函数概念中对应则

函数概念中对应法则

【知识概述】函数知识是形成函数思想、数性结合与等价变换等数学思想方法的基础。函数是高中数学最主要的概念之一，更是高中数学的主要内容，同时又是高考重点考查的对象。要切实掌握函数的有关概念，并会用定义证明函数的性质。而函数概念的掌握关键是对其中的对应法则的理解和把握。 通常教师依据课本内容，先介绍映射，然后用其来定义函数。这从表面上看似乎解决了问题，其实则不然。因为映射中的对应法则即对应关系并未被学生所掌握。或者说学生对书上的图表映射例子能接受，但不深刻，不能把其运用到抽象的函数解析式中来.这一点往往被教师忽略，在以后的学习中将会产生深远的影响。这当中有一个大的思维跨度，能否越过这个槛，将会对学生高中数学学习有着重要影响。

一般有经验的老师都通过以下的方式来理解函数中的对应关系

第一种方式，教师只停留在书本所给的几个直观例子上，或者简单的找些类似例子，特别是集合文示图的例子。虽然有的教师也枚举诸如指数、开算术根、二次函

数等例子(22 36,y x y x y ==+=如①，②③用“定义”来进行文字解说，试着让学生通过几个不同函数中的对应法则的“定义”嵌套，就能“整合”函数对应法则，从而“内消”掌握该知识点。但却因没有进一步对函数对应法则进行分析，易导致学生对该知识点的理解不够到位，或者说是笼统的，还是停留在“定义”字面上。这将会制约学生对后继课程的学习。

第二种方式，函数的对应法则被看作“加工厂”，这种观点是把函数中自变量的取值看作“原材料”，而把函数值看作“产品”。既形象又直观，类比贴切，但还不够全面。因为用这种观点不好做“原材料”是“初级产品”的题。也即是“自变量位置”不是某个单一字母（即不是“自变量”本身）的情形（其系数与指数都不是1时，或者说是某个字母的非正比例中系数是1的表达式时）。在处理迭代时学生会有较大障碍。【例如：①()()21,21f x x f t t =+=+ 是同一函数吗？②()2132,f x x +=- ()3722

f x x =-是同一函数吗？用“加工厂” 的观点易知①是真命题，但②的真假就不易判断了。】对于②的处理通常用换元法（令21t x =+则12t x -=

，将其代入3x −2

可知②的真假）。而有些老师则用函数“方框含义”处理（把“2x+1”看成一个整体），但就学生理解而言还是有些粗，不够到位。相当数量的学生能模仿此思路做题，但却不能明白其中道理。

第三种方式，把函数()y f x =的对应法则“f”被看作“模具”。这种观点是把函数()y f x =中自变量“x”的取值看作“原料”，而把相应函数值“y”看作“成品”。此种观点类似物理学只研究物体的形状一样，注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。这就好比给出一个茶壶模具，不管是用粘土还是一般的泥土，或者是用灰面等作为原料都能得到形状相同的壶。不看其 “质”，只看其“型”。【例如：函数()21f x x =+中的x 和()21f t t =+中的t 类似上述茶壶模具例子中的原料“粘土”与“灰面”，而其 函数表达式的形式结构特征则可类似上例中的茶壶模具。即

()2()1/()f =+⎡⎤⎣⎦粘土粘土粘土,f(灰面)=[2（灰面）+1]/(灰面).用此观点容易判定函数()2132,f x x +=-()3722f x x =-是同一函数<只需把函数()2132f x x +=-的右边进行配方，可得()()372132=2x+1-2

2f x x ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦,从而知道所需判断的两函数满足相同的“茶壶模具”——【 ()37()-22

f =箱子箱子】，即对应法则相同，进而可以判断它们是相同的函数>。】

通过“模具”观点的类比，要识别函数)(()y f x =中的对应法则“f”，只需认准函数解析式的形式结构特征。例如:【已知()2x f x x -=,则()12x f x x

-=是真命题吗?只需认准其形式结构特征为f(箱子)=[(箱子)－2]/(箱子),则有

()22122x x f x x

--==,可知此命题的真假】.这样不但可以增强学生对函数对应法则理解。还能达到既提高学生答题效率，同时又可优化教学效果的双赢目的。