线性代数与解析几何特征值与特征向量
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《线性代数与空间解析几何》
第六章
特征值与特征向量
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室
2007.9
1
本章的主要内容 特征向量与特征向量 相似矩阵 矩阵的相似对角化
2
问题的提出：
在工程技术中有许多与振动和稳定性 有关的问题（如：机械、电子、土木、化 工、生态学、核物理、弹性力学、气体力 学), 在数学中, 解微分方程组及简化矩阵 的计算等, 都会遇到这样的问题：
证 由已知
f () E A ( 1)( 2) ( n )
n c1 n1 c2 n2 L cn1 cn
n
n
n ( i ) n1 L (1)n i (1)
i 1
i 1
14
另一方面,
a11 a12 L a1n
f () E A
a21 M
a22 L
M
a2n M
对A的特征值 ,称0 方程组 (0E A)X 0
的解空间N (0E为 A)的关于特征值 0
的特征子空间.
求A的特征值与特征向量的步骤如下:
(1)由 E A求A0的特征值
(2)分别把A的每个特征值
i
代入1,方2程,L组, n.
(i E A)X 0 , 求出它的基础解系.
则基础解系的所有非零线性组合就是 A的属于 i 的全部特征向量.
由
1E
A
Baidu Nhomakorabea
2 2
2 2
2 1 2 0
1 0
1 0
2 2 2 0 0 0
得同解方程组: x1 x2 x3
1 1
得基础解系为 ξ1 1 , ξ2 0
0 1
得A的属于-1的全部特征向量为
1 1
X k1ξ1 k2ξ2 k1 1 k2 0 0 1
k1, k2 是不全为0的任意常数.
an1 an2 L ann
n , n1只能出现在 ( a11)( a22 )L ( ann )
乘积项中.c1 (a11 a22 L ann )
cnn f (0) A (1)n | A|
f ( ) n ( aii ) n1 L (1)n | A | (2)
i 1
比较(1),(2)中 的n1系数及常数项,得结论.
n
n
n
i aii tr(A), i A
i 1
i 1
i 1
15
注: 1. A 0 A 有0 特征值.
2. A可逆 A的特征值都非0.
性质2 设λ为n阶方阵A的特征值, 且
f (x) amxm am1xm1 L a1x a0
则 f (A)X f ()X.
证 Q AX X, (X≠0)
1. 对于给定的3阶方阵A, 是否存在非零列
向量X,使向量AX与X平行？ AX=X
2. 如果存在这样的X, 则该如何求这个X ？
3
例1
设
A
0 2
2 0
,
则对于
X
11 ,
有
AX
0 2
2 0
11
2 2
2
11
2
X
而对于
X
1 2
,
AX
0 2
02
1 2
4 2
k
1 2
kX
可见有些向量X, 有AX与X平行这个性
11
对 3 ,解5 方程组 (5E A)X 0
4 2 2 1 0 1
5E A 2 4 2 0 1 1
2 2 4
得同解方程组:
x1 x3 x2 x3
0 0 0
1
得基础解系为 ξ3 1
1
1
得A的属于5的全部特征向量为 X k3 1
k3 是不为0的任意常数.
1
12
得A的关于特征值-1和5的特征子空间为：
9
例2
1 A 2
2
2 1 2
2 2
1
,求A特征值和特征向量 及特征子空间.
