圆周运动和能量

[答案] B 6．(10 分)在半径 R＝5000 km 的某星球表面，宇航员做了如下实验．实验装置如图甲所示， 竖直平面内的光滑轨道由轨道 AB 和圆弧轨道 BC 组成，将质量 m＝0.2 kg 的小球从轨道 AB 上高 H 处的某点静止滑下，用力传感器测出小球经过 C 点时对轨道的压力 F，改变 H 的大小，可测出相应 的 F 大小，F 随 H 的变化关系如图乙所示．求： (1)圆轨道的半径． (2)该星球的第一宇宙速度． 【解析】 (1)设该星球表面的重力加速 度为 g0，圆轨道的半径为 r．当 H＝0.5 m 时，有： 1 mg0(H－2r)＝ mv02 (2 分) 2
[答案] (1)0.2 m (2)5 km/s 7．(10 分)如图所示，间距为 L 的两条足够长的 平行金属导轨与水平面的夹角为θ， 导轨光滑且电阻 忽略不计． 磁感应强度为 B 的条形匀强磁场的方向与 导轨平面垂直，磁场区域的宽度为 d1，间距为 d2．两 根质量均为 m、 有效电阻均为 R 的导体棒 a 和 b 放在 导轨上，并与导轨垂直．(设重力加速度为 g) (1)若 a 进入第 2 个磁场区域时，b 以与 a 同样 的速度进入第 1 个磁场区域， 求 b 穿过第 1 个磁场区 域过程中增加的动能ΔEk． (2)若 a 进入第 2 个磁场区域时， b 恰好离开第 1 个磁场区域，此后 a 离开第 2 个磁场区域时，b 又恰好进入第 2 个磁场区域，且 a、b 在任意一个 磁场区域或无磁场区域的运动时间均相同， 求 b 穿过第 2 个磁场区域的过程中， 两导体棒产生的总 焦耳热 Q． 【解析】(1)这一过程 a 和 b 不受安培力作用． 由机械能守恒定律知：ΔEk＝mgd1sin θ． (3 分) (2)由题意可知，两导体棒每次进磁场区域时的速度相等，出磁场区域时的速度也相等，分别 设为 v1 和 v2．当 b 穿过第 2 个磁场区域时，对于棒 a，有： 1 2 1 2 mv1 － mv2 ＝mgd2sin θ (2 分) 2 2 对于棒 b，有： 1 2 1 2 mv2 － mv1 ＝mgd1sin θ－W 安 (2 分) 2 2 W 安＝Q (1 分)
2πr 2．匀速圆周运动的向心力 (1)向心力的来源：向心力是由效果命名的力，它可以由重力、弹力、摩擦力等力来充当，也 可以是由这些力的合力或它们的分力来提供， 即任何力都可能提供向心力， 向心力的作用是只改变 线速度的方向，不改变线速度的大小． v2 4π2 2 (2)大小：F 向＝ma＝m ＝mω r＝m 2 r
qE(M＋m)g k
B．－
qE(M＋m)g k
C．
qEMg k
D．
qEmg k
mg ，当物块对水平面的压力为零时，弹簧的伸长量 x2 k Mg (m＋M)g ＝ ，故这一过程中小球沿电场方向运动的距离为 x1＋x2＝ k k qE(m＋M)g 电势能的变化ΔE＝－W 电＝－ ． k
【解析】加电场前，弹簧的压缩量 x1＝ [答案] B 3．如图所示，已知木板的质量为 M，长度为 L；小木块的质量为 m；水平地面光滑；一根不计
L
L WF＝F· ＝μmgL．
2 方法二 由功能关系知，拉力至少做的功等于小木块与木板摩擦产生的热量．即 WF＝Q＝μmgL． [答案] B 4．一个质量为 m 的物体以某一速度从固定斜面底端冲上倾角α＝30°的斜面．已知该物体做 3 匀减速运动的加速度为 g，在斜面上上升的最大高度为 h，则此过程中( ) 4 3 A．物体的动能增加 mgh B．物体的重力做功 mgh 2 1 1 C．物体的机械能损失了 mgh D．物体克服摩擦力做功 mgh 2 2 【解析】由题意可知： 3 物体受到的合外力 F＝ mg 4 1 其中摩擦力 f＝F－mgsin θ＝ mg 4 h 3 由动能定理得：ΔEk＝－F· ＝－ mgh sin 30° 2 重力做功 WG＝－mgh 1 h 1 物体的机械能的变化ΔE＝－f·s＝－ mg· ＝－ mgh 4 sin 30° 2 1 物体克服摩擦力做的功 Wf′＝f·s＝ mgh． 2 [答案] CD 5．