随机变量附其分布列概念公式总结
分布列知识点总结
分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。
对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。
1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。
（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。
二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。
根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。
2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。
这对于一些概率问题的求解非常有用。
三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。
3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。
设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。
四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。
分布列计算公式
分布列计算公式分布列是概率论中的一个重要概念，特别是在高中数学的概率统计部分经常会用到。
那咱们就来好好聊聊分布列计算公式。
在学习分布列的时候，我想起曾经教过的一个学生小明。
小明这孩子特别聪明，但是对于分布列的计算一开始总是有点迷糊。
咱们先来说说啥是分布列。
简单来说，分布列就是把随机变量的所有可能取值以及对应的概率都罗列出来。
比如说，扔一个骰子，随机变量 X 表示骰子的点数，那么 X 就可能是 1、2、3、4、5、6，每个点数出现的概率就是 1/6，这就是一个简单的分布列。
那分布列的计算公式是啥呢？一般来说，如果随机变量 X 有 n 个可能的取值 x1, x2,..., xn，对应的概率分别是 p1, p2,..., pn，那么这个分布列就可以写成 P(X = xi) = pi （i = 1, 2,..., n）。
这里要注意，所有的概率 pi 之和必须等于 1 ，这是个关键的点哦！咱们就拿小明做过的一道题来说吧。
有一个抽奖活动，盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机抽取 3 个球，设随机变量 X 表示抽到红球的个数，求 X 的分布列。
首先，X 可能的取值是 0、1、2、3 。
当 X = 0 时，也就是一个红球都没抽到，概率就是从 3 个白球中选3 个的组合数除以从 8 个球中选 3 个的组合数。
当 X = 1 时，就是抽到 1 个红球 2 个白球，这时候就要算从 5 个红球中选 1 个，从 3 个白球中选 2 个的组合数，然后除以从 8 个球中选 3 个的组合数。
以此类推，算出 X = 2 和 X = 3 时的概率。
在这个过程中，小明一开始总是弄混组合数的计算，不是少乘了个系数，就是分母的总数搞错了。
我就一遍遍地给他讲，还让他自己多动手算几遍。
通过这道题，小明终于搞清楚了分布列计算公式的运用。
其实啊，分布列的计算就是要细心，把每种情况都考虑清楚，按照公式一步一步来，可不能马虎。
再比如说，在一个班级里，随机抽取学生参加比赛，设随机变量 Y 表示被抽取的男生人数。
高二概率分布列知识点总结
高二概率分布列知识点总结概率分布列是概率论中的一种重要工具，用于描述离散型随机变量的取值与其概率之间的关系。
在高二阶段，学生需要掌握概率分布列的概念、性质以及计算方法等知识点。
本文将从这些方面逐一进行总结。
一、概率分布列的概念概率分布列是指将随机变量的所有可能取值及其对应的概率按照一定的格式列出来，以便于统计和分析。
对于一个离散型随机变量X，概率分布列的一般形式为：X | x1 | x2 | ... | xnP(X) | p1 | p2 | ... | pn其中，x1、x2、...、xn 表示随机变量X的所有可能取值，p1、p2、...、pn 表示对应取值的概率。
二、概率分布列的性质1. 概率非负性：对于所有可能取值xi，其对应的概率pi必须大于等于零，即pi ≥ 0。
2. 概率和为1：概率分布列中的所有概率之和必须等于1，即p1 + p2 + ... + pn = 1。
三、概率分布列的计算方法1. 等可能事件的概率分布列：当随机变量的各个取值具有相同的概率时，可以使用等可能事件的概率分布列。
例如，抛硬币的结果是正面或反面，它们的概率都是1/2。
2. 频率概率的概率分布列：当通过实验或观察来确定随机变量的各个取值及其对应的概率时，可以使用频率概率的概率分布列。
例如，通过调查某班同学身高的分布情况，可以得到相应的概率分布列。
3. 几何概率的概率分布列：当随机变量的取值来自于几何概率的实验，如抽奖、投掷骰子等时，可以使用几何概率的概率分布列。
例如，抛硬币出现正面的次数，它的概率分布列为：X | 0 | 1 | 2P(X) | 1/2 | 1/2 | 0四、常见概率分布列1. 二项分布：二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数满足概率分布列。
例如，n次抛硬币的正面次数，其概率分布列可以通过二项分布计算得出。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一段时间或一定区域内，独立事件发生的次数满足概率分布列。
随机变量及其分布总结
随机变量及其分布1、基本概念⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A B C 、、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A B C 、、彼此互斥. 当A B 、是互斥事件时，那么事件A B +发生（即A B 、中有一个发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的和，即()()(P A B P A P B +=+.⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A . 对立事件的概率和等于1. ()1()P A P A =-.特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.⑶相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当A B 、是相互独立事件时，那么事件A B ⋅发生（即A B 、同时发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的积.即()()()P A B P A P B ⋅=⋅.