜角为135°;(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.四、探究与拓展13.已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若直线PQ∥直线MN,则m的值为______.14.已知△ABC的顶点A(1,3),B(-1,-1),C(2,1),求△ABC的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标.。

高一数学必修2第三章知识点:直线的倾斜角与斜率

高一数学必修2第三章知识点:直线的倾斜角与斜率

高一数学必修2第三章知识点:直线的倾斜角与斜率
在中国古代把数学叫算术,又称算学,最后才改为数学。

小编准备了高一数学必修2第三章知识点,具体请看以下内容。

3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定=0.
2、倾斜角的取值范围:0180.当直线l与x轴垂直时,= 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时,=0,k=tan0
⑵当直线l与x轴垂直时,=90,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式:k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直。

倾斜角与斜率

倾斜角与斜率

α 0 k tan0 0 0 α 90 k tanα 0 α 90 tan 不 存在 ) k 不存在 90 α 180 k tanα 0

y 2 y1 y1 y 2 (或k ) 4、斜率公式: k x 2 x1 x1 x 2
解析几何
十六世纪以后,由于生产和科学技术的发 展,天文、力学、航海等方面都对几何学 提出了新的需要。比如,德国天文学家开 普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运 行的,太阳处在这个椭圆的一个焦点上; 意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着 抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲 线 ,要研究这些比较复杂的曲线,原先的 一套方法显然已经不适应了,这就导致了 解析几何的出现。
o

x1
x2
x
y
y2
P2 ( x2 , y2 )
y1

P 1 ( x1 , y1 )
Q( x2 , y1 )
o

x1
x2
x
当α 为锐角时,α Q P 1P2 , x1 x 2 , y 1 y 2 . 在直角 P1 P2Q 中 |QP y 2 y1 2 | tanα tanQ P 1 P2 | P1Q | x 2 x1
随堂练习
° ≤ α < 90 ° 0 1.若k≥0,则α的范围是______________。 90 ° < α < 180 ° 若k<0,则α的范围是________________ 。
2.判断正误: (1)直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α。 × (2)所有的直线都有倾斜角,故所有的直线都有斜率。 ×
升高量 坡度 前进量
直线的斜率

直线的倾斜角和斜率,直线方程

直线的倾斜角和斜率,直线方程

直线的倾斜角和斜率,直线方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角概念的注意点:1)注意旋转方向:逆时针2)规定平行x轴(或与x轴重合)的直线倾斜角为0°3)直线倾斜角的范围是0°≤<180°2.直线的倾率:直线的倾斜角的正切值tan(倾斜角不为90°时)。

概念注意点:1)倾斜角为90°的直线无斜率2)斜率k可以是任何实数,每条直线都存在唯一的倾斜角,但不是每条直线都有斜率3)=0°时,k=0;0°<<90°时,k>0;=90°时,k不存在;90°<<180°时,k<0。

3.斜率公式:设直线l的倾斜角为(≠90°),P1(x1,y2),P2(x2,y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点,直线l的斜率为k,则:k=tan=,当=90°时,或x1=x2时,直线l垂直于x轴,它的斜率不存在。

例1.求过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角。

解:k==-1,即tan=-1,∵0°≤<180°,∴=135°。

点评:已知直线的斜率,可以直接得出直线的倾斜角,但要注意角的范围。

例2.设直线l的斜率为k,且-1<k<1,求直线倾斜角的范围。

解法1:当-1<k<0时,∈(),则,当k=0时,=0,当0<k<1时,∈(0,),则0<<解法2:作k=tan,∈[0,π)时的图形:由上图可知:-1<k<1时,∈[0,)()。

点评:1、当直线的斜率在某一区间内时,要注意对倾斜角范围的讨论。

2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。

二、直线方程的四种形式1.两个独立的条件确定一条直线,常见的确定直线的方法有以下两种(1)由一个定点和确定的方向可确定一条直线,这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。

直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1. 斜率的定义斜率是平面直角坐标系中一条直线倾斜程度的度量。

斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度以及方向。

在数学中,斜率通常用m表示,它表示一条直线在水平方向的单位偏移所对应的垂直方向的单位偏移的比值。

也可以理解为直线上两点之间的垂直高度差与水平距离的比率。

假设一条直线上有两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2),那么这条直线的斜率就可以表示为:m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 直线的倾斜角度直线的倾斜角度也叫直线的斜率角,可以帮助我们更直观地理解一条直线的倾斜程度和方向。

与斜率相比,倾斜角度更易于理解和使用,尤其是在实际测量和应用中。

直线的倾斜角通常用θ表示,计算公式如下:tan(θ) = m其中tan(θ)表示正切函数,它可以是斜率m的反函数。

因此,直线的倾斜角通常可以表示为:θ = atan(m)而atan表示反正切函数,它可以将斜率转化为对应的弧度角,从而帮助我们更好地理解直线的方向和倾斜程度。

3. 应用举例下面通过一个具体的应用举例来理解斜率和倾斜角度的概念。

假设我们需要计算一条直线的倾斜角度和斜率,该直线穿过两个点P(3, 4)和Q(5, 8)。

首先,我们需要计算该直线的斜率:m = (8 - 4) / (5 - 3) = 2然后,我们可以将该斜率转化为对应的倾斜角度:θ = atan(2) = 1.107 rad也就是说,该直线的倾斜角度是1.107弧度,约等于63.43度。