解 (1)求A的特征值
1 2 2
E A 2 1 2 ( 5)( 1)2 0
2 2 1
A的特征值为 1 2 1, 3 5
(2)求特征向量
对 1 2 ,解方1 程组
(1E3 A)X 0
10
即 E A
a21 M
a22 L
M
a2n M
0
an1 an2 L ann
称 f () E A 为矩阵A的特征多项式,
E A 0为矩阵A的特征方程,求矩阵特
征值的问题就转化为求特征方程根的问题. 7
求方阵A的特征向量:
AX = 0 X（X 0） (0E A)X 0 的非零解
求 0所对应的特征向量问题就转化为
A1 X 1 X , A X A X
证 Q AX X , (X≠0)， 且 A可逆,
A 0 0
则
1 AX X , A1 X 1 X
A
而 AX A A1X X
定义法
X也是 A的1 属于特征值
则 A2 X A( AX ) A( X ) AX 2 X
用数学归纳法可得,对kN,有 Ak X k X
f (A)X (am Am am1 Am1 L a1 A a0E) X
(am m
a m1 m1
L
a1 a0 ) X
f ()X, X 0
16
例3 若 AX X (X 0) 且A可逆,则
求齐次线性方程组的非零解问题. 由齐次线性方程组解的性质知特征向
量有以下2条性质:
(1)X是属于 0的特征向量,则 k 0,A(kX ) 0 (kX )
(2) X1, X2是属于 0的特征向量,则
A( X1 X2 ) AX1 AX 2 0 X1 0 X2 0(X1 X2) 8
特征子空间:
质,而其它向量则没有这个性质. 有这样性
质的向量称为特征向量.
4
6.1 特征值与特征向量 本节的主要内容
特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量求法 特征值与特征向量的性质 实对称阵的特征值与特征向量
5
6.1.1 特征值与特征向量的概念
1.定义 设A是n阶方阵,若存在数 及非零
列向量X, 使得
V1 X X k1ξ1 k2ξ2, k1, k2 为任意常数 ;
V2 X X kξ3, k 为任意常数 .
13
6.1.2 特征值与特征向量的性质
1.特征值的性质
性质1 设 1, 2 , , n为n阶矩阵A的特征值，
n
n
n
则 i aii tr(A), i A
i 1
i 1
i 1
AX= X, 则称 是A的特征值, X是A的属于 特征值 的特征向量. 注 1.若X=0,则A0=0,()成立. 2.几何意义:向量AX= 大方小向：：A与XX平行X
6
2. 特征值与特征向量的求法
求方阵A的特征值:
AX= X(X 0) (E A)X 0 有非零解
E A 0
a11 a12 L a1n
第六章
特征值与特征向量
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室
2007.9
1
本章的主要内容 特征向量与特征向量 相似矩阵 矩阵的相似对角化
2
问题的提出：
在工程技术中有许多与振动和稳定性 有关的问题（如：机械、电子、土木、化 工、生态学、核物理、弹性力学、气体力 学), 在数学中, 解微分方程组及简化矩阵 的计算等, 都会遇到这样的问题：
证 由已知
f () E A ( 1)( 2) ( n )
n c1 n1 c2 n2 L cn1 cn
n
n
n ( i ) n1 L (1)n i (1)
i 1
i 1
14
另一方面,
a11 a12 L a1n
f () E A
a21 M
a22 L
M
a2n M
对A的特征值 ,称0 方程组 (0E A)X 0
的解空间N (0E为 A)的关于特征值 0
的特征子空间.
求A的特征值与特征向量的步骤如下:
(1)由 E A求A0的特征值
(2)分别把A的每个特征值
i
代入1,方2程,L组, n.
(i E A)X 0 , 求出它的基础解系.
则基础解系的所有非零线性组合就是 A的属于 i 的全部特征向量.
由
1E
A
Baidu Nhomakorabea
2 2
2 2
2 1 2 0
1 0
1 0
2 2 2 0 0 0
得同解方程组: x1 x2 x3
1 1
得基础解系为 ξ1 1 , ξ2 0
0 1
得A的属于-1的全部特征向量为
1 1
X k1ξ1 k2ξ2 k1 1 k2 0 0 1
k1, k2 是不全为0的任意常数.
an1 an2 L ann
n , n1只能出现在 ( a11)( a22 )L ( ann )
乘积项中.c1 (a11 a22 L ann )
cnn f (0) A (1)n | A|
f ( ) n ( aii ) n1 L (1)n | A | (2)
i 1
比较(1),(2)中 的n1系数及常数项,得结论.
n
n
n
i aii tr(A), i A
i 1
i 1
i 1
15
注: 1. A 0 A 有0 特征值.
