随机变量和随机过程定义

• 随机向量是一元/维随机变量，数字特征等前 面讲过了，现在只讲多维随机变量。 • (X,Y)是二维随机变量，F x, y = P(X ≤ ������, ������ ≤ ������)为二维随机变量的联合分布函数，表示两个 事件同时发生的概率。F x, y 的边际分布函数 是F(∞,y)和F x, ∞ 。联合概率密度函数是 F x, y 的二阶偏导，边际密度函数是边际分布 函数的导数。 • 多维随机变量：一般不研究其数学期望和方差 等。
• 自协方差 C(������ ������1 , ������ ������2 ) = ������ ������ ������1 ������ ������2 − ������ ������ ������1 -������,������ ������2 (与������1 ，������2 相关的函数)， • 互协方差 C(������ ������1 , ������ ������2 ) = ������,������ ������1 Y ������2 - - ������ ������ ������1 E,Y ������2 - ， • 均值函数为0的随机过程的协方差就是相关函数。
• 多维随机过程是多个随机过程的向量。例 如(X(t),Y(s))，指标集可以相同也可以不同。 X(t)和Y(s)同时发生，进行预测和研究。
• •
如有错误，欢迎留言交流。 2018年10月18日
• 随机变量是赋予随机试验的每一个结果的数。 例如：投一个均匀的硬币，观察向上的年是正 面还是反面。一次实验的可能结果：正面朝上、 反面朝上。 • 我们对“正面朝上”赋值为1，“反面朝上” 赋值为0，这个过程就是一个随机变量。 • 与随机变量同时出现的一些概念是：随机事件、 基本随机事件������������ 、全部随机事件的集合ℱ （样 本空间Ω）、样本点（每个基本事件称为一个 ������������ 样本点）、样本空间Ω，概率P（频率 ）、 ������ 概率空间(Ω，ℱ，������)。
• 假设X 和Y 是随机变量，X可取值为{1,2,3,4}，Y可取 值为{2,4,6,8}. • 多维随机变量是随机向量。随机向量是样本空间到 实数组集合的映射。例如（X,Y）是二维随机变量， 对应的是实数对，可以取值为（1,2）。 • 多元随机变量是一个随机变量，只不过是多元的。 例如XY是二元随机变量，可以取值为1 × 2=2.函数 f(XY)是XY的函数。 • 总结：维是代表r.v.维度增多了，元代表r.v.个数增多 了。 • 无论是多元随机变量还是多维随机变量都是事件的 交集，同时发生。
• 研究随机变量的目的是通过研究随机变量的概 率特性，或者叫统计特性，来反映和预测结果。 • 随机变量的数字特征：数学期望（均值：反映 数据集中在哪个量附近，一般不与随机变量的 取值相同），方差百度文库反映波动大小：反映数据 的集中程度），两个随机变量的协方差（反映 两个随机变量的相依关系），分布函数（/分 布律：反映随机变量落入某区域的概率），密 度函数（连续r.v.：分布函数的导数，反映随机 变量在某点附近概率的变化快慢，密度函数的 积分就是分布函数）
• 随机过程中不研究分布函数，研究谱分布 函数和谱密度函数。 • 随机过程的各阶导数也是随机过程，随机 过程的积分一般为一个数，有另外的积分 形式仍然是一个随机过程，也就是滤波 （可理解为：一种把一个随机过程转换为 另一种随机过程的算子）。
• 随机过程：多元随机过程和多维随机过程。
• 多元随机过程，是一个随机过程。如 X(t)Y(t),X(t)+Y(t)等，参数相同，也就是指标 集相同。不是所有的随机过程之间的运算 都是有现实意义的。
• 研究内容不同，随机变量不同。即使是同一个随机试 验，需要观察的现象不同，所对应的随机变量就不同。 • 例如掷骰子，（1）观察正面朝上的数字是多少；（2） 观察正面朝上的数字是奇数还是偶数；（3）观察正 面朝上的数字是否大于3； • （1）样本点有6个，{������1 ，������2 ，������3 ，������4 ，������5 ，������6 }， • （2）样本点有2个，{������1 ，������2 }，与（1）的关系 ������1 = *������1 ，������3 ，������5 +， • （3）样本点有2个，{������1 ，������2 }，与（1）的关系是 ������1 = ������1 ，������2 ，������3 。
• 随机变量都是静态的。 • 随机过程可以理解为动态的随机变量族。随机过程是一族随 机变量，有两个参数t和������ 。随机变量������������ , ������ = 1,2,3 … …,随机过 程是{������������ , ������ = 1,2,3 … …,} • 数学上的随机过程用*X(t),������������������},T是一个指标集，可以是可数 的*������1 ，������2 , … , ������������ ,…}，也可以是不可数的,0,10-。T具有偏序性 质。现实生活中常表示时间。 • 研究数学期望������ ������ ������ = ������(������)，