这意味着,在平面坐标系上,该直线与水平方向的夹角为63.43度。

可以看出,倾斜角度可以帮助我们更直观地理解直线的倾斜程度和方向,从而更方便地进行测量和计算。

4. 总结斜率和倾斜角度是描述一条直线倾斜程度和方向的重要概念。

它们可以帮助我们更直观地理解一条直线的特性,并且在测量和计算中有广泛的应用。

需要注意的是,在实际应用中,我们需要根据具体情况选择使用斜率或倾斜角度,以获得更准确的结果。

直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结

直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结

直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结一、倾斜角:重点:取值范围:0≤a <180° 二、斜率k :1、当a ≠90°时,斜率k=tana ;2、当a=90°时,斜率k 不存在;(联系正切函数的定义域去理解)3、两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的斜率公式:)间的斜率公式:k=y 2-y 1/x 2-x 1理解:①两点间斜率要求x 1≠x 2,因为当x 1=x 2时,直线垂直于x 轴,倾斜角为90°,斜率k 不存在;在;②当x 1≠x 2且y 1=y 2时,直线垂直于y 轴,倾斜角为0°,斜率k=0 三、各表达式之间的区别与联系:名称名称公式公式备注备注点斜式点斜式y-y 0=k(x-x 0)1、联系斜率公式进行理解联系斜率公式进行理解2、已知一定点P 0(x 0,y 0)和斜率k ; 斜截式斜截式 y=kx+b 1、 联系点斜式进行理解;联系点斜式进行理解;2、 此时是已知一定点P (0,b )和斜率k ; 3、 b 表示直线在y 轴上的截距轴上的截距 两点式两点式y-y 1/y 2-y 1=x-x 1/x 2-x 11、 两点式要求x 1≠x 2且y 1≠y 2;2、 当x 1=x 2且y 1≠y 2时,直线垂直于x轴;轴; 3、 当x 1≠x 2且y 1=y 2时,直线垂直于y 轴。

轴。

截距式截距式 x/a+y/b=1 1、 联系两点式进行理解;联系两点式进行理解;2、 点P 1(a ,0),P 2(0,b )分别为直线与坐标轴的交点坐标;线与坐标轴的交点坐标; 一般式一般式Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)不同时为零)1、 联系二元一次方程组的相关知识点理解;理解;2、 熟练掌握A 、B 、C 对直线位置的影响作用。

响作用。

四、斜率k与截距b对直线位置的影响:1、k对直线位置的影响:对直线位置的影响:时,直线向右上方倾斜;①当k>0时,直线向右上方倾斜;时,直线向右下方倾斜;②当k<0时,直线向右下方倾斜;轴;③当k=0时,此时倾斜角为0,直线平行与x轴;轴平行。

直线的倾斜角与斜率知识点

直线的倾斜角与斜率知识点

直线的倾斜角与斜率知识点直线是数学中最基本的图形之一,在几何学和代数学中都有广泛的应用。

直线的倾斜角和斜率是描述直线特征的重要概念,在解决直线问题时起到了至关重要的作用。

本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用场景。

一、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与正 x 轴之间的夹角。

它通常用角度或弧度来度量。

倾斜角可以表达直线的上升或下降趋势,以及直线的陡峭程度。

倾斜角的取值范围为 [-90°, 90°] 或 [-π/2, π/2],其中正值表示线段向右上方倾斜,负值表示线段向右下方倾斜。

要计算直线的倾斜角,需要从直线上选择两个确定点。

假设直线的两个点分别是 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2),则倾斜角可以通过求解以下公式得出:倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中,arctan 表示反正切函数,计算结果可以用角度或弧度来表示。

二、直线的斜率直线的斜率是用来表示直线上点之间的变化率的数值。

斜率可以告诉我们直线的陡峭程度和方向。

通常情况下,斜率被定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值之比。

对于直线上的两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2),斜率可以通过以下公式来计算:斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率可以用分数形式来表示,分母表示直线上两个点之间的水平距离,分子表示两个点之间的垂直距离。

斜率也可以是整数、小数或无穷大。

当斜率为正时,直线向上倾斜;当斜率为负时,直线向下倾斜;当斜率为0时,表示直线为水平线。

三、直线倾斜角与斜率的转换关系直线的倾斜角和斜率有一个重要的转换关系。

斜率可以通过直线的倾斜角计算得到,也可以通过斜率计算得到直线的倾斜角。

通过倾斜角计算斜率的公式如下:斜率 = tan(倾斜角)其中,tan 表示正切函数。

通过斜率计算倾斜角的公式如下:倾斜角 = arctan(斜率)这两个公式可以帮助我们在直线的描述中灵活地使用斜率和倾斜角。

2.1.1 倾斜角与斜率(解析版)..

2.1.1 倾斜角与斜率(解析版)..

