数列的函数特性

9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 12 3 4 56 7
n
实例分析
数列（5）1, 1 , 1 , 1 ,... 的图像 357
an
1
1 3
0
1
2
3
4
n
实例分析
数列(6) 1100,1100,1100,…,1100的图像 an
1100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
实例分析中数列（1），(5)，（6）的函数图像各有什么特点？
例1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪 些是常数列？
（1）1, 0.84, 0.842, 0.843，… ； （2）2, 4, 6, 8, 10，…； （3）7， 7， 7, 7, 7，…； （4）1/3，1/9，1/27，1/81，…； （5）0,10,20,30，…，1000； （6）0，-1,2，-3,4，-5，…； （7）0，0, 0，0, 0；
数列的表示方法有哪些？
实例分析
我国1952—1994年间部分年份进出口贸易总额数据排成一列数： 19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1154.4,42367.3
此数列也可用图直观表示如下:
(亿美元)
2600.0 2400.0 2200.0 2000.0 1800.0 1600.0 1400.0 1200.0 1000.0
a9 n
8
an
7
6
5
4
1
3
2
1
1
3
0
0 12 3 4 56 7
n
0
1
2
3
4
an
1100
n n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
数列（1）的函数图像上升 数列(5) 的函数图像下降
是不是所有的数 列都有增减性？
数列（6）的函数图像值不变化
例4：作出数列的 减性.
1 , 1 , 1 , 1 ,..., ( 1)n的,..图. 像，并分析数列的增
所以 a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，
即 a9＝a10＝1101190.
方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，
则
ak≥ak－1 ak≥ak＋1
对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
即k＋11110k≥k1110k－1
解：(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4. ∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项a2，a3是负数. (2)∵an＝n2－5n＋4＝n(n- )2- 的对称轴方程为n＝
又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为 a2＝a3＝－2.
小结
一、数列的概念
1.定义 按一定次序排列的一列数叫做数列.
答D案．：1， 2C， 3，…， n
2．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an} 各项中最小的项是( )
A．第4项
B．第5项
C．第6项
D．第7项
答案： B
3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是________ 数列(填“递增”或“递减”)
答案： 递增
bn1
bn

n 1 n2

n n 1

1 (n 1)(n 2)

0
所以,bn1 bn ,因此这个数列是递增数列.
某数列为 7,12,15,16,15,12,7,0 用表格来表示
n
12 3
4
5
6
78
an
作图
an
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
7 12
123
15 16 15 12
数列{an}的通项公式如下，请写出数列前4项，判断数列 {an}的增减性
an n2 10n 8
数列的单调性
①递增数列：对任意的n，都有an+1＞ an； ②递减数列：对任意的n，都有an+1＜ an； ③常数数列：对任意的n，都有an+1= an；
例3：判断下列无穷数列的增减性.
(1)2,1, 0, 1,...,3 n,... (2) 1 , 2 , 3 ,..., n ,...
数列的函数特性
回顾：
数列定义 数列通项公式 数列与通项公式关系
（1）找出3，5，7，9，…的通项公式
（2）数列的通项公式是 an n2 n 50 ，则-8是
该数列的（ ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的 有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从 小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值 就构成一个数列．
的项.
解:Q
an

2(n
9)2 4
105 , 8
又2 9 3, n N * 4
n 2时an取最大值13.
数列 -2n2 9n 3 中数值最大的项为a2 13.
3.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
2 4 8 16
2
1
2 1
4
1
3
5
2
4
1
4
1
2
解:观察知,数列各项的值正负相间,表示数列的各点相对于横轴
上下摆动,所以它既不是递增的，也不是递减的，称摆动数列
抽象概括
递增数列：如果一个数列从第2项起，每一项都大于它的前一 项，那么这个数列就叫做递增数列.
递减数列：如果一个数列从第2项起，每一项都小于它的前一 项，那么这个数列就叫做递减数列. 常数列：如果一个数列各项相等，那么这个数列就叫做常数列. 摆动数列：如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项 小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列．
800.0 600.0 400.0 200.0
0.0
2367.3
1154.4 696.0 381.4 19.431.042.545.9147.5
Βιβλιοθήκη Baidu
1952 1957 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1994 (年)
中国进出口贸易总额的变化
实例分析
数列（1）3,4,5,6,7,8,9的图像 an
2.数列是特殊的函数
从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集N*(或它的 有限子集{1, 2, 3, …, n})的函数来说, 数列就是这个函数当自 变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值, 其图象是无限 个或有限个孤立的点.
注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列 的问题.
二、数列的表示
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2＋1，证明数列 {an}为递增数列．
证明： ∵an＝ n2＋1，∴an＋1＝ n＋12＋1，
∴an＋1－an＝ n＋12－1－ n2＋1
＝
2n＋1 n＋12＋1＋
n2＋1＞0.
∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．
例4：求数列 an 2n2 9n 3 中的数值最大
，
k＋11110k≥k＋21110k＋1
∴k11＋10k1＋≥11110≥kk＋2
，解得 9≤k≤10.
又 k∈N＋，∴数列{an }中存在的最大项是第 9 项和第 10 项． 且 a9＝a10＝1101190.
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，12，13，14，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－12，－14，－18，…
[策略点睛]
[规范作答] 方法一：因为 an＋1－an ＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n ＝1110n·9－11n， 当 n＜9 时，an＋1－an＞0，即 an＋1＞an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n＞9 时，an＋1－an＜0，即 an＋1＜an；
2 3 4 n1 解:(1) 设an=3-n,那么
an1 3 (n 1) 2 n an1 an (2 n) (3 n) 1 所以,an1 an ,因此这个数列是递减数列.
（2）设 b n ,那么 n 1 n 1 n 1
bn1 (n 1) 1 n 2
1.列举法 a1 , a2 , a3 , …… an , …… . 简记为： {an} 2.图象法 数列的图象是一群孤立的点.
3.通项公式法 若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个
公式来表达, 即 an=f(n), 则 an=f(n) 叫做数列的通项公式.
三、数列的分类
1.按项数：有穷数列和无穷数列；
70
an-1≤an
an-1≥an
an ≥ an+1 或 an ≤ an+1
是分别找出数列最大项和最
小项的常用方法。
45678
n
它在{1,2,3,4}上是递增的,{5,6,7,8}上是递减的.
求数列的最大（小）项
已知数列{an}的通项公式为 an＝(n＋1)1110n(n∈N＋)，试 问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明 理由．
2.按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；