Gauss整数环的主理想及其商环研究
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定 义 2 若环 R 的非空 子集 , 足下面 条件 : 满
1 是一 个 子加 群 ; ),
2 )对任 意 aE , r∈ R, 素 a ,a都 在 ,中 . , 元 rr
此 时我 们称 , 是环 尺 的一个 理想 .
定 义 3 我 们称 环 ( I +,) R/ , . 为环 R关 于理 想 ,的商环 , 中 其
() 3
() 4
由( ) 眦 =一 n 3式 y及 ( n m, )= 1 m ln n l 得 y,
故 m I , Y nl
令 Y = 麟 , = n 并将 其代 人 i =一 n t n x y得 r t=一rn ,. n≠ 0 .S=一t即 = n , =一mt a n u s ‘m ’ '. . , tY .
2 商 环
定 ll 理
Z 2∈ H
Im 凡 里 H ( m, 素所的集为 =2 2 记 = +i 元 z在陪记 : +, 这 凡 ) 则
z+H = { z+( +y)n+ m )IV , i( Y∈ z , 简记 为 [] z. 引理 4 设 日是 环 的一 个理 想 , Z +H = +日,即 [ b 则 。 z]= [ 的充分 必 要条 件是 。 z] 一 定理 1 的证 明 :当 ( 凡 m, )= 1 , 时 下证 0 12 … , ,,, m + n 一1 m 个 数在 不 同 的陪集 中 , 这 + 即 V ≠ Y 对 a bE {,,, , + 一1 , n—b H, , , 0 12… m }有 即设 0< b< 0 < m +凡 一l有 对任 何 ,
n + 7 , m
元 素个数 是 m +n .
关 键词 :G us 数环 ;理想 ;商环 ;素元 as 整 中图分 类 号 : 13 O 5 文献标 识 码 :A 文章 编 号 :6 16 7 ( 0 10 420 17 —8 6 2 1)60 8 —5
O 引言
王海 坤 … 提 出一 个猜 想 : as整 数 环 的商环 7 G us _ =
\ ● t ‘ ¨
元 素个 数不 超过 m 十n , in 并t  ̄了在 m : E
,
0 或 n =0 以及 m : 1 n任 意 ( n = 1 m 任 意 ) ( ) 但 或 但 的情 形下 7生_ _ 一 =
I n +
的 元素个 数恰 为 m + n .
m J
( s+t) n+m )+( +m t n i( v — )= ( s+ t ( i n+, ) n)+( + n ) m q+r=
( n+miz+r其 中 ) (
・
0≤ r< m +n , q∈ z )
.
.
( + v)一r=∈ 日 = ( i n+m ) .
第0O卷第2月 2l 年 16期 1 1
淮 阴 师 范 学 院学 报 ( 自然 科 学 )
J U N LO U II E C E SC L E E( a r c ne O R A FH AYN T A H R O L G N t a Si c) ul e
Vo . O No. 11 6 De c.2 1 0I
设 z表示整数环 ,表示虚数单位 , i 则高斯整数环 Z i 是指一切形如 a+6( , , [] a b Z i E =一1 的 ) 复 数关 于 数 的普通 加法 与 乘法 作成 的环 ,高斯 整数 环 中 的元 素 称为 高斯 整数 . 因此我 们有 以下定 义 :
定义 1 设 z 表示 整数 环 , 环 Z[]= { 则 i a+6 , 称 为 G us 数环 . IVa bE Z} as整
1 预 备 知 识
G us 数环 有 下列显 然 的基本 性 质 : as整 命题 l z[]的单 位 ( i 可逆 元 ) 1 一 1i i 是 , ,,一 .
收 稿 日期 : 0 1 90 2 1- 8 0
作者简介 :王小娟 (94 ) 18. ,女 , 湖北孝感人 ,助教 , 研究方 向为环论 及其应用
1进一步根据引理 2 得 a , , +b i 自然数 k a l 有 n 使( +b) k= n , l代人 a +b = n n , a l2得 +b
=
( +b) .2 a k n 有 . 2= 1所 以 k= 1 , , 2= 1 因此 , + b 素 数 . , a 是
故 “+v在 陪集 r i +H ∈ [ ] , M+v]:[ ]0< m r 中 即[ i r( +n 一1 , )
因,m)1有 } =2 2 . 而 (凡 时 1 {m 成 当 ,= + 立
引 5 R 一 环,‘是 的 想, .等 , 的 二 态 本 理 理[ 是 个 , , R 理 , , 兰 由 第 同 基 定 得 6 设 与都 c则 环 l II II .Gs 数 z] 理 , (+i {+ n m Ix ∈ : /孚I a 整 环 [, 想 =n m =( y(+i V, 对u s 主 ) ) ) Y
M+v i—CE H或 c一( “+v)∈ ( i n+ m )
‘ . ‘
( n m, )= 1 ‘ S tE Z, . ,. . , s t
+n t= 1
等式 两边 同乘 以 得 m y+ nv= , a t
・
.