2. A可逆 A的特征值都非0.
性质2 设λ为n阶方阵A的特征值, 且
f (x) amxm am1xm1 L a1x a0
则 f (A)X f ()X.
证 Q AX X, (X≠0)
1. 对于给定的3阶方阵A, 是否存在非零列
向量X,使向量AX与X平行？ AX=X
2. 如果存在这样的X, 则该如何求这个X ？
3
例1
设
A
0 2
2 0
,
则对于
X
11 ,
有
AX
0 2
2 0
11
2 2
2
11
2
X
而对于
X
1 2
,
AX
0 2
02
1 2
4 2
k
1 2
kX
可见有些向量X, 有AX与X平行这个性
11
对 3 ,解5 方程组 (5E A)X 0
4 2 2 1 0 1
5E A 2 4 2 0 1 1
2 2 4
得同解方程组:
x1 x3 x2 x3
0 0 0
1
得基础解系为 ξ3 1
1
1
得A的属于5的全部特征向量为 X k3 1
k3 是不为0的任意常数.
1
12
得A的关于特征值-1和5的特征子空间为：
9
例2
1 A 2
2
2 1 2
2 2
1
,求A特征值和特征向量 及特征子空间.
解 (1)求A的特征值
1 2 2
E A 2 1 2 ( 5)( 1)2 0
2 2 1
A的特征值为 1 2 1, 3 5
(2)求特征向量
对 1 2 ,解方1 程组
(1E3 A)X 0
10
即 E A
a21 M
a22 L
M
a2n M
0
an1 an2 L ann
称 f () E A 为矩阵A的特征多项式,
E A 0为矩阵A的特征方程,求矩阵特
征值的问题就转化为求特征方程根的问题. 7
求方阵A的特征向量:
AX = 0 X（X 0） (0E A)X 0 的非零解
求 0所对应的特征向量问题就转化为
A1 X 1 X , A X A X
证 Q AX X , (X≠0)， 且 A可逆,
A 0 0
则
1 AX X , A1 X 1 X
A
而 AX A A1X X
定义法
X也是 A的1 属于特征值
则 A2 X A( AX ) A( X ) AX 2 X
用数学归纳法可得,对kN,有 Ak X k X
f (A)X (am Am am1 Am1 L a1 A a0E) X
(am m
a m1 m1
L
a1 a0 ) X
f ()X, X 0
16
例3 若 AX X (X 0) 且A可逆,则
求齐次线性方程组的非零解问题. 由齐次线性方程组解的性质知特征向
量有以下2条性质:
(1)X是属于 0的特征向量,则 k 0,A(kX ) 0 (kX )
(2) X1, X2是属于 0的特征向量,则
A( X1 X2 ) AX1 AX 2 0 X1 0 X2 0(X1 X2) 8
特征子空间:
质,而其它向量则没有这个性质. 有这样性
质的向量称为特征向量.
4
6.1 特征值与特征向量 本节的主要内容
特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量求法 特征值与特征向量的性质 实对称阵的特征值与特征向量
5
6.1.1 特征值与特征向量的概念
1.定义 设A是n阶方阵,若存在数 及非零
列向量X, 使得
V1 X X k1ξ1 k2ξ2, k1, k2 为任意常数 ;
V2 X X kξ3, k 为任意常数 .
13
6.1.2 特征值与特征向量的性质
1.特征值的性质
性质1 设 1, 2 , , n为n阶矩阵A的特征值，
n
n
n
则 i aii tr(A), i A
i 1
i 1
i 1
AX= X, 则称 是A的特征值, X是A的属于 特征值 的特征向量. 注 1.若X=0,则A0=0,()成立. 2.几何意义:向量AX= 大方小向：：A与XX平行X
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2. 特征值与特征向量的求法
求方阵A的特征值:
AX= X(X 0) (E A)X 0 有非零解
E A 0
a11 a12 L a1n