特征值与特征向量小结

利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：
(1)求 A的特征 i; 值
( 2 )由 iE A x 0 ,求 A 的 出 特 1 , ,n ;征
( 3 ) 令 P ( 1 , ,n ) 则 P 1 A d ( P 1 , i ,a n ). g
利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：
(4) 实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等.
定理. 设A为n阶实对称 ,则矩 必阵 有正P交 ,使矩阵
P1APdia(g1,n) 其中 1,n是A的特征 . 值
二、题型与方法
1. 求特征值特征向量 2. 判别矩阵是否可对角化，
找可逆矩阵使其与对角阵相似 3. 实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换）
1. 求特征值特征向量
ex1. 求矩A阵 14
1 3
00的特征值和特. 征向
1 0 2
Solution. A的特征多项式为
1 1 0
EA 4 3 0 (2)(1)2,
1 0 2
所 A 的 以特 1 征 2 ,2 值 31 .为
当 1 2 时 ,解方 (2 E A ) 程 x 0 . 组
3 (2EA) 4
EA叫做 A的特征多; 项式
(EA)叫A 做 的特征 ; 矩阵
EA0叫做 A的特征. 方程
(1)若 0是 A的特,征 则 值 0EA0 ,
r(0EA)n, (0EA )xO 有非0解.
( 2 ) 若 0 为 E A 0 的 k 重 ,则 k 为 根 0 的 称 代数重数.
对应0于 ,得(0EA)xO的基础解系中所 的个数 nr为 an(k0EA),称其0为 的几何重数.
使关系式
Axx 成立 ,那末 ,这样的称 数为方A的 阵特征,非 值零向x量 称为 A的对应于特的 征特 值征向 . 量
(1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
(2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
(3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
A的每个特 i的 征几 值何重数等重 于数 .其
结论3. 实对称矩阵一定可对角化.
4. 正交矩阵的定义与性质 若 n 阶A 方 满 A A 阵 足 E ,则 A 为 称 正交 . 矩
(1) A1; (2) A,B为正交 ,则 A 矩 也 B阵 是正;交矩阵 (3)A是正交 A矩 1A 阵 ; (4)A是正交 A 矩 也阵 是正 ; 交矩阵 (5) 方阵 A是正交矩 阵
其中 k1, k2是任意.常数 (6 )若 A ~B ,则 A B ; (7 )若 A ~ B ,则 A m ~ B m ;
( 8 )若 A ~ B ,则 A 1 ~ B 1 ; (9)若 A~B ,则 f(A )~f(B )其 , f为 中多项 ; 式
(1)0若 A~B,则 A与 B的特征;值相同
1 1
0 0
1 0
0 1
0
0 ,
1 0 0 0 0 0
x1 0
从而
x
2
0
x1 x2
来自百度文库0 x3 0 ,
A的列 (行)向量组是正交的 量单 组 . 位向
若P为正交矩阵, 则线性变换y=Px称为正交变换. 正交变换不改变向量的长度, 也不改变两向量间 的内积及夹角.
5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质 (1) 实对称矩阵的特征值为实数.
(2) 实对称矩阵的特征向量为实向量.
(3) 实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的.
Chapter 4 特征值与特征向量小结
一、内容小结 1. 特征值特征向量的定义与性质 2. 相似矩阵的定义与性质 3. 矩阵可对角化的条件 4. 正交矩阵的定义与性质 5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质
1. 特征值特征向量的定义与性质
定义. 设A是n阶方,阵 如果存在 和数 n维非零列x向量
2. 相似矩阵的定义与性质
设A,B都是 n阶方,若 阵有可逆 P,使 矩阵 P1APB,
则称 B是A的相似,或 矩说 阵矩 A与B 阵 相似 .记A 为 ~B . (1) A~A; (2 )若 A ~B ,则 B ~A ; ( 3 )若 A ~ B ,B ~ C ,则 A ~ C ;
( 4 ) P 1 A 1 A 2 P ( P 1 A 1 P ) P 1 ( A 2 P ); ( 5 ) P 1 k 1 A 1 k 2 A 2 P k 1 P 1 A 1 P k 2 P 1 A 2 P ;
结论1. 方阵A的特征值的几何重数不超过 它的代数重数.
结论2. 对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值 即为其主对角线上的元素.
结论3. 方A 阵 与A的特征.值相同
结论4. 设 n 阶方 A (a i阵 )j的特1征 ,2, ,值 n , 则( 1 ) 有 1 2 n a 1 a 2 1 2 a n ; (2 )1 2 n A .
结论5. 若 是矩阵 A的特征值, x是 A的属于 的特征 向量, 则
(1 )k 是 k的 A 特 k 是 征 任 值 . 意常
(2)m 是 A m 的特 m 是 征正 值 . 整数
(3)当 A 可逆 ,1是 时 A 1的特 . 征值 (4)当 A 可逆 ,1A 时 是 A *的特. 征值
(5)当 f为多项 ,f(式 )是 f(函 A )的 数 特 .时 征
(1)1若 A~di(a1g ,2, ,n), 则 1,2, ,n是 A的 n个特; 征值
3. 矩阵可对角化的条件 定理1. n阶方A阵与对角阵(相 即A似 能对角)化
A有n个线性无关的特. 征向量 结论1. 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,
则A与对角阵相似. 结论2. n阶矩A阵 与对角阵相似
(1)求 A的特征 i; 值
( 2 )由 iE A x 0 ,求 A 的 出 特 1 , ,n ;征
( 3 )将 1 , ,n 正 ,单 交 p 1 位 , 化 ,p n ;化得
( 4 ) 令 P ( p 1 , , p n ) 则 P 1 A d ( P 1 , i,a n ). g