.
“+v i= u+ ( s m v+nv i= ( t) n+ m ) )一n¥+ m t+ u i (s+ v v
所以 a +b =( +b) 口 +b)因 a a ( ; ; . +b 是素数 , 以 a 所 +b 1 a +b 1 = 或 ; ;:
故 a + bi a l 或 2+b 是单 位 , 以 a+ 6 是 素元 . 2 i 所
必要 性 : 假设 有 自然数 n ,2使 a l凡 , +b = n 2另 一方 面 , 1 , n 由于 a +b = ( a+ b)a— b)而 i( i, a+ 6 是 素元 , 以 a+ b l l a+ 6 2 所 i 或 n I . n 不妨 设 a+b I 即存 在 +y i , n ∈ Z[] 得 ( i使 a+6) +y)= n , 据 引理 1 ( i 根 应有 ( b a, )=
的元 素个 数就 是 m +n , 2 为了解 决上 述猜 想 , 文章 先 给 出 了 G us 数 as整
的初 等 的方 法 明确 了
环 的一 些相 关 定义 .我们 用 l I 示集 合 的元 素个 数 , 表 n+m 的范 数用 N( +mi i )= m + n 来 表示 , 表示 G us as 整数 环 中 的元 素 a的共 轭 . 下 面 给 出 G us as 整数 环 的一些 相关 定 义 :
,
YE Z, a—b≠ ( +y) n+, )令 c= a—b即对 任何 0< c< m ( n , +n 者 有 c≠ ( +y) n (
假设 c= ( +y ) n+ , )贝 有 i( n ,0
胱 一m = c y
, +n =0 似 y
+ m ) 反证 法 ) (
王海 坤 … 和文 王芳 贵 _ 2 都讨 论 了 G us 数 环 的商环 7 上 所 含元 素 的个 数 这个 问题 , 得 到 了很 as整 _ = 并
、 , ‘ r ,, ‘ ,
好的结果 , l_ 即 = 7
, 十
It , ft
l : :m +n其中( n+m ) i表示由 n+m 所生成的主理想 . i 而本文则 以一种新
G us 数环 的 主 理 想 及 其 商 环 研 究 as 整
王 小 娟
( 新疆机 电职业技术 学院 , 新疆 乌鲁木齐 80 1) 30 1
摘 要 : 究 了 Gus 研 as 整数 环 商 环 中元 素 的个 数 问题 , 用 一种 新 的初 等方 法 解 决 了 以下 猜 并
想 : as 整数 环 的商环 7 G us ~ . =
第 l 卷 0
( n d +( ) 2= n a)l 6 d
() 2
将() 1式代J() '2 式得 ( (d 一y )=n所以 口 +bI . v 0 +b)x d , n
引理 3 若 a+ b E Z[ , a b≠ 0则 a+b 是 素元 的充 要条 件是 : + b 素数 . i ]且 , , i a 是 证 明 ( 分性 ) 充 设有 a bia + l, 2+6 E Z[] 得 a+6 2 使 i : ( 1 b ( 2+ b ) a+ l a ) 2
R/ I= { a+ , aE R} ( , , a+, )+( b+, )= ( a+b )+, ( , 0+, ( )・ b+, )= a b+ , .
定义 4 设 H : ( n+ m ): { +y) T i ( i( t+mi , 为 z[ 的 一个 主理 想 . )lV YE Z} ]
第 6期
-/ 娟 : as 整数环的主理想及其商环研究 vJ G us ,
பைடு நூலகம்
45 8
z} ( n : > 1则 ]ml n 若 m, )= d , , l∈ Z, . m = m1 , = n d且 ( , i st n d l ml n )= 1
,= { +y) n+m )IV , ( i( i y∈ Z}= { ( +y) 凡 d i( 。+,l)IV , n Y∈ Z} i
( k+l) n + ,。 i( l n )∈ J 其 中 , z=0 ] 2 , , ,… d一1 对 ( )中的任 意 两个不 同的元 素 a与 , 【 . 5 有
=
() 5
( 1 zi( 1 ,l) = ( 2+ Z ) n +,1) k + l) n + n i , k 2 ( l 孔 i,
第 6 期
王小娟 : as整数环 的主理想 及其 商环研究 G us
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或
= = I x
一
O
证 由 + + : 得 僦一 : 明 ( 6( ) n 到{ ) , ) 即
r an
i 1
【 一 y
( 1 )
44 8
淮阴师范学 院学 报( 自然科学 )
其 中 ,,k ,: 全相 同 , Z,: z 不 即坐 标 ( ,。 。 Z)≠ ( Z)则 k , ,
a — =
[ k —k)+ (l f) ]n +mI) (l 2 f + 2 i( l i
下证 : a一 8硭 , ( 证法 ) :反
i ( i( l , i l mI ≠0 k 假 设 O一』∈ ,贝 [ k t 6 . ,0 ( 一k) 1 l) ] n +,l)= d +y ) 凡 +ml) ( , ) ( 2 +( 2 i ( l n
再代 A ( ) 3 式得 t m ( +n )= c ‘ c>0 . ,. ‘ t<0 c: t m , ( +n )≥ m +n . 这 显然 与上 式 0< c< m + n 矛 盾 .
