倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率

知识点一 直线的倾斜角

思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？ 答案 不能．

思考2 在平面直角坐标系中，过定点P 的四条直线如图所示，每条直线与x 轴的相对倾斜程度是否相同？

答案 不同．

梳理 (1)倾斜角的定义

①当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．

②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．

知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系

思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量

”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？

答案 不同，因为32≠2

2

.

思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角 (范围) α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

斜率 (范围) k ＝0 k >0 不存在 k <0

知识点三 过两点的直线的斜率公式

直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2

)．

类型一 直线的倾斜角

例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( ) A ．α＋40° B ．α－140° C ．140°－α

D ．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140° 答案 D

解析 根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α<140°时，l 1的倾斜角为α＋40°；

当140°≤α<180°时，l 1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.

反思与感悟 (1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．

(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°

解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.

类型二直线的斜率

例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.

(1)A(2,3)，B(4,5)；

(2)C(－2,3)，D(2，－1)；

(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．

解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－3

4－2

＝1，即tan α＝1，

又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.

(2)存在．直线CD的斜率k CD＝

－1－3

2－(－2)

＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α

＝135°.

(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.

反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.

倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°

斜率k 0

3

3

13－3－1－

3

3

跟踪训练2如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

解 设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率． 由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以 k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3

＝0.

由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.

类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 命题角度1 三点共线问题

例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 解 k AB ＝

m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝7

4

，

∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， 即

1－m 4＝7

4

，∴m ＝－6. 反思与感悟 斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．

跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3)，B (2，－1)，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B

解析 由题意可得2m ＝2，解得m ＝1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围

例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围． 解 如图所示．