第二章《直线和圆的方程》2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率知识梳理知识点一直线的倾斜角1.倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.(2)当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1.直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =tan α.2.斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°斜率(范围)k =0k >0不存在k <03.过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =y 2-y 1x 2-x 1.题型探究题型一、直线的倾斜角1.直线的倾斜角前提条件直线l 与x 轴_________定义以_________作为基准,x 轴_________与直线l _________的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角特殊情况当直线l 与x 轴_________或_________时,规定它的倾斜角为_________取值范围__________________【答案】相交x 轴正向向上平行重合00180α≤≤2.(多选)设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45,得到直线1l ,则直线1l 的倾斜角为()A .45α+B .45α-o C .135α-D .135α-【答案】AC【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<,∴当0135α≤<时,旋转45后得到1l 的倾斜角为:45α+;当135180α<<时,旋转45后得到1l 的倾斜角为:45180135αα+-=-.故选:AC.3.分别写出下列直线的倾斜角:(1)垂直于x 轴的直线;(2)垂直于y 轴的直线;(3)第一、三象限的角平分线;(4)第二、四象限的角平分线.【答案】(1)90;(2)0;(3)45;(4)135【详解】(1)当直线垂直于x 轴时,直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为90,所以所求直线的倾斜角为90.(2)当直线垂直于y 轴时,此时,直线与x 轴平行或重合,所以所求直线的倾斜角为0.(3)当直线为第一、三象限的角平分线时,直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为45,所以所求直线的倾斜角为45.(4)当直线为第二、四象限的角平分线时,直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为135所以所求直线的倾斜角为135.4.当直线l 与x 轴垂直时,直线l 的倾斜角为______.【答案】2π【详解】当直线l 与x 轴垂直时,直线l 的倾斜角为2π故答案为:2π题型二、直线的斜率1.若直线l 的倾斜角为120︒,则直线l 的斜率为________.【答案】3-【详解】因为直线l 的倾斜角为120︒,则tan1203k =︒=-.故答案为:3-.2.经过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45,则m =___________.【答案】2【详解】因为过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45,所以4tan 45111AB mk m -===+-,解得2m =,故答案为:2.3.根据下列直线的倾斜角α,判断直线的斜率是否存在,如果存在,求出斜率的值:(1)0α=︒;(2)60α=︒;(3)90α=︒;(4)150α=︒.【答案】(1)存在,且斜率为0(2)存在,且斜率为3(3)不存在(4)存在,且斜率为33-【详解】(1)0α=︒,斜率存在,且斜率为tan00︒=.(2)60α=︒,斜率存在,且斜率为tan 603︒=.(3)90α=︒,斜率不存在.(4)150α=︒,斜率存在,且斜率为3tan1503︒=-.4.求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角(1)()2,3A ,()3,4B (2)()2,3C ,()3,3D (3)()2,3E ,()2,4F (4)()2,3G ,(),4H a 【答案】(1)1AB k =,倾斜角为4π(2)0CD k =,倾斜角为0(3)斜率不存在,倾斜角为2π(4)见解析【详解】(1)43132AB k -==-,所以AB 的倾斜角为4π;(2)33032CD k -==-,所以CD 的倾斜角为0;(3)因为点,E F 的横坐标相等,所以直线EF 的斜率不存在,倾斜角为2π;(4)当2a =时,直线GH 的斜率不存在,倾斜角为2π,当2a ≠时,43122GH k a a -==--,若2a >,倾斜角为1arctan2a -;若2a <,倾斜角为1arctan2a π+-.题型三、倾斜角和斜率的应用1.已知直线l 经过(2,1)A 、2(1,)B m (R m ∈)两点,求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【详解】∵直线l 过(2,1)A ,2(1,)B m (R)m ∈两点,∴直线l 的斜率为2211112m k m -==-≤-,设直线l 的倾斜角为α,则[)0,πα∈,且tan 1α≤,解得π04α≤≤或ππ2α<<∴直线l 的倾斜角α的取值范围是ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.2.过点(0,1)P -的直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点,求直线l 的倾斜角α的取值范围.【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】如图所示,因为(0,1)P -,(3,2)A ,(2,3)B -,可得12(1)130l k --==-,13(1)120l k ---==--,要使得直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点,设直线l 的倾斜角为α,其中[0,)π,则满足tan 1α≤或tan 1α≥-,解得04πα≤≤或34παπ≤<,即直线l 的倾斜角α的取值范围30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为:30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.3.已知直线1l 的斜率为12,直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍,求直线2l 的斜率.【答案】43【详解】由题意,设直线1l 的倾斜角为α,则直线2l 的倾斜角为2α,由已知得11tan 2k α==,所以直线2l 的斜率为222tan 4tan 21tan 3k ααα===-.4.设点()2,3A -,()3,2B ,若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点,则a 的取值范围是()A .54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B .45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C .54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -,且52AC k =-,43BC k =,由图可知直线与线段AB 有交点时,斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-,解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭,故选:D跟踪训练1.确定一条直线的条件确定一条直线的条件是_________和一个_________.规定水平直线的方向_________,其他直线_________的方向为这条直线的方向.【答案】一点方向向右向上2.已知直线1l 的倾斜角115α=︒,直线1l 与2l 的交点为A ,直线1l 和2l 向上的方向之间所成的角为120︒,如图所示,求直线2l 的倾斜角.【答案】135︒【详解】设直线2l 的倾斜角为2α,结合图形及三角形外角与内角的关系可得2112012015135αα=︒+=︒+︒=︒,故直线2l 的倾斜角为135︒.3.直线0y =倾斜角为____________.【答案】0【详解】直线0y =即为x 轴,该直线的倾斜角为0.故答案为:0.4.如图所示,直线l 的倾斜角为()A .60︒B .150︒C .0︒D .不存在【答案】B【详解】由图可知:该直线的倾斜角为150°故选:B5.直线1l 与直线2:2l x =所成的锐角为30°,则直线1l 的倾斜角为______.【答案】60°或120°.【详解】如图,直线1l 的倾斜角为60°或120°﹒故答案为:60°或120°﹒6.函数1y =表示的直线的倾斜角大小为___________.【答案】0【详解】由题设,1y =平行于x 轴,即斜率为0,若倾斜角为[0,)θπ∈,则tan 0θ=,故0θ=.故答案为:07.判断正误(1)倾斜角为135︒的直线的斜率为1.()(2)直线斜率的取值范围是(),-∞+∞.()【答案】×√【详解】(1)倾斜角为135︒的直线的斜率为-1(2)直线斜率的取值范围是(),-∞+∞8.过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为()A .45︒B .135︒C .1D .1-【答案】A【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--,则该直线的倾斜角为45︒,故选:A .9.求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.(1)(2,0)P 、()1,3Q ;(2)(1,2)P 、(,0)Q a ,其中实数a 是常数.【详解】(1)经过(2,0)P 、()1,3Q 两点的直线的斜率30312k -==--,设直线PQ 的倾斜角为θ,则0πθ≤<,又tan 3θ=-,则2π3θ=(2)设直线PQ 的倾斜角为θ,则0πθ≤<,当1a =时,直线PQ 的斜率不存在,倾斜角π2θ=;当1a ≠时,21k a=-,则2tan 1a θ=-①若1a <,则2arctan1aθ=-;②若1a >,则2πarctan1aθ=+-.10.设直线l 的倾斜角为θ,若原点在直线l 上的射影为(2,1)-,则sin 2θ的值为______.【答案】45【详解】由原点在直线l 上的射影为(2,1)-知过原点和(2,1)-的直线和直线l 垂直,过原点和(2,1)-的直线斜率为12-,故直线l 的斜率为2,即tan 2θ=,故2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故答案为:45.11.已知直线斜率为k ,且13k -≤≤,那么倾斜角α的取值范围是().A .ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B .π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C .ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D .π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【详解】由题意,直线l 的倾斜角为α,则[)0,πα∈,因为13k -≤≤,即1tan 3α-≤≤,结合正切函数的性质,可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选:B .12.当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时,则直线l 的斜率的取值范围为______.【答案】[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦【详解】当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时,则直线l 的斜率的取值范围为[)(2tan ,,tan 1,,343ππ⎡⎫⎛⎤⎤+∞⋃-∞=+∞⋃-∞-⎪ ⎢⎥⎦⎣⎭⎝⎦,故答案为:[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦﹒13.