二次函数根的分布

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程

02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2

00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，

方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

分

布情况

两个负根即两根都小于0

()120,0x x << 两个正根即两根都大于0

()120,0x x >>

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<

大致图象（

>a ）

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

0200

b a f ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪>⎪⎩ ()00

大

致图象（

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪<⎪⎩ ()0

0200

b a f ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f

综

合结论（不讨论

a

）

()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪

-

<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0

0200

b a a f ∆>⎧⎪⎪

-

>⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a

分布情况

两根都小于k 即

k x k x <<21,

两根都大于k 即 k x k x >>21,

一个根小于k ，一个大于k 即

21x k x <<

大致图象（

>a ）

得出的结论

()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

20

b k a f k ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪>⎪⎩ ()0

大致图象（

得出的结论

()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪<⎪⎩ ()0

20

b k a f k ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f

综

合结论（不讨论

a

）

()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨

⎪⋅>⎪⎩ ()0

20

b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨

⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a

分

布情况

两根都在()n m ,内

两根有且仅有一根在()n m ,内

（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<

大致图象（

>a ）

k

k

k

得出的结论

()()0002f m f n b m n

a ∆>⎧⎪

>⎪⎪

>⎨⎪⎪<-<⎪⎩

()()0<⋅n f m f

()()()()0

000f m f n f p f q ⎧>⎪

<⎪⎨<⎪⎪>⎩

或()()()()0

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨

<⎪

⎩ 大致图象（

得出的结论

()()0002f m f n b m n

a ∆>⎧⎪

<⎪⎪

<⎨⎪⎪<-<⎪⎩

()()0<⋅n f m f

()()()()0000

f

m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩

或()()()()0

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩

综合结论（不讨论

a

）

——————

()()0<⋅n f m f

()()()()⎪⎩⎪

⎨

⎧<<0

0q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()外，即在区间两侧12，（图形分别如下）需满足

的条件是

（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()

0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：

1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以

求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2

220mx m x -++=在区间

()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为

2

m

，由213m <<得2

23m <<即

为所求；

2︒方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2

4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314

m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或3

2

m =

，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15

314

m -<<-或1m =-

根的分布练习题

例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由()()2100m f +<即()()2110m m +-<，从而得1

12

m -<<即为所求的范围。 例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

解：由

()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪-

>⎨⎪>⎪⎩

⇒()2

18010

m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒3223220m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩或⇒ 0322m <<-或322m >+即为所求的范围。

例3、已知二次函数(()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的

取值范围。

解：由()()210m f +<即()()2210m m ++<⇒1

22

m -<<

即为所求的范围。 例4、已知二次方程()2

2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。 解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f <⇒()4310m +<⇒1

3

m <-

即为所求范围。（注：对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，计算量稍大） 1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ax 2

+bx+c(a ≠0)，判别式Δ=b 2

-4ac ，当Δ＞0时y=f(x)与x 轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x 轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x 轴无交点．

当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x 轴两交点为x 1＜x 2．一元二次函数y=f(x)与x 轴交点x 1，x 2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．观察图象不难知道．