数值分析高斯—勒让德积分公式

高斯—勒让德积分公式

摘要：

高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。

T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.

关键字：

积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB

Keyword:

Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。

实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。

相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。

高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。

高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换

x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。

1.现有的方法和理论

1.1高斯勒让德求积公式

在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数，区间为，则得公式

我们知道勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，勒让德多项式的零点就是求积公式(上式)的高斯点．形如(上式)的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．

若取的零点做节点构造求积公式

令它对准确成立，即可定出．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取的两个零点构造求积公式

令它对都准确成立，有

．

由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式

．

三点高斯－勒让德求积公式的形式是

．

如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．

0 0.0000000 2.0000000

1 0.5773503 1.0000000

2

0.7745967

0.0000000 0.5555556 0.8888889

3

0.8611363

0.3399810 0.3478548 0.6521452

4 0.9061798

0.5384693

0.0000000

0.2369269

0.4786287

0.5688889

公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得

，

这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及(3.2.7)得

．当时，有

．

它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间时，只要做变换

可将化为［－１，１］，这时

．对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．

1.2复化Gauss-Legendre求积公式

将被积区间m等分, 记, 作变换

在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式, 累加即得复化Gauss-Legendre求积公式

不妨设

则有:

Gauss点个数时,

Gauss点个数时,

总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:

1. 分割区间, 记录区间端点值；

2. 通过查表或求解非线性方程组, 在所有小区间上, 将Gauss系数和Gauss点

的值代入变量替换后的公式；

3. 将所有区间的结果累加, 即得到整个区间上的积分近似值.

针对Gauss点个数和的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MAT LAB函数compgauss() 如下:

function [ ] = compgauss(a, b, n)

% Composite Gauss Integration

% Equation Type: n=2, n=3

% Coded by Nan.Xiao 2010-05-25

% Step.1 Divide Interval

% Step.2 Calculate

% Step.3 Sum Results

format long

f = (x) exp(x).*sin(x);

h=(b-a)/n;

xk=zeros(n+1,1);

xk(1,1)=a;

xk(n+1,1)=b;

fk1=zeros(n,1);

fk2=zeros(n,1);

for i=1:n-1

xk(i+1,1)=a+h*i;

end

for j=1:n

fk1(j)=f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)))+...

f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(1/sqrt(3)));

end

for r=1:n

fk2(r)=(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5))+...

(8/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(0))+...

(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(sqrt(15)/5));

end

mysum1=h*sum(fk1)/2;

mysum2=h*sum(fk2)/2;

disp('Result of 2 Nodes:')

disp(mysum1);

disp('Result of 3 Nodes:')

disp(mysum2);

end