求经过(,3)A m (其中m 1≥)、(1,2)B 两点的直线的倾斜角α的取值范围.【答案】090α<≤︒【详解】由题意,当1m =时,倾斜角90α=︒,当1m >时,321tan 011m m α-==>--,即倾斜角α为锐角;综上得:090α<≤︒.高分突破1.如图,设直线1l ,2l ,3l 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,则1k ,2k ,3k 的大小关系为()A .123k k k <<B .132k k k <<C .213k k k <<D .321k k k <<【答案】A【详解】由斜率的定义可知,123k k k <<.故选:A .2.直线m 过点()()0012O A ,,,,其倾斜角为α,现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =:,若直线'm 的倾斜角为2α,则k 的值为()A .22B .22-C .2D .-2【答案】B【详解】由题,tan 2OA k α==,直线'm 的倾斜角为2α,故()222tan 22tan 2221tan 12k ααα====---故选:B3.已知过点()2,m ,()4,6的直线的倾斜角为45︒,则实数m =()A .2B .4C .6D .8【答案】B【详解】由6tan 45142m-︒==-,解得4m =.故选:B .4.设直线l 的斜率为k ,且31k -<≤,则直线l 的倾斜角α的取值范围是()A .π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B .π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C .π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .π3π,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为k ,且31k -<≤,3tan 1α∴-<≤,因为[0,π)α∈,2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选:A.5.直线l 的斜率为33,则l 的倾斜角为()A .30°B .60°C .120°D .150°【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为33,所以l 的倾斜角为30°.故选:A.6.(多选)如果直线l 过原点(0,0)且不经过第三象限,那么l 的倾斜角α可能是()A .0°B .120°C .90°D .60°【答案】ABC【详解】依题意,直线l 过原点,且不经过第三象限,则0α=︒或90180α︒≤<︒,所以ABC 选项符合,D 选项不符合.故选:ABC7.(多选)下列四个命题中,错误的有()A .若直线的倾斜角为θ,则sin 0θ>B .直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C .若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tan θD .若一条直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ【答案】ACD【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是[)0,p ,即[)0,θπ∈,所以sin 0θ≥,当2πθ≠时直线的斜率tanθk =,故A 、C 均错误;B 正确;对于D :若直线的斜率4tan33k π==,此时直线的倾斜角为3π,故D 错误;故选:ACD 8.若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα,且12l l ⊥,则有()A .1290αα-=︒B .2190αα-=︒C .2190αα-=︒D .12180αα+=︒【答案】C 【详解】根据两条直线垂直,可知|α2−α1|=90°,故选:C9.已知直线l 过点A (1,2),且不过第四象限,则直线l 的斜率k 的最大值是()A .2B .1 C.12D .0【答案】A【详解】如图,k OA =2,k l ′=0,只有当直线落在图中所示位置时才符合题意,故k ∈[0,2].故直线l 的斜率k 的最大值为2.10.下列命题中,错误的是______.(填序号)①若直线的倾斜角为α,则(0,)απ∈;②若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大;③若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α.【答案】①②③【详解】对于①中,根据直线倾斜角的概念,可得直线的倾斜角为α,则[0,)απ∈,所以①错误;对于②中,当倾斜角[0,)2πα∈,直线的倾斜角越大,则直线的斜率k 越大,且0k >;当倾斜角(,)2παπ∈,直线的倾斜角越大,则直线的斜率k 越大,但0k <,所以②错误;对于③中,根据直线斜率的概念,可得当[0,)απ∈且2πα≠时,直线的斜率为tan k α=,所以③错误.故答案为:①②③.11.直线l 的斜率为3,将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的斜率是______.【答案】3-【详解】设直线l 的倾斜角为α,)0,180α⎡∈⎣,因为直线l 的斜率为3,所以tan 3α=,所以60α=,所以将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的倾斜角为6060120+=,所以所得直线的斜率是tan1203=-,故答案为:3-.12.若过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°,则y =______.【答案】-9【详解】过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°则有3tan 603230y --==-,解之得9y =-故答案为:-913.若直线l 的倾斜角α的正弦值为35,则它的斜率为___________.【答案】34±【详解】由题设,3sin 5α=,而α∈[0,)π,则4cos 5α=±,所以3tan 4α=±,即斜率为34±.故答案为:34±14.若三点A (3,1),B (-2,k ),C (8,1)能构成三角形,则实数k 的取值范围为________.【答案】(-∞,1)∪(1,+∞)【详解】k AB =k -1-2-3=1-k 5,k AC =1-18-3=05=0.要使A ,B ,C 三点能构成三角形,需三点不共线,即k AB ≠k AC ,∴1-k 5≠0,∴k ≠1.15.已知直线l 过第一象限的点(,)m n 和(1,5),直线l 的倾斜角为135°,求14m n +的最小值.【答案】32【详解】由题意,可得0m >,0n >,且5tan13511n m-==--︒,即6m n +=,又由()14114141435526662n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当且仅当4n m m n =时,即24n m ==时,等号成立,所以14m n +的最小值为32.16.已知直线l 经过两点()22,A a a 、(0,1)B -,求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】设直线l 的斜率为k ,倾斜角为θ.当0a =时,k 不存在,2πθ=;当0a ≠时,211222a a k a a+==+:若0a >时,则12122a k a ≥⋅=,,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭;若0a <时,则12()()122ak a ≤--⋅-=-,3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;综上,3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.17.已知直线l 的斜率的绝对值为33,求这条直线的倾斜角.【答案】30°或150°【详解】由题意知直线的斜率k =33或k =-33,且倾斜角的范围为0180α︒≤<︒,所以直线的倾斜角的大小为30°或150°.18.已知直线1l 的斜率为1-,直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°,求直线2l 的斜率.【答案】23--【详解】因为直线1l 的斜率为1-,所以直线1l 的倾斜角为135︒,又直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°,所以直线2l 的倾斜角为105︒,所以()tan 45tan 6013tan105tan 4560231tan 45tan 60113°+°+°=°+°===---鞍-´,所以直线2l 的斜率为23--.19.(1)若直线l 的倾斜角,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求直线l 斜率k 的范围;(2)若直线l 的斜率[]1,1k ∈-,求直线l 倾斜角α的范围.【答案】(1)3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;(2)30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【详解】(1)因为tan k α=,,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,3tan 63π=,tan 33π=,结合正切函数在[)0,p 的单调性得3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,(2)直线l 的斜率[]1,1k ∈-,tan 14π=,3tan 14π=-,结合正切函数在[)0,p 的单调性得30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.20.经过点()0,1P -作直线l ,且直线l 与连接点()1,2A -,()2,1B 的线段总有公共点,求直线l 的倾斜角α和斜率k 的取值范围.【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭;11k -≤≤.【详解】因为2(1)110PA k ---==--,1(1)120PB k --==-,由l 与线段AB 相交,所以PA PB k k k ≤⇒≤11k -≤≤,所以0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<,由于tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭及,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦均为增函数,所以直线l 的倾斜角α的范围为:30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故倾斜角的范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭,斜率k 的范围是11k -≤≤.21.已知坐标平面内两点M(m +3,2m +5),N(m -2,1).(1)当m 为何值时,直线MN 的倾斜角为锐角?(2)当m 为何值时,直线MN 的倾斜角为钝角?(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗?【答案】(1)m>-2.(2)m<-2.(3)不可能为直角.【详解】(1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,即k =()25132m m m +-+--=245m +>0,解得m>-2.(2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0,即k =()25132m m m +-+--=245m +<0,解得m<-2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角,此时m +3=m -2,此方程无解,故直线MN 的倾斜角不可能为直角.22.点M (x ,y )在函数y =-2x +8的图象上,当x ∈[2,5]时,求y +1x +1的取值范围.【详解】y +1x +1=y -(-1)x -(-1)的几何意义是过M (x ,y ),N (-1,-1)两点的直线的斜率.∵点M 在函数y =-2x +8的图象上,且x ∈[2,5],∴设该线段为AB 且A (2,4),B (5,-2).∵k NA =53,k NB =-16,∴-16≤y +1x +1≤53.∴y +1x +1的取值范围为-16,53.。