如图所示，质量为 M、长度为 l 的小车静止在光滑的水平面上；质量为 m 的小物块(可视为 质点)放在小车的最左端．现用一水平向右的恒力 F 作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速 直线运动．物块和小车之间的摩擦力为 f．物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为 s．在这 个过程中，以下结论正确的是( ) A．物块到达小车最右端时，具有的动能为 F(l＋s) B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为 fs C．物块克服摩擦力所做的功为 f(l＋s) D．物块和小车增加的机械能为 fs 【解析】物块到达小车最右端时，知： 物块具有的动能 Ek′＝(F－f)·(l＋s) 此时小车具有动能 Ek′＝f·s 这一过程物块克服摩擦力所做的功为： Wf′＝f·(l＋s) 由功能关系知ΔE＝F·(l＋s)－f·l．
解得：Q＝mg(d1＋d2)sin θ． (2 分) [答案] (1)mgd1sin θ (2)mg(d1＋d2)sin θ 8．(12 分)如图所示，质量分别为 3m、2m、m 的三个小球 A、B、C，用两根长为 L 的轻绳相连， 置于倾角为 30°、高为 L 的固定光滑斜面上，A 球恰能从斜面顶端处竖直落下，弧形挡板使小球只 能竖直向下运动，碰撞过程中没有动能损失，小球落地后均不再反弹．现由静止开始释放它们，不 计所有摩擦．求： (1)A 球刚要落地时的速度大小． (2)C 球刚要落地时的速度大小． (3)在 B 球运动的过程中，两绳对 B 球做的总功． 【解析】(1)在 A 球未落地前，A、B、C 组成的系统机械能守恒，设 A 球 刚要落地时系统的速度大小为 v1，则： 1 (mA＋mB＋mC)v12＝mAghA－mBghB1－mCghC1 (2 分) 2 1 又 hA＝L，hB1＝hC1＝Lsin 30°＝ L 2 ． (2 分) 2 (2)在 A 球落地后，B 球未落地前，B、C 组成的系统机械能守恒．设 B 球刚要落地时系统的速 度大小为 v2，则： 1 1 (mB＋mC)v22－ (mB＋mC)v12＝mBghB2－mCghC2 (2 分) 2 2 1 又 hB2＝L，hC2＝Lsin 30°＝ L 2 3gL (1 分) 2 在 B 球落地后，C 球在下落过程中机械能守恒，设 C 球刚要落地时系统的速度大小为 v3，则： 1 1 mCv32－ mCv22＝mCghC3，又 hC3＝L (1 分) 2 2 代入数据解得：v2＝ 7gL ． (1 分) 2 (3)在 B 球运动的过程中，重力和绳的拉力做功，设两绳做的总功为 W，根据动能定理可得： 1 mBgLsin 30° ＋W＝ mBv22 (2 分) 2 1 代入数据解得：W＝ mgL． (1 分) 2 代入数据得：v3＝ [答案] (1) 代入数据解得：v1＝
mv02 ＝mg0 (2 分) r
2 解得：r＝ H＝0.2 m． (1 分) 5 (2)当 H＞0.5 m 时，有： 1 mg0(H－2r)＝ mv2 (1 分) 2
mv2 ＝mg0＋F (1 分) r 即 F＝g0(2H－1) (1 分) 由 F－H 图象可得：g0＝5 m/s2 (1 分) 该星球的第一宇宙速度 v＝ g0R＝5 km/s． (1 分)
2
2
图 3－1 由于小球运动到圆轨迹的最高点时，绳或轨道对小球的作用力只能向下，作用力最小为零，所 以小球做完整的圆周运动在最高点应有一最小速度 vmin．当小球刚好能通过最高点时，有：
vmin2 mg＝m r
解得：vmin＝
gr ．
5gR
1 1 2 2 又由机械能守恒定律有： mv 下 ＝ mv 上 ＋mg·2R，可得 v 下≥ 2 2
4．弯道问题 (1)火车的弯道、公路的弯道都向内侧倾斜，若弯道半径为 r，车辆通过速度为 v0，则弯道的 倾角应为：
v02 θ＝ arctan ． rg
(2)飞机、 鸟在空中盘旋时受力与火车以 “v0” 过弯道相同， 故机翼、 翅膀的倾角θ＝arctan
v2 ． rg
