中心对称图形——平行四边形(复习)

第四讲中心对称图形——平行四边形(复习)

学习要点与方法点拨：

一、复习《中心对称图形——平行四边形》这一章的概念（包括旋转、中心对称、平行四边形、

矩形、菱形、正方形和三角形的中位线）和这些图形的性质以及判定方法；

二、在掌握好基础知识后，进行知识延伸，补充延伸题型和解题思路，并学习综合各知识点的

综合题的解题方法。

课前复习：

1，旋转的概念，旋转的性质（3个）；中心对称的概念，中心对称的性质（2个，1，具有图形旋转的一切性质，2，两个图形对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分）；

2，平行四边形的概念和性质（2个），平行四边形的判定方法（4个）；

3，矩形的概念和性质（2个），矩形的判定方法（3个）；

4，菱形的概念和性质（3个），菱形的判定方法（3个）；

5，正方形的概念和性质（具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质），正方形的判定方法（3个）；

6，三角形中位线的概念；三角形的中位线的性质（2个）。

模块精讲

一、平行四边形的角平分线

我们已经学习和平行四边形有四个重要的性质，那么，除了这四个性质外，平行四边形还有其他的隐藏技能吗？

我们学习的四个性质是初中阶段关于平行四边形的全部官方性质。但是，它还有其他的隐藏技能，比如说角平分线。 A D 例1，如图在平行四边形ABCD中，DE

平分∠ADC并交BC于E。求证：△DCE

是等腰三角形。

我们看到题目中有平行线和角平分线，

就可以联想到等腰三角形。

由等腰三角形还可以解决一些线段长度 B E C

的问题。

例2，平行四边形ABCD中，CD=10，BC=12，DE平分∠ADC，则BE的长为___________。

这两个例题是一个基础，如果，我们再画一条角平分线呢？看下面这道题。

例3，如图，平行四边形ABCD中，CD=10，AD=12，AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，交BC于F、E，则EF的长为_____________。

A D A D

我们在扩展一些思路，在例1中，除了△CDE

这个等腰三角形，我们还能构造其他的等腰三角形 F

吗？我们看右边这张图，把DE和AB分别延长，交

于点F，你能看出还有几个等腰三角形吗？

特别提醒一下，关于三角形的角平分线构造出等腰三角形这个性质，不是官方认证的几何定理，我们在选择填空题中可以使用，但是，在解答题中，还是要一步一步写出步骤证明的。

我们再继续扩展思路，如果画出两条角平分线，还能得出什么新的结论吗？

例4，如图，平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，BF平分∠ABC交DC于F，求证：四边形BEDF为平行四边形。

D F C A F D

G

A E

B B E C

解决了这个例题，我们可以得出一般结论，任何平行四边形的一组对角的平分线都是平行的吗？

答案是不一定，我们可以看一个特殊的例子。

所以，我们只能说：平行四边形的一组对角的角平分线平行或者重合。

我们解决了一组对角的平分线的情况，那如果是在两个邻角作平分线，能得出什么结论吗？

例5，如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BF平分∠ABC交AD于F，AE于BF相交于点G，求证：AE⊥BF。

我们这一节中，根据平行四边形的角平分线可以得出三个结论：

①平行四边形的角平分线可以构造等腰三角形；

②平行四边形的一组对角的角平分线平行或者重合。

③平行四边形的一组邻角的角平分线互相垂直。

攻略：

两个对角的角平分线平行或重合平行四边形＋角平分线等腰三角形

两个邻角的角平分线互相垂直

二、坐标系中的平行四边形

这一节我们学习平行四边形与坐标系结合的一些题型。

例6，如图，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0), (3,1), (1,2)，则B点的的坐标是

由平行四边形的性质：对边平行且相等OC平移到AB

再利用平移的性质，O(0,0)平移到A(3,1) 对应B(1,2)平移到(? , ?)

那么，利用另外两组对边呢？

例7，已知平行四边形的三个顶点O、A、C的坐标分别是(0,0), (3,1), (1,2)，则第四个顶点的坐标是______________。

大家先思考一下这个题目和例6是一样的吗？

思路：先确定对角线，再分类讨论。每个可能的对角线可以确定一个顶点的坐标。

例8，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(2,3), (3,1), (1,2)，则第四个顶点D的坐标是多少？

A, ( 0, 4 ) B, ( 4, 2 ) C, ( 2, 0 ) D，以上都是

我们已经学习了平行四边形的顶点坐标的求法，现在我们把思维在扩展一下，平行四边形的四个顶点的坐标还能得出什么性质吗？

我们先看例8中的平行四边形ABCD的四个顶点，坐标分别是A(2,3), B(3,1), C(1,2)，D(0,4)。

当这四个点的位置确定后，我们有：

A、B两点的横纵坐标之差 = C、D两点的横纵坐标之差

简写为A - B = C – D

移项得

A + C =

B + D

这个等式可以理解为：

平行四边形在坐标系中，相对的两个顶点的横坐标(或纵坐标)之和相等。

这样我们在计算第四个顶点的坐标是就非常方便了，比如例8，我们可以得到方程：

横坐标：

纵坐标：

即第四个顶点D的坐标为( 0, 4 )

总结一下，在这一节中，我们学习了：利用平行四边形的性质＋平移的性质 = 第四个点的坐标我们还推到出了一个结论，也就是 A + C = B + D。

在做选择题和填空题时，可以利用这个结论，快速得出第四个顶点的坐标。

另外，当四个的的位置，也就是顺序，不明确时，需要分3种情况讨论。

三、判定平行四边形

1，判定平行四边形之全等

我们在判定平行四边形时，经常用到的就是证明边或者角相等，而要证明两个边或者角相等最常用的就是利用全等三角形。

例9，如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB = CD，线段AE与线段DF平行，AE = DF，求证：四边形EBFC是平行四边形。