倾斜角与斜率

倾斜角与斜率

《倾斜角与斜率》xx年xx月xx日contents •倾斜角概述•斜率及其计算方法•倾斜角与斜率的关系•倾斜角和斜率的应用•倾斜角和斜率的特殊情况•倾斜角和斜率的实际应用案例目录01倾斜角概述定义倾斜角是指直线与x轴之间的夹角,通常用α表示。

性质倾斜角是一个锐角或钝角,其取值范围在0°到180°之间。

定义与性质方向倾斜角的方向与直线的斜率密切相关。

变化当直线向上倾斜时,倾斜角为锐角,斜率为正;当直线向下倾斜时,倾斜角为钝角,斜率为负。

倾斜角与直线方向根据上述性质,倾斜角的取值范围在0°到180°之间。

范围当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°,斜率不存在;当直线与x轴平行时,倾斜角为0°,斜率为0。

特殊情况倾斜角的取值范围02斜率及其计算方法斜率是直线与x轴夹角的正切值,表示直线相对于水平线的倾斜程度。

斜率通常用小写字母m表示,也可以用其他字母表示。

斜率的定义斜率的计算方法公式为:m = tan(α),其中α为直线的倾斜角。

当α为锐角时,m为正数;当α为直角时,m为无穷大;当α为钝角时,m为负数。

利用直线的倾斜角和正切函数计算斜率。

1斜率的取值范围23斜率的取值范围是实数集,可以取任意实数。

斜率的取值与直线的倾斜角有关,而倾斜角可以取0到180度之间的任意值。

当斜率为0时,表示直线与x轴平行;当斜率无穷大时,表示直线与x轴垂直。

03倾斜角与斜率的关系直线斜率计算公式$k = \tan(\alpha)$,其中$\alpha$为直线的倾斜角,$k$为直线的斜率。

说明直线的斜率与倾斜角成正比,即倾斜角越大,斜率越大;倾斜角越小,斜率越小。

直线斜率的计算公式01直线斜率变化不同倾斜角下的直线斜率变化021. 当倾斜角$\alpha$从$0^{\circ}$增大到$90^{\circ}$时,斜率$k$从0逐渐增大到正无穷大。

032. 当倾斜角$\alpha$从$90^{\circ}$减小到$180^{\circ}$时,斜率$k$从正无穷大逐渐减小到0。

课件2:2.1.1 倾斜角与斜率

课件2:2.1.1 倾斜角与斜率
(2)设直线 l2 的倾斜角为 α,α=15°+75°=90°,
所以直线 l2 的倾斜角为 90°.
答案:(1)D (2)90°
方法规律 1.解答本题应注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. 2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出 图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.
探究题 3 解析:直线的斜率是由直线的倾斜角决定的,
k=tan α(a≠90°).当 0°≤α<90°时,倾斜角越大,斜率越大; 当 90°<α<180°时,斜率是负的,倾斜角越大,斜率也越大. 先通过图形判断出直线的倾斜角在 0°≤α<90°范围内.
根据“直线的倾斜角越大,斜率越大”可知 k1<k2<k3.
倾斜 准,x 轴_正__向___与直线 l__向__上__的方向之间所
α 角 成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x
轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0°
定义
表示或记法
斜率 一条直线的倾斜角 α 的__正__切___值_____
k=tan α
(2)倾斜角与斜率的对应关系
图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α=0° __k_=__0_
0°<α<90° α=_9__0_°__
__k_>_0__
斜率 不存在
90°<
α<180°
_k_<_0___
由上表可知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是__0_°___≤__α__<_1_8_0_°__,斜率 k 的
取值范围是_(_-__∞__,__+__∞__)______.
当 135°≤α<180°时,倾斜角为 α-135°

高二数学倾斜角与斜率知识点

高二数学倾斜角与斜率知识点

高二数学倾斜角与斜率知识点数学是一门抽象而精确的科学,其中许多概念和知识点都与我们日常生活息息相关。

在高二数学学习中,倾斜角与斜率是重要的概念之一。

本文将详细介绍倾斜角与斜率的概念及其应用。

一、倾斜角的定义与性质倾斜角,也称为斜率角,是指直线相对于水平线或者坡面的倾斜程度。

在直角坐标系中,可以通过斜率来计算倾斜角。

具体来说,若直线的斜率为k,则其倾斜角θ满足tanθ=k。

倾斜角具有以下性质:1. 垂直线的倾斜角为90度或π/2弧度;水平线的倾斜角为0度或0弧度。

2. 同一条直线上的两个不同点的连线的倾斜角相等。

3. 平行的直线具有相同的倾斜角。

4. 相互垂直的两条直线的倾斜角之积为-1。

二、斜率的计算与性质斜率描述了直线上各点间的变化率,可以理解为直线的倾斜程度。

在直角坐标系中,设直线通过两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂),则直线的斜率k满足k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。