若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的.⑷独立重复试验①一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.②独立重复试验的概率公式p ，那么在n 次独立重复试验中这个试验恰好发生k 次的概率()()(1)0,12,.,k k n k n n P k n k C p p -==-⑸条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 发生的概率.知识结构公式：()(),()0.()P AB P B A P A P A => 2、离散型随机变量 ⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母,,,X Y ξη等表示.⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X 是随机变量，(,Y aX b a b =+是常数）则Y 也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列⑴概率分布（分布列）设离散型随机变量X 可能取的不同值为12,x x ，…，i x ，…，n x ，X )i i X x p ==，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列.性质：①0,1,2,...;i p i n ≥= ②1 1.n i i p ==∑⑵两点分布则称X 服从两点分布，并称(1)p P X ==为成功概率.⑶二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是()(1).k k n k n P X k C p p -==-我们称这样的随机变量X 服从二项分布，记作()p n B X ,~，并称p 为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n 次;① 等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.② 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是,,.p k n⑷超几何分布一般地, 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{}X k =发生的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===,于是得到随机变量X其中{}min ,m M n =,*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤. 我们称这样的随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从超几何分布.注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；⑵超几何分布中的参数是,,.M N n 其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值则称()1122i i n n E X x p x p x p x p =+++++为离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差则称21()(())n ii i D X x E X p ==-∑为离散型随机变量X 的方差，为随机变量X 的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. ()D X 越小，X 的稳定性越高，波动越小，取值越集中；()D X 越大，X 的稳定性越差，波动越大，取值越分散.。
高考数学总复习考点知识专题讲解11 离散型随机变量及其分布列
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题11离散型随机变量及其分布列知识点一 随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X ，Y ，Z ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x ，y ，z .3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二 离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为() ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数1X ；②一个沿直线2y x 进行随机运动的质点离坐标原点的距离X；③某同学射击3次，命中的次数3X；④某电子元件的寿2命X；4A．①②B．③④C．①③D．②④【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例3】（2023•辽宁期末）随机变量X的分布列如下表所示，则(2)(…)P XA ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【例4】（2022•朝阳区开学）设随机变量X 的分布列为()(1P X k k k λ===，2，3，4)，则λ的值为() A ．10B ．110C ．10-D ．110-【例5】（2023•珠海期末）已知某离散型随机变量ξ的分布列为：则(q =)A ．13和1-B ．13C ．12D ．1-【例6】（2022•多选•天津模拟）设随机变量ξ的分布列为()(15kP ak k ξ===，2，3，4，5)，则()A ．115a =B ．141()255P ξ<<= C ．112()10215P ξ<<=D ．23()510P ξ=…【例7】（2023•湖北模拟）设随机变量ξ的分布列如表：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a += B ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+C ．当数列{}n a 满足1(1,2,9)2n na n ==时，10912a =D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，10)时，1110(1)n a n n =+知识点四 两点分布如果P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，那么X 的分布列为我们称X 服从两点分布或0－1【例8】（多选）若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法错误的是()A ．常数c 的值为23或13B ．常数c 的值为23C ．1(0)3P X ==D ．