下 证对 任 意 “+v E Z[]必存 在 整数 C且 0≤ C< m i i, + 凡 一1 得 使
若主理想 . =( +m i , . )= { +y)n ( i( +m。)I , i Y∈ Z}则显然 ,c J , 且有
-
下证 : 车 l d : l :
在 t中选 取 d , 个元 素
・・ :
t一 ,以 /手, 一 所
一 n・ . =m+ 孚一 )
1 是一 个 子加 群 ; ),
2 )对任 意 aE , r∈ R, 素 a ,a都 在 ,中 . , 元 rr
此 时我 们称 , 是环 尺 的一个 理想 .
定 义 3 我 们称 环 ( I +,) R/ , . 为环 R关 于理 想 ,的商环 , 中 其
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由( ) 眦 =一 n 3式 y及 ( n m, )= 1 m ln n l 得 y,
故 m I , Y nl
令 Y = 麟 , = n 并将 其代 人 i =一 n t n x y得 r t=一rn ,. n≠ 0 .S=一t即 = n , =一mt a n u s ‘m ’ '. . , tY .
2 商 环
定 ll 理
Z 2∈ H
Im 凡 里 H ( m, 素所的集为 =2 2 记 = +i 元 z在陪记 : +, 这 凡 ) 则
z+H = { z+( +y)n+ m )IV , i( Y∈ z , 简记 为 [] z. 引理 4 设 日是 环 的一 个理 想 , Z +H = +日,即 [ b 则 。 z]= [ 的充分 必 要条 件是 。 z] 一 定理 1 的证 明 :当 ( 凡 m, )= 1 , 时 下证 0 12 … , ,,, m + n 一1 m 个 数在 不 同 的陪集 中 , 这 + 即 V ≠ Y 对 a bE {,,, , + 一1 , n—b H, , , 0 12… m }有 即设 0< b< 0 < m +凡 一l有 对任 何 ,
n + 7 , m
元 素个数 是 m +n .
关 键词 :G us 数环 ;理想 ;商环 ;素元 as 整 中图分 类 号 : 13 O 5 文献标 识 码 :A 文章 编 号 :6 16 7 ( 0 10 420 17 —8 6 2 1)60 8 —5
O 引言
王海 坤 … 提 出一 个猜 想 : as整 数 环 的商环 7 G us _ =
\ ● t ‘ ¨
元 素个 数不 超过 m 十n , in 并t  ̄了在 m : E
,
0 或 n =0 以及 m : 1 n任 意 ( n = 1 m 任 意 ) ( ) 但 或 但 的情 形下 7生_ _ 一 =
I n +
的 元素个 数恰 为 m + n .
m J
( s+t) n+m )+( +m t n i( v — )= ( s+ t ( i n+, ) n)+( + n ) m q+r=
( n+miz+r其 中 ) (
・
0≤ r< m +n , q∈ z )
.
.
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第0O卷第2月 2l 年 16期 1 1
淮 阴 师 范 学 院学 报 ( 自然 科 学 )
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设 z表示整数环 ,表示虚数单位 , i 则高斯整数环 Z i 是指一切形如 a+6( , , [] a b Z i E =一1 的 ) 复 数关 于 数 的普通 加法 与 乘法 作成 的环 ,高斯 整数 环 中 的元 素 称为 高斯 整数 . 因此我 们有 以下定 义 :
定义 1 设 z 表示 整数 环 , 环 Z[]= { 则 i a+6 , 称 为 G us 数环 . IVa bE Z} as整
1 预 备 知 识
G us 数环 有 下列显 然 的基本 性 质 : as整 命题 l z[]的单 位 ( i 可逆 元 ) 1 一 1i i 是 , ,,一 .