斜率具有以下性质:1. 垂直线的斜率不存在;水平线的斜率为0。

2. 同一条直线上的所有点的斜率相等。

3. 平行的直线具有相同的斜率。

4. 若直线的斜率为k,则与水平线的倾斜角θ满足tanθ=k。

三、倾斜角与斜率的应用倾斜角和斜率在实际问题中具有广泛的应用,特别是在几何图形和物理学中。

1. 图形的倾斜角:通过计算两点的坐标可以确定直线的斜率,从而求得直线相对于水平线的倾斜角。

这对于理解图形的形状和方向非常重要。

2. 道路的坡度:道路的坡度实际上就是道路的倾斜角。

通过计算两个位置的高度差和水平距离,可以求得坡度,从而了解道路的陡峭程度,对工程设计和施工有着重要意义。

3. 物体的运动:对于物体在直角坐标系中的运动,可以通过斜率来描述速度的变化。

倾斜角和斜率帮助我们理解物体在不同位置上的速度和方向。

总结:倾斜角与斜率是高二数学中的重要概念,其应用广泛。

倾斜角可以通过斜率来计算,用于描述直线相对于水平线的倾斜程度。

斜率则是描述直线各点间变化率的指标。

倾斜角和斜率关系

倾斜角和斜率关系

倾斜角和斜率关系
图形解析是数学中一个重要的分支,它能帮助我们用几何和代数
来描述函数和方程,也可以求出函数的极值、极点和拐点。

倾斜角和
斜率是图形解析中的重要概念,它们的关系非常渊源。

在几何中,倾斜角是指直线在坐标系中向x轴正方向旋转的角度,它依照顺时针方向的,从0°到360°并且采用弧度制。

而斜率则是指
直线在x轴和y轴上的变化率。

两者之间的关系其实很简单,当处在
一条直线上,倾斜角为α时,直线的斜率就是tanα,反之亦然。

例如,假设我们有一个直线,它的倾斜角等于120°,于是斜率
应该是tan120°,令tan120°=2√3,那么就可知直线的斜率为2√3。

此外,还可以用斜率来求得直线的倾斜角。

例如,假设一条直线
的斜率为2,我们再令2=tanα,那么α就是这条直线的倾斜角,也
就是60°。

从上述例子可以看出,倾斜角和斜率是一对密不可分的概念。


处理一般函数曲线的斜率,也是通过求倾斜角来实现的。

所以只要理
解了倾斜角和斜率之间的关系,就能更容易地解决函数曲线的相关问题。

倾斜角与斜率

倾斜角与斜率

B.1
C.-1
D.-2
2-3 由题意知,tan 45°=1-m,得 m=2.
1234
3.已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x=___3__,直线AB的倾 π
斜角为__4___.
因为A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线, 1+2 2-1
所以 kAB=kBC,即2+1=x-2, 解得 x=3,设直线 AB 的倾斜角为 θ,由 tan θ=1 得 θ=π4, 所以直线 AB 的倾斜角为π4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知点 A( 3,1),B(3 3,3),则直线 AB 的倾斜角 θ 是
A.60°
√B.30°
C.120°
D.150°
kAB=3
3-1 3-
= 3
33,
∴tan θ= 33且 0°≤θ<180°,
∴θ=30°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1234
4.经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是__0_°<__α_≤__9_0_°__. (其中m≥1)
当m=1时,倾斜角α=90°; 3-2
当 m>1 时,tan α=m-1>0, ∴0°<α<90°. 故0°<α≤90°.
1234

课时对点练
基础巩固
1.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3,-1)与(2,-1)
反思感悟
倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度,二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.

【原创】倾斜角和斜率

【原创】倾斜角和斜率

135
k tan135 tan 45 1
150
k tan150 tan 30
3
3
即 若两角互补,正切值互为相反数!
2.直线的倾斜角与斜率之间的关系:
y
直线
y
y
y
情况
o
o
o
o
x
x
x
x

大小
0 0 90 90 90 180
k的
范围
k=0 k (0,) k不存在 k (,0)
例2 (书P86 练习4)在平面直角坐标系中, 画出经过点(0,2)且斜率分别为2和-2 的直线。
y
O
x
∵入射角等于反射角
倾斜角APN 180 APM
M(2,2)
K MP K PN
23
PA x
2x 8x
解得 x 2 反射点 P (2,0)
三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围:0 180
2、直线的斜率定义: k tan ( 90 )
3、斜率k与倾斜角 之间的关系:
0 k tan 0 0
k AB
y2 x2
y1 x1
kBA
y1 y2 x1 x2
答:直线AB的斜率与A、B两点的 顺序无关。
3、当直线平行于x轴,或与x轴重合时,上述公
式还适用吗?为什么?
y
P1(x1, y1)
x1 o
P2 (x2, y2 )
x2 x
斜率k tan0 0
由于 y1 y2 ,
y2 y1 0 x2 x1
直线的倾斜角是什么角?
解:直线AB的斜率
k AB
22 84
0
直线BC的斜率

倾斜角与斜率

倾斜角与斜率

答案:C
例 1 围.
求直线 xcosθ+ 3y+2=0 的倾斜角的取值范
3 解:由已知,直线的斜率 k=- cosθ, 3 3 3 ∴- ≤k≤ . 3 3 π 3 当 0≤k≤ 时,直线的倾斜角 α 满足 0≤α≤ ; 6 3 3 5π 当- ≤k<0 时,直线的倾斜角 α 满足 ≤α<π. 3 6 π 5π ∴直线的倾斜角的取值范围为[0, ]∪[ ,π). 6 6
B.(
答案D(∵ 答案 ∵
π <α<π, < 2
3 π,π).故应选 故应选D.) 故应选 4
∴k=cosα∈(-1,0). ∈ ∴倾斜角θ∈( 倾斜角 ∈
1.要正确理解倾斜角的定义, 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范 要正确理解倾斜角的定义 y2 - y1 熟记斜率公式: 围,熟记斜率公式:k = x2 - x1 ,该公式与两点顺序无 关,已知两点坐标(x1≠x2)时,根据该公式可求出经 已知两点坐标( 过两点的直线的斜率. 过两点的直线的斜率.当x1=x2,y1≠y2时,直线的斜率 不存在,此时直线的倾斜角为90° 不存在,此时直线的倾斜角为90°. 2.求斜率可用 2.求斜率可用k=tanα(α≠90°),其中α为倾斜角,由 求斜率可用k=tanα(α≠90°),其中 为倾斜角, 其中α 此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记: 此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜 率变化分两段,90°是分界,遇到斜率要谨记, 率变化分两段,90°是分界,遇到斜率要谨记,存在 与否需讨论” 与否需讨论”.