2(0)3P X ==【例9】（2023•阜南县期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【例10】（2023•崂山区期末）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．同步训练1.（2022•多选•临朐县开学）下列X是离散型随机变量的是()A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数XB ．一天内的温度为XC ．某网页一天内被点击的次数XD ．射击运动员对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X 表示该运动员在一次射击中的得分2.（2023•上蔡县校级月考）设随机变量ξ的概率分布列如下表：则(|2|1)(P ξ-==) A ．712B ．12C ．512D ．163.（2023•周至县期末）设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4,5,6)2kcP X k k ===，其中c 为常数，则(2)P X …的值为() A ．34B ．1621C ．6364D ．64634.（2023•多选•宝安区期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为()A ．12-B ．12C ．14D ．14-5.（2023•和平区校级期末）设随机变量与的分布列如下：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B ．当数列{}n a 满足1(12n na n ==，2，⋯，9)时，10912a = C ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，⋯，10)时，1110(1)n a n n =+6.（2023•郫都区模拟）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．。
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布一，离散型随机变量1，试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。
2，随机试验：一个试验如果满足（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，那么，这个试验就叫做随机试验。
3，随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母ηξ,,,Y X 表示。
例如抛筛子、掷硬币 4，离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量二，离散型随机变量的分布列要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道： 1，X 所有可能取的值n x x x ,,,21 ； 2，X 取每一个值i x 的概率n p p p ,,,21 分布列 ：我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列。
3，离散型随机变量的分布列性质：（1）*,0N i p i ∈≥；（2）1321=++++n p p p p三，两点分布与超几何分布1，两点分布若随机变量X 的分布列为则称X 的分布列为两点分布列。
如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，并称)1(==x P p 为成功概率 2，超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}k X =发生的概率为nNk n MN k M CC C k x P --==)(（m k ,2,1,0=），其中{}*,,,,,,min N N M n N M N n n M m ∈≤≤=且，称为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布四，独立重复试验与二项分布1，独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
2，独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率：一般的，如果在1次实验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率=)(k P n k n k knp p C --)1(，（n k ,2,1,0=）3，二项分布：一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：==)(k X P kn k k n p p C --)1(，（n k ,2,1,0=）此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X ，并称p 为成功概率五，离散型随机变量的均值1，一般的，若离散型随机变量X 的分布列为则称：n n i i p x p x p x p x x E +++++= 2211)(为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
高中数学知识点总结：随机变量及其分布
高中数学知识点总结：随机变量及其分布随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
随机变量及其分布考点总结
第二章 随机变量及其分布 复习一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.1=≥i p ； ②121=++++ i p p p .注意：若随机变量可以取某一区间的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题：1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1)cP k k k k ξ===+……，则P(13)____ξ≤≤=2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为17，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。
（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。