收 稿 日期 : 0 1 90 2 1- 8 0
作者简介 :王小娟 (94 ) 18. ,女 , 湖北孝感人 ,助教 , 研究方 向为环论 及其应用
1进一步根据引理 2 得 a , , +b i 自然数 k a l 有 n 使( +b) k= n , l代人 a +b = n n , a l2得 +b
=
( +b) .2 a k n 有 . 2= 1所 以 k= 1 , , 2= 1 因此 , + b 素 数 . , a 是
故 “+v在 陪集 r i +H ∈ [ ] , M+v]:[ ]0< m r 中 即[ i r( +n 一1 , )
因,m)1有 } =2 2 . 而 (凡 时 1 {m 成 当 ,= + 立
引 5 R 一 环,‘是 的 想, .等 , 的 二 态 本 理 理[ 是 个 , , R 理 , , 兰 由 第 同 基 定 得 6 设 与都 c则 环 l II II .Gs 数 z] 理 , (+i {+ n m Ix ∈ : /孚I a 整 环 [, 想 =n m =( y(+i V, 对u s 主 ) ) ) Y
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故 a + bi a l 或 2+b 是单 位 , 以 a+ 6 是 素元 . 2 i 所
必要 性 : 假设 有 自然数 n ,2使 a l凡 , +b = n 2另 一方 面 , 1 , n 由于 a +b = ( a+ b)a— b)而 i( i, a+ 6 是 素元 , 以 a+ b l l a+ 6 2 所 i 或 n I . n 不妨 设 a+b I 即存 在 +y i , n ∈ Z[] 得 ( i使 a+6) +y)= n , 据 引理 1 ( i 根 应有 ( b a, )=
的元 素个 数就 是 m +n , 2 为了解 决上 述猜 想 , 文章 先 给 出 了 G us 数 as整
的初 等 的方 法 明确 了
环 的一 些相 关 定义 .我们 用 l I 示集 合 的元 素个 数 , 表 n+m 的范 数用 N( +mi i )= m + n 来 表示 , 表示 G us as 整数 环 中 的元 素 a的共 轭 . 下 面 给 出 G us as 整数 环 的一些 相关 定 义 :
,
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王海 坤 … 和文 王芳 贵 _ 2 都讨 论 了 G us 数 环 的商环 7 上 所 含元 素 的个 数 这个 问题 , 得 到 了很 as整 _ = 并
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G us 数环 的 主 理 想 及 其 商 环 研 究 as 整
王 小 娟
( 新疆机 电职业技术 学院 , 新疆 乌鲁木齐 80 1) 30 1
摘 要 : 究 了 Gus 研 as 整数 环 商 环 中元 素 的个 数 问题 , 用 一种 新 的初 等方 法 解 决 了 以下 猜 并
想 : as 整数 环 的商环 7 G us ~ . =
第 l 卷 0
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引理 3 若 a+ b E Z[ , a b≠ 0则 a+b 是 素元 的充 要条 件是 : + b 素数 . i ]且 , , i a 是 证 明 ( 分性 ) 充 设有 a bia + l, 2+6 E Z[] 得 a+6 2 使 i : ( 1 b ( 2+ b ) a+ l a ) 2
R/ I= { a+ , aE R} ( , , a+, )+( b+, )= ( a+b )+, ( , 0+, ( )・ b+, )= a b+ , .
定义 4 设 H : ( n+ m ): { +y) T i ( i( t+mi , 为 z[ 的 一个 主理 想 . )lV YE Z} ]
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பைடு நூலகம்
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z} ( n : > 1则 ]ml n 若 m, )= d , , l∈ Z, . m = m1 , = n d且 ( , i st n d l ml n )= 1
,= { +y) n+m )IV , ( i( i y∈ Z}= { ( +y) 凡 d i( 。+,l)IV , n Y∈ Z} i
( k+l) n + ,。 i( l n )∈ J 其 中 , z=0 ] 2 , , ,… d一1 对 ( )中的任 意 两个不 同的元 素 a与 , 【 . 5 有
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王小娟 : as整数环 的主理想 及其 商环研究 G us
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或
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( 1 )
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淮阴师范学 院学 报( 自然科学 )
其 中 ,,k ,: 全相 同 , Z,: z 不 即坐 标 ( ,。 。 Z)≠ ( Z)则 k , ,
a — =
[ k —k)+ (l f) ]n +mI) (l 2 f + 2 i( l i
下证 : a一 8硭 , ( 证法 ) :反
i ( i( l , i l mI ≠0 k 假 设 O一』∈ ,贝 [ k t 6 . ,0 ( 一k) 1 l) ] n +,l)= d +y ) 凡 +ml) ( , ) ( 2 +( 2 i ( l n
再代 A ( ) 3 式得 t m ( +n )= c ‘ c>0 . ,. ‘ t<0 c: t m , ( +n )≥ m +n . 这 显然 与上 式 0< c< m + n 矛 盾 .
下 证对 任 意 “+v E Z[]必存 在 整数 C且 0≤ C< m i i, + 凡 一1 得 使
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下证 : 车 l d : l :
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・・ :
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