练习题 1 直线 xsinα-y+1=0 的倾斜角的变化范围 ( ) π A.(0,2) B.(0,π) 3π π π π C.[-4,4] D.[0,4]∪[ 4 ,π)

斜率与倾斜角的关系

斜率与倾斜角的关系

斜率与倾斜角的关系
倾斜角与斜率的关系:k=tanα。

k是斜率,α是倾斜角。

斜率等于倾斜角的正切值,比如简单的正比例函数y=x,斜率是1,倾斜角是45度,tan45°=1。

斜率k=tanα(α倾斜角)
所以只能说斜率的绝对值越大,所表示的直线越靠近y 轴
而因为tan180度=0
所以实际上,当倾斜角接近180度时,斜率的绝对值是接近于0的
斜率的定义
斜率亦称“角系数”,表示平面直角坐标系中表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度的量。

直线对X 轴的倾斜角α的正切值tgα称为该直线的“斜率”,并记作k,k=tgα。

规定平行于X轴的直线的斜率为零,平行于Y轴的直线的斜率不存在。

对于过两个已知点(x1,y1) 和(x2,y2)的直线,若x1≠x2,则该直线的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)。

即k=tanα=(y1-y2)/(x1-x2)。

2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)

2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)

④若直线的倾斜角为α,则sinα∈(0,1);
⑤若α是直线l的倾斜角,且sinα= 22,则α=45°.
其中正确命题的个数是( A )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义,图(3)中α与倾斜角的 大小一样,但不是倾斜角.
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角;倾斜角不可能为负;倾 斜角为0°的直线有无数条,它们都垂直于y轴,因此①正确,② ③错误.④中当α=0°时,sinα=0,故④错误.⑤中α有可能为 135°,故⑤错误.
答:不对.
当x1≠x2时,k=yx22- -yx11=xy11--xy22; 当x1=x 2时,斜率不存在.
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个.
(2)给出下列命题:
①任意一条直线有唯一的倾斜角;
②一条直线的倾斜角可以为-30π;
③倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴;
2.斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α,斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k=0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率均为k=
y2-y1 x2-x1
对吗?
在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜 角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方 向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等.因此,我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度,也 就表示了直线的方向.
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3.1.1倾斜角与斜率知识点一 直线的倾斜角思考1 在平面直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 答案 不能.思考2 在平面直角坐标系中,过定点P 的四条直线如图所示,每条直线与x 轴的相对倾斜程度是否相同?答案 不同.梳理 (1)倾斜角的定义①当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.②当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可.知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中,我们常用“升高量前进量”表示“坡度”,图(1)(2)中的坡度相同吗?答案 不同,因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α,β存在等量关系吗? 答案 存在,图(1)中,坡度=tan α,图(2)中,坡度=tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角 (范围) α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°斜率 (范围) k =0 k >0 不存在 k <0知识点三 过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其斜率k =y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2).类型一 直线的倾斜角例1 设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°,得直线l 1,则直线l 1的倾斜角为( ) A .α+40° B .α-140° C .140°-αD .当0°≤α<140°时为α+40°,当140°≤α<180°时为α-140° 答案 D解析 根据题意,画出图形,如图所示:因为0°≤α<180°,显然A ,B ,C 未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<140°时,l 1的倾斜角为α+40°;当140°≤α<180°时,l 1的倾斜角为40°+α-180°=α-140°.故选D.反思与感悟 (1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为.答案60°或120°解析有两种情况:①如图(1),直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°.②如图(2),直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°,即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3),B(4,5);(2)C(-2,3),D(2,-1);(3)P(-3,1),Q(-3,10).解(1)存在.直线AB的斜率k AB=5-34-2=1,即tan α=1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=45°.(2)存在.直线CD的斜率k CD=-1-32-(-2)=-1,即tan α=-1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=135°.(3)不存在.因为x P=x Q=-3,所以直线PQ的斜率不存在,倾斜角α=90°.反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;②斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k 03313-3-1-33跟踪训练2如图所示,直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2),计算直线l1,l2,l3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.解 设k 1,k 2,k 3分别表示直线l 1,l 2,l 3的斜率. 由于Q 1,Q 2,Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等,所以 k 1=-1-2-2-3=35,k 2=-2-24-3=-4,k 3=2-2-3-3=0.由k 1>0知,直线l 1的倾斜角为锐角;由k 2<0知,直线l 2的倾斜角为钝角;由k 3=0知,直线l 3的倾斜角为0°.类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1),B (-2,m ),C (6,8)在同一条直线上,求m 的值. 解 k AB =m -1-2-2=1-m 4,k AC =8-16-2=74,∵A ,B ,C 三点共线,∴k AB =k AC , 即1-m 4=74,∴m =-6. 反思与感悟 斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定的方向不变,即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等,这正是利用斜率相等可证点共线的原因.跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3),B (2,-1),则m 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案 B解析 由题意可得2m =2,解得m =1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,求直线l 的斜率和倾斜角的范围. 解 如图所示.∵k AP =1-02-1=1,k BP =3-00-1=-3,∴k ∈(-∞,-3]∪[1,+∞),∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k =tan α(α≠90°)解决. (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k =y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2)求解.