矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选

2
即为对角线的长．
解答： 解：
∵四边形 ABCD是矩形，
∴OA=OB， ∵∠AOB=6°0 ， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA=AB=5cm， ∴AC=2OA=10cm， 故答案为 10． 点评： 主要考查矩形的性质；用到的知识点为：矩形的对角线互相平分且相等． 6、（ 1999?河南）已知：如图，在矩形 ABCD中， CE⊥BD，E 为垂足，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE= 45
解答： 解：已知矩形的两条对角线的夹角为 形为等边三角形．
60°，根据矩形的性质可求得由两条对角线的夹角为
60°的三角
又因为一条对角线与短边的和为 15cm，所以短边的边长为 5cm．
故答案为 5 ． 点评： 本题考查的是矩形的性质（对角线相等） ，难度一般．
2、如图，设矩形 ABCD和矩形 AEFC的面积分别为 S1、S2，则二者的大小关系是： S1 = S2．
பைடு நூலகம்
度．
考点 ：矩形的性质；三角形内角和定理。 专题 ：计算题。 分析： 根据矩形的性质首先求出∠ DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可． 解答： 解：已知∠DCE：∠ECB=3：1?∠DCE=67.5，∠ECB=22.5 ∴∠EBC=∠ACB=90°﹣∠ECB=67.5° ∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=67.5°﹣ 22.5 °=45° 点评： 本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识，难度一般．
考点 ：线段垂直平分线的性质；菱形的性质。 专题 ：计算题。 分析： 根据菱形的性质求出∠ ADC=10°0 ，再根据垂直平分线的性质得出 解答： 解：连接 BD， BF ∵∠BAD=80° ∴∠ADC=10°0 又∵EF 垂直平分 AB， AC 垂直平分 BD ∴AF=BF，BF=DF ∴AF=DF ∴∠FAD=∠FDA=40° ∴∠CDF=10°0﹣ 40°=60°． 故答案为， 60
D 正确．
故选 D．
点评： 本题考查的是矩形判定定理，考生同时也要注意平行四边形的判定以及性质，难度一般．
17、四边形 ABCD的对角线相交于点 O，下列条件不能判定它是矩形的是（
）
A、 AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°
B、 AO=CO， BO=DO， AC=BD
C、∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
60°，边长是 20cm ，则较长的对角线是 20 cm． 考点 ：菱形的性质。 专题 ：计算题。
分析： 如图： 由四边形 ABCD是菱形，可得 AB=AD=20cm， AC⊥BD，∠DAB=60°，OA=OC， OB=OD，易得 BD=20cm， AC=20 cm．
解答： 解： ∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB=AD=20cm， AC⊥BD，∠DAB=60°， OA=OC， OB=OD， ∴BD=AD=20cm， ∴OD=10cm，∠AOD=9°0 ，
即可求∠AOB，即可解题． 解答： 解：∵∠CAE=15°和 AE平分∠BAD
∴∠BAO=4°5 +15°=60°， 又∵AO=BO， ∴△ABO 为等边三角形，
∴∠AOB=6°0 ， 故答案为 60°．
点评：本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质， 考查了等边三角形的判定和等边三角形各内角为 的性质，本题中求证 △ABO 为等边三角形是解题的关键． 二、选择题（共 11 小题，每小题 4 分，满分 44 分）
（ 3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判断． 解答： 解： A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故
A 错误；
B、一组对边平行且相等有一个是直角的四边形是矩形，故
B 错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形（或 “对角线互相平分且相等的四边形是矩形 ”），故 C 错误；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故
D、∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
考点 ：矩形的判定。
考点 ：正方形的性质。 专题 ：计算题。
分析： 过 P 作 EF，使 EF∥BC，则 EF⊥CD，EF⊥AB，∴S△ABP= AB?EP， S△CDP= CD?PF，根据 S△ABP+S△CDP= 即可 求得 S△CDP．即可解题．
P 作 EF，使 EF∥BC，则 EF⊥CD，EF⊥AB，
∴S△ABP= AB?EP， S△CDP= CD?PF，
32°即可求得菱形的内角的一半，根据菱形对
解答： 解：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 菱形对角线垂直平分且为角平分线 设菱形内角度数为为 2x、 2y， 则 x﹣ y=32°， x+y=90°， ∴x=61°，y=29°，
32°，
所以菱形的相邻内角为 122°和 58°， 故答案为 58°． 点评： 本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了菱形相邻内角的和为
3、若矩形的一个角的平分线分一边为 考点 ：矩形的性质。
4cm 和 3cm 的两部分，则矩形的周长为
22 或 20 cm．
分析： 本题需分两种情况解答． 即矩形的一个角的平分线分一边为 当矩形的一个角的平分线分一边为
4cm 和 3cm，或者矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm． 4cm 和 3cm 时，矩形的周长为 2×（ 3+4） +2×4=22cm；
△AOB 为
解答： 解：由题意知 AC=6， BD=8，则菱形的面积 S= ×6×8=2，4
∵菱形对角线互相垂直平分， ∴△AOB为直角三角形， AO=3， BO=4，
∴AB=
=5，
∴菱形的高 h= = ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形面积的计算，本题中求根据
AO， BO 的值求 AB
所以理论上最多只能剪出 3 个
如图可以剪出 3 个， 所以答案为 3． 点评： 做这类题画图时必要的部分，可以培养思维开阔的能力．
5、矩形的一条较短边的长为 考点 ：矩形的性质。
5cm，两条对角线的夹角为 60°，则它的对角线的长等于
10 cm．
专题 ：计算题。
分析： 易得两条对角线的一半与矩形的短边构成等边三角形，那么对角线的一半等于较短边的长，乘以
度．