4已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)二、几种常见概率1、条件概率与事件的独立性（1）B|A 与AB 的区别：__________________（2）P(B|A)的计算公式_____________,注意分子分母事件的性质相同 （3）P(AB)的计算公式_____________注意三点：前提，目标，一般情况___________________ （4）P （A+B ）的计算公式__________注意三点：前提，目标，一般情况____________________ 典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、把一副扑克52随即均分给钱四家，A={家得到六章草花}，B={家得到3草花}，计算P(B|A)，P(AB)3、从混有5假钞的20百元钞票中任取两，将其中1在验钞机上检验发现是假钞，求两都是假钞的概率。
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布公式可以用二项分布来描述。
二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，恰好发生k次某事件的概率。
3，二项分布的概率分布：设某事件在一次试验中发生的概率为p，不发生的概率为1-p，则在n次独立重复试验中，恰好发生k次这个事件的概率为P(x=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即C(n,k)=n!/k!(n-k)!4，二项分布的性质：1）二项分布是离散型概率分布；2）二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
1.二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，记作X~B(n,p)。
其中，p为成功概率，k为发生次数，n为试验次数。
2.离散型随机变量的均值：如果离散型随机变量X的分布列为p1,p2.pn，则随机变量X的均值或数学期望为E(X)=Σ(xi*pi)，即所有取值与对应概率的乘积之和，反映了离散型随机变量取值的平均水平。
3.均值的性质：如果Y=aX+b，其中a和b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX+b)=aE(X)+b。
4.常用分布的均值：1) 两点分布：E(X)=1*p+0*(1-p)=p。
2) 二项分布：E(X)=np。
3) 超几何分布：E(X)=nM/N。
5.离散型随机变量的方差：离散型随机变量X的方差D(X)描述了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算数平方根σX为随机变量X的标准差。
方差的计算公式为D(X)=Σ[(xi-E(X))^2*pi]，即所有偏离程度的平方与对应概率的乘积之和。
6.方差的性质：1) 常数的方差为0.2) 随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身。
3) 随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的积。
7.常用分布的方差：二项分布的方差为D(X)=np(1-p)。
随机变量及其分布知识点总结
随机变量及其分布知识点总结随机变量是数学中的一个基本概念,描述了一个随机事件的可能结果。
在概率论和统计学中,随机变量的分布是研究随机变量性质的重要工具。
本文将总结随机变量及其分布的相关知识,包括随机变量的定义、表示、分布、期望、方差等。
一、随机变量的定义随机变量是一种描述随机事件可能的变量,通常用符号 $X$ 表示。
随机变量的取值可以是离散的或连续的。
离散的随机变量只取有限或可数个取值,而连续的随机变量则取无限个取值。
二、随机变量的表示随机变量的表示通常用概率密度函数 $f_X(x)$ 或概率质量函数$g_X(x)$ 表示。
概率密度函数是描述随机变量取值分布的函数,通常用$f_X(x)$ 表示。
概率质量函数是描述随机变量离散程度的函数,通常用$g_X(x)$ 表示。
三、随机变量的分布随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布。
离散分布描述了随机变量只取有限或可数个取值的概率分布,连续分布描述了随机变量取无限个取值的概率分布。
1. 离散分布离散分布通常用 $P(X=x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
离散分布的概率质量函数通常用 $g_X(x)$ 表示。
例如,正态分布的概率质量函数为:$$g_X(x) = frac{sqrt{2pi}}{x!}e^{-frac{(x-1)^2}{2}}$$2. 连续分布连续分布通常用 $P(X leq x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
连续分布的概率质量函数通常用 $f_X(x)$ 表示。
例如,均匀分布的概率质量函数为: $$f_X(x) = begin{cases}1, & x in [0,1],0, & x in [1,2],end{cases}$$四、期望和方差随机变量的期望是随机变量的取值的总和。
离散分布的期望通常用$E(X)$ 表示,连续分布的期望通常用 $E[X]$ 表示。
期望的概率质量函数通常用$f_X(x)$ 表示。
随机变量及其分布列知识点
n 次独立重复试验的公式:
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数 为X ,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次 独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为
P( X k) Cnk pk (1 p)nk Cnk pkqnk , k 0,1,2,..., n. (其中q 1 p)
独立， 则称事件 A1，A2 ，… ，An 两两相互独立.
(2)一般地,如果事件A 1,A2,…,An 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积，
即 P( A1A2...An ) P( A1)P( A2 )...P( An )
n次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为
A AB B
如果 B和C 互斥，
那么 P(B C) | A P(B | A) P(C | A)
相互独立事件的定义: 设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发
生的概率没有影响(即 P( AB) P( A)P(B) ), 则称
事件A与事件B相互独立.
即A、B相互独立 P( AB) P( A)P(B)
1．两点分布是特殊的二项分布x (1 p)
（即n=1的二项分布）
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数x .
⑴如果是有放回地取，则x B(n, M )
N
⑵如果是不放回地取, 则x 服从超几何分布.