(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.跟踪训练4 已知A (3,3),B (-4,2),C (0,-2).若点D 在线段BC 上(包括端点)移动,求直线AD 的斜率的变化范围. 解 如图所示.当点D 由B 运动到C 时,直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ,所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17,53.1.对于下列命题:①若α是直线l 的倾斜角,则0°≤α<180°; ②若k 是直线的斜率,则k ∈R ;③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 C解析 ①②③正确.2.若经过A (m,3),B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m 等于( ) A .2 B .1 C .-1 D .-2答案 A解析 tan 45°=2-31-m,得m =2.3.若三点A (2,3),B (3,2),C (12,m )共线,则实数m 的值为 .答案 92解析 设直线AB ,BC 的斜率分别为k AB ,k BC ,则由斜率公式,得k AB =3-22-3=-1,k BC =m -212-3=-25(m -2).∵A ,B ,C 三点共线,∴k AB =k BC , 即-1=-25(m -2),解得m =92.4.经过A (m,3),B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 .(其中m ≥1) 答案 (0°,90°]解析 当m =1时,倾斜角α=90°, 当m >1时,tan α=3-2m -1>0,∴0°<α<90°,故0°<α≤90°.5.已知交于点M (8,6)的四条直线l 1,l 2,l 3,l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4,又知l 2过点N (5,3),求这四条直线的倾斜角. 解 l 2的斜率为6-38-5=1,∴l 2的倾斜角为45°,由题意可得:l 1的倾斜角为22.5°,l 3的倾斜角为67.5°,l 4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度,二者紧密相连,如下表:直线情况平行于x 轴垂直于x 轴α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°k 的范围 0 k >0不存在k <0k 的增减情况k 随α的增大而增大k 随α的增大而增大课时作业一、选择题1.下列说法中正确的是( )A .一条直线和x 轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角B .直线的倾斜角α的取值范围是[0°,180°]C .和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D .每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率 答案 D解析 倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角,故选项A 不正确;直线的倾斜角的取值范围是[0°,180°),故选项B 不正确;当直线与x 轴平行时,倾斜角为0°,故选项C 不正确.2.已知l 1⊥l 2,直线l 1的倾斜角为60°,则直线l 2的倾斜角为( ) A .60° B .120° C .30° D .150° 答案 D解析 两直线垂直时,它们的倾斜角相差90°,由l 1的倾斜角为60°知,l 2的倾斜角为150°. 3.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+3),则此直线的倾斜角是( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 答案 A解析 由题意知k =2+3-24-1=33,∴直线的倾斜角为30°.4.已知直线l 的斜率的绝对值等于3,则直线l 的倾斜角为( ) A .60° B .30° C .60°或120° D .30°或150°答案 C解析 由题意知|tan α|=3, 即tan α=3或tan α=-3, ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.5.下列各组中,三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A .(1,3)、(5,7)、(10,12) B .(-1,4)、(2,1)、(-2,5) C .(0,2)、(2,5)、(3,7) D .(1,-1)、(3,3)、(5,7)答案 C 解析A 、B 、D 三个选项中三点均共线.6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( )A .k 1<k 2<k 3B .k 3<k 1<k 2C .k 3<k 2<k 1D .k 1<k 3<k 2 答案 D解析 由题图可知,k 1<0,k 2>0,k 3>0, 且l 2比l 3的倾斜角大.∴k 1<k 3<k 2.7.一条直线l 与x 轴相交,其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为( ) A .αB .180°-αC .180°-α或90°-αD .90°+α或90°-α答案 D解析 如图所示,当l 方向向上的部分在y 轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l 方向向上的部分在y 轴右侧时,倾斜角为90°-α.故选D.8.已知直线l 过点A (1,2),且不过第四象限,则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A .2 B .1 C.12 D .0答案 A解析 如图,k OA =2,k l ′=0,只有当直线落在图中所示位置时才符合题意,故k ∈[0,2].故直线l 的斜率k 的最大值为2.二、填空题9.若三点A (2,2),B (a,0),C (0,b )(ab ≠0)共线,则1a +1b 的值等于 .答案 12解析 由于A ,B ,C 三点共线,所以此直线的斜率既可用A ,B 两点的坐标表示,也可用A ,C 两点的坐标表示,于是有22-a=2-b 2,由此可得a +b =12ab ,两边同时除以ab ,得1a +1b =12.10.已知点A (1,2),若在坐标轴上有一点P ,使直线P A 的倾斜角为135°,则点P 的坐标为 . 答案 (3,0)或(0,3)解析 由题意知k P A =-1,若P 点在x 轴上,则设P (m,0),则0-2m -1=-1,解得m =3;若P点在y 轴上,则设P (0,n ),则n -20-1=-1,解得n =3,故P 点的坐标为(3,0)或(0,3).11.若经过点A (1-t,1+t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角,则实数t 的取值范围是 . 答案 (-2,1)解析 由题意知,k AB =2t -(1+t )3-(1-t )=t -1t +2.因为直线的倾斜角为钝角, 所以k AB =t -1t +2<0, 解得-2<t <1.12.若直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R )两点,则直线l 的倾斜角的取值范围为 . 答案 [0°,45°]∪(90°,180°)解析 直线l 的斜率k =m 2-11-2=1-m 2≤1.若l 的倾斜角为α,则tan α≤1.又∵α∈[0°,180°),当0≤tan α≤1时,0°≤α≤45°; 当tan α<0时,90°<α<180°. ∴α∈[0°,45°]∪(90°,180°). 三、解答题13.已知坐标平面内两点M (m +3,2m +5),N (m -2,1). (1)当m 为何值时,直线MN 的倾斜角为锐角? (2)当m 为何值时,直线MN 的倾斜角为钝角? (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗? 解 (1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,即k =2m +5-1m +3-(m -2)=2m +45>0,解得m >-2.(2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0, 即k =2m +5-1m +3-(m -2)=2m +45<0,解得m <-2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角,此时m +3=m -2,此方程无解,故直线MN 的倾斜角不可能为直角. 四、探究与拓展14.已知坐标平面内三点A (-1,1),B (1,1),C (2,3+1).若D 为△ABC 的边AB 上一动点,则直线CD 的斜率k 的取值范围为( ) A .[33,3] B .[0,33]∪[3,+∞) C .[33,+∞) D .[3,+∞)答案 A15.已知坐标平面内三点P (3,-1),M (6,2),N (-3,3),直线l 过点P .若直线l 与线段MN 相交,求直线l 的倾斜角的取值范围.解 考虑临界状态,令直线PM 的倾斜角为α1,直线PN 的倾斜角为α2, 由题意知tan α1=1,tan α2=-33, 故直线PM 的倾斜角为45°,直线PN 的倾斜角为150°,根据倾斜角的定义知符合条件的直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。

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