(3) 骑自行车在水平路面上转弯时，向心力由静摩擦力提供，但车身的倾斜角仍为 θ ＝
r
T
＝4mπ f r (牛顿第二定律) 3．圆周运动的临界问题 分析圆周运动的临界问题时，一般应从与研究对象相联系的物体(如：绳、杆、轨道等)的力学 特征着手． (1)如图 3－1 所示， 绳系小球在竖直平面内做圆周运动及小球沿竖直圆轨道的内侧面做圆周运 动过最高点的临界问题(小球只受重力、绳或轨道的弹力)．
第 2 专题
功和能量
知识网络
1 ．美国的 NBA 篮球赛非常精彩， 因此吸引了众多观众． 在 NBA 篮球赛中经常能看到这样的场面： 在终场前 0.1 s 的时候，运动员把球投出且准确命中，获得比赛的最后胜利．已知球的质量为 m，运动员将篮球 投出时球离地的高度为 h1，动能为 Ek，篮筐距地面的高度为 h2，不计空气阻力，则篮球进筐时的动 能为( ) A．Ek＋mgh1－mgh2 B．Ek－mgh1＋mgh2 C．－Ek＋mgh1＋mgh2 D．－Ek－mgh1＋mgh2 【解析】由动能定理得：Ek′－Ek＝WG＝mg(h1－h2) 解得：Ek′＝Ek＋mgh1－mgh2． [答案] A 2．如图所示，竖直放置的劲度系数为 k 的轻质弹簧上端与质量为 m 的小 球连接，下端与放在水平桌面上的质量为 M 的绝缘物块相连．小球带正电，电 荷量为 q，且与弹簧绝缘，物块、弹簧和小球组成的系统处于静止状态．现突 然加上一个竖直向上的大小为 E 的匀强电场，小球向上运动，某时刻物块对水 平面的压力为零．从加上匀强电场到物块对水平面的压力为零的过程中，小球 电势能的改变量为( ) A．
质量的轻绳通过定滑轮分别与木板和小木块连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ．开始时，木 块静止在木板左端， 现用水平向右的力 F 将小木块拉至木板右端， 则拉力至少做的功大小为( ) A．2μmgL B．μmgL C．
μmgL
2
D．μ(M＋m)gL
【解析】方法一 当拉小木块向右缓慢移动时，拉力 F＝μmg＋FT＝2μmg 当小木块向右运动 时到达木板的右端，有： 2
arctan
v2 ． rg
二、航天与星体问题 1．天体运动的两个基本规律 (1)万有引力提供向心力
Mm v2 4π2 2 行星卫பைடு நூலகம்模型：F＝G 2 ＝m ＝mrω ＝m 2 r r r T m1m2 双星模型：G 2 ＝m1ω2r1＝m2ω2(L－r1) L 其中，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2
v2 mg＋F＝m ． r
由于小球运动到圆轨迹的最高点时，杆或轨道对小球的作用力可以向下，可以向上，也可以为 零；以向下的方向为正方向，设小球在最高点时杆或轨道对它的作用力大小为 F，方向向上，速度 大小为 v，则有：
v2 mg－F＝m r 当 v＝0 时，F＝mg，方向向上； 当 0＜v＜ gr 时，F 随 v 的增大而减小，方向向上； 当 v＝ gr 时，F＝0； 当 v＞ gr 时，F 为负值，表示方向向下，且 F 随 v 的增大而增大．
gL
gL
2
(2)
7gL 2
1 (3) mgL 2
第 3 专题
圆周运动、航天与星体问题 知识网络
要点归纳 一、圆周运动 1．描述匀速圆周运动的相关物理量及其关系 (1)物理量：线速度 v、角速度ω、周期 T、频率 f、转速 n、向心加速度 a 等等．
v2 4π2 2 (2)关系：v＝ ＝ωr＝2πrf，a＝ ＝ω r＝ 2 r＝4π2f2r． T r T
所以， 小球要能通过最高点， 它在最高点时的速度 v 需要满足的条件是 v≥ gr． 当 v＞ gr 时， 绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． (2)如图 3－2 所示， 轻质杆一端的小球绕杆的另一端做圆周运动及小球在竖直放置的圆环内做 圆周运动过最高点的临界问题．
图 3－2 分析小球在最高点的受力情况：小球受重力 mg、杆或轨道对小球的力 F． 小球在最高点的动力学方程为：