P(x
k)
C C k nk M NM
显然: (1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. (2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解
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正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a
)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量
的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。
(完整版)随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。
随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。
离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。
概率可以通过实验或理论分析得出。
在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。
离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。
3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。
如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。
离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。
期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。
标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。
它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。
例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。
这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。
另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。
连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。
概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。
随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格6.两点分布列:7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM NMnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
(完整版)分布列概念
1. 分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x i ,x 2,…3X …x 若取每一个值x i (i=1,2, , -n)的概率为P( x i ) P i ，则称表为随机变量的概率分布，简称 的分布列 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) P i > 0,i=1,2 …，n ; (2) P i +P 2+n+P n =1要点四、两类特殊的分布列1. 两点分布随机变量X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列.要点诠释：(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1)为成功率. (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛 ，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究2. 超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有 X 件次品，则则事件{X=k }n N,M N,n, M,N N •称分布列为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列， 则称随机变量 X 服 从超几何分布1. 定义设A 、B 为两个事件，且P(A) 0，在已知事件 A 发生的条件下，事件B 发生的概 率叫做条件概率。
用符号 P(B | A) 表示。
发生的概率为P(Xk)k n kC M C N MC N,k 0,1,2,L ,m ,其中min{ M , n},且P(B| A)读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的. 而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.2 . P ( A | B)、P (AB)、P (B)的区别P (A | B)是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
随机变量及其分布列
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布一、离散型随机变量及其分布列随机变量是指在试验中可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的。
离散型随机变量是指所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量。
离散型随机变量常用大写字母X,Y表示。
离散型随机变量的分布列是将所有可能的取值与对应的概率列出的表格。
二、几类典型的随机分布1.两点分布二点分布是指随机变量X的分布列为X:1，P:pq，其中p 为0~1之间的参数，q为1-p。
伯努利试验只有两种可能结果的随机试验，因此又称为伯努利分布。
2.超几何分布超几何分布是指有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件，这n件中含有这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为C(n,m)C(M,m)/C(N,n)。
超几何分布只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X=m)，从而列出X的分布列。
3.二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，事件A不发生的概率为q=1-p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^kq^(n-k)。
其中p为事件A发生的概率，k为事件A发生的次数，n为试验的总次数。
首先，将文章中的格式错误和明显有问题的段落删除。
然后对每段话进行小幅度改写。
对于二项分布，当一个试验重复进行n次，每次成功的概率为p，失败的概率为q=1-p时，事件发生k次的概率可以用公式P(n,k) = n。
/ (k!(n-k)!) * p^k * q^(n-k)来计算。
这个公式可以展开成X的分布列，其中X表示事件发生的次数。
因为每个值都可以对应到表中的某个项，所以我们称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。
二项分布的均值和方差可以用公式E(X) = np和D(X) = npq(q=1-p)来计算。
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。
(完整版)分布列概念
1. 分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x 1,x 2,…,x 3,…x n ,若取每一个值x i (i=1,2,…，n)的概率为，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）P i ≥0,i=1,2，…，n ；（2）P 1+P 2+…+P n =1 要点四、两类特殊的分布列 1. 两点分布像上面这样的分布列称为两点分布列． 要点诠释：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 2. 超几何分布一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则则事件 {X=k ｝发生的概率为, 其中，且．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布ξξi i P x P ==)(ξξξM N n X (),0,1,2,,k n kM N MnNC C P X k k m C --===L min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈要点一、条件概率的概念 1.定义设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。
用符号表示。
读作：发生的条件下B 发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P （A ｜B ）、P （AB ）、P （B ）的区别P （A ｜B ）是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
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随机变量及其分布总结
1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．
2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：
（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P
1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格
6.两点分布列:
7超几何分布列：
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品
数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k
M N M
n
N
C C P X k k m C --===,其中
mi n {,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k
n k k n n q p C k P -==)(ξ，
（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1 … k … n
P
n
n q p C 00
111-n n q p C … k
n k k n q p C - …
q p C n n n
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξE μ （5）b aE b a E +=+ξξ)(
11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,
ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 12. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差， 13.方差的性质：
（1）若ξ服从两点分布，则=ξD p (1-p )． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )． （3）()0=c D ，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξD 2σ （5）ξξD a b a D 2)(=+
14正态分布密度函数可写成
22
()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞，（σ
＞0）
15正态分布：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足
,()()b
a
P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal
distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作
),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 16．正态曲线的性质：
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交 （2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称 （3）曲线在x=μ
（4）曲线与x 轴之间的面积为1
（5）μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
（6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移。
17．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，
2
221)(x e
x f -
=
π
，（-∞＜x ＜+∞）
18（1）()6826.0=+≤<-σμσμx P
（2）()9544.022=+≤<-σμσμx P （3）()9974.033=+≤<-σμσμx P。