考点 ：正方形的性质；等腰三角形的性质。 专题 ：计算题。 分析： 由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ ACB=45°，即∠ACE=13°5 ，在等腰 △CAE 中，已知了顶角的 度数，即可由三角形内角和定理求得∠ E的度数． 解答： 解：正方形对角线平分直角，故∠ ACD=4°5 ， 已知 DC⊥CE，则∠ACE=13°5 ， 又∵CE=AC， ∴∠E=22.5°． 故答案为 22.5 ． 点评： 此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用，以及正方形中边角性质的应用． 13、如图，若 P 是边长 1 的正方形 ABCD内一点且 S△ABP=0.4，则 S△DCP= 0.1 ．
S△ABP+S△CDP= AB（ EP+PF） = ． 故得 S△CDP=0.1． 故答案为 0.1．
点评： 本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求得
S△ABP+S△CDP= AB
（ EP+PF） = 是解题的关键．
14、（2007?咸宁）如图，在菱形 ABCD中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，E 为垂足，连 接 DF，则∠CDF的度数 = 60 度．
是解题的关键．
9、菱形的一个内角为 120 °，平分这个内角的对角线长为 8cm ，则菱形周长为 32 cm． 考点 ：菱形的性质。 专题 ：计算题。 分析： 根据已知可得该对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，从而可求得菱形的边长，根据周长
求出周长即可． 解答： 解：菱形的一个内角为 120°，则邻角为 60°
180°的性
质，本题中求菱形相邻内角的值是解题的关键．
11、如图， E 是正方形 ABCD内一点，如果 △ABE 为等边三角形，那么∠ DCE= 15 度．
考点 ：正方形的性质；等边三角形的性质。 专题 ：计算题。 分析： 根据已知分别求得∠ EBC，∠BEC的度数，从而即可求得∠ DCE的度数． 解答： 解：∵△ABE 为等边三角形 ∴∠ABE=60° ∴∠EBC=30° ∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC=75° ∴∠DCE=1°5 故答案为 15． 点评： 此题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，及正方形的性质． 12、如图， E 是正方形 ABCD的边 BC延长线上一点，且 CE=AC，AE 交 CD于点 F，则∠E= 22.5
4、要从一张长为 40cm，宽为 20cm 的矩形纸片中，剪出长为 18cm，宽为 12cm 的矩形纸片，最多能剪出 3 张． 考点 ：矩形的性质。 专题 ：操作型。 分析： 想要剪出最多，需要合理的选择剪纸的位置，画出图形然后求解．
解答： 解：
如图所示矩形，长为 40cm，宽为 20cm，则知面积为 800cm 2 剪出的矩形长为 18cm，宽为 12cm，则知面积为 216cm2
60°
16 、下列说法正确的是（
）
A、一组对边平行且相等的四边形是矩形
B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C、对角线互相垂直的平行四边形是矩形 考点 ：矩形的判定。 分析： 矩形的判定定理有：
D、一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
（ 1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （ 2）有三个角是直角的四边形是矩形；
AF=DF，从而计算出∠ CDF的值．
点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质． 15、如图所示，矩形 ABCD的对角线相交于 O， AE 平分∠BAD，交 BC 于 E，∠CAE=15°，那么∠AOB= 60° ．
考点 ：矩形的性质。 专题 ：计算题。 分析： 根据∠CAE=15°和 AE 平分∠BAD，即可求得∠ BAO=6°0 ，再根据 OA=OB 即可判定 △ABO 为等边三角形，
则这条对角线和一组邻边组成等边三角形， 可得边长为 8cm， 则菱形周长为 32cm．
故答案为 32． 点评： 此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用．
10 、菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 考点 ：菱形的性质。 专题 ：计算题。
32°，则菱形较小的内角是 58° ．
分析： 根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 角线垂直平分且为角平分线的性质，可以计算菱形较小的内角．
一、填空题（共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分）
1、矩形的两条对角线的夹角为 60°，一条对角线与短边的和为 15 cm，则短边的边长为 考点 ：矩形的性质；等边三角形的判定与性质。
5 cm．
专题 ：计算题。
分析： 本题首先求证由两条对角线的夹角为 60°的角为等边三角形，易求出短边边长．
当矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm 时，矩形的周长为 2×（3+4） +2×3=20cm． 解答： 解：分两种情况：
当矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 时，矩形的周长为 2×（ 3+4） +2×4=22cm； 当矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm 时，矩形的周长为 2×（3+4） +2×3=20cm． 点评： 本题考查的是基本的矩形性质，考生需要注意的是分两种情况作答即可．
∴OA=10 cm ，
∴AC=20 cm．
即较长的对角线是 20 cm．故答案为 20 ． 点评： 此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且互相垂直．解题的关键是注意勾股定理的应用．
8、菱形两条对角线的长分别为 6 和 8，它的高为 ．
考点 ：菱形的性质。 专题 ：计算题。 分析： 根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得 直角三角形，根据 AO， BO 可以求得 AB 的值，根据菱形的面积和边长即可解题．
考点 ：矩形的性质。 分析： 由于矩形 ABCD的面积等于 2 个 △ABC 的面积，而 △ABC的面积又等于矩形 个矩形的面积关系．
AEFC的一半，所以可得两
解答： 解：矩形 ABCD的面积 S=2S△ABC，而 S△ABC= S 矩形 AEFC，即 S1=S2，故此题答案为 =．
点评： 本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．