第七章图的基本概念

例7.1 (1)(3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列 吗?为什么? (2)已知图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶 点的度数均小于等于2,问G中至少有多少个顶点?为什么?
三.图的同构
设G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>为两个无向图,若存在双射函数 f:V1->V2,使得对于任意的e=(v1,v2)∈E1当且仅当 e’=(f(v1),f(v2))∈E2,且e与e’的重数相同,则称G1与G2同构. 记作G1≌G2.
V3
V0
V1
V2
V3
V4
V0
(2)v0 到 v4 长为 4 的初级通路
V1
来自百度文库
V4
(6)v0 到 v0=v5 长为 5 的初级回路
V8 V7
V2
V3
V0 V0 V1 V2 V3 V4 V6 V1 (4)v0 到 v8 长为 8 的简单通路 V5 V2 V4 (8)v0 到 v0 长为 8 的简单回路 V3 V5
1 4 1 4 1 4
2 (1)强
3
2 (2)单
3
2 (3)弱
3
二.点割集与边割集
1.点割集与割点 若无向图G=<V,E>中,存在V’⊂V,使得p(G-V’)>p(G),而任 意的V”⊂V’,均有p(G-V”)=p(G),则称V’为G的点割集.若 V’={v},称v为G的割点. 2.边割集及桥 若无向图G=<V,E>中,存在E’⊆E,使得p(G-E’)>p(G),而任意的 ⊆ E”⊂E’,均有p(G-E”)=p(G),则称E’为G的边割集或割集.若 E’={e},称e为G的割边或桥. {v3,v5},{v2}, {v6}为点割集. {e3,e4},{e4,e5},{ e1,e2,e3},{e1,e2, e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e1 e1 e2 V1 e6 V2 V5 V4 e4 e3 e5 e3 e4 e5 e7 e8 V2 V5 V1 e2
V3 (1) 图 7.1
V3 e6 (2)
V4
3.零图与平凡图 若G=<V,E>中,E=φ,则称G为零图.若|V|=1,则称G为平凡图. 4.关联与相邻 设图G=<V,E>, u,v∈V, (u,v)∈E(有向图<u,v>∈E)
j =1
(5)若第j列与第k列相同 则说明e j与ek为平行边 , .
2.有向图的关联矩阵 2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, 令mij= 0, -1, vi为ej的始点 vi与ej不关联 vi为ej的终点
则称(mij)n×m为D的关联矩阵.记为M(D).
4.无向图的连通性 若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图. 对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1 e2 e3 e4 V2 V4 V3
a
d
e
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图). 若D中任何两顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图 若D中任何两顶点都是相互可达的,则称D是强连通图. 注)D是强连通图⇒D是单向连通图⇒D是弱连通图.
2.顶点之间的连通关系 在无向图G中,若顶点vi到vj有通路,则称vi与vj连通. 规定顶点与自身连通.顶点之间的连通关系是等价关系. 在有向图G中,若顶点vi到vj有通路,则称vi可达vj. 规定任何顶点与自身可达. 3.短程线与距离 若vi与vj连通(有向图,若vi可达vj),则称vi到vj长度最短的 通路为vi到vj的短程线,短程线的长度称为vi到vj的距离,用 d(vi,vj)表示.(对于有向图,用d<vi,vj>表示). 说明:若vi与vj不连通(对于有向图,若vi不可达vj), 则规定d(vi,vj)=∞(d<vi,vj>=∞). 其他情况满足距离公式.
j =1 m n n m n
1 0 M(G) = 1 0
1 1 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 2 0
(3)∑∑ mij = ∑∑ mij = ∑ d (vi ) = 2m
j =1 i =1 m i =1 j =1 i =1
(4)∑ mij = 0 ⇔ vi是孤立点
V1 V2 V1 V5 V4 V2 V5
V3 V3 (1) 图 7.1 (2) V4
6.简单图 对于无向图,若关联一对顶点的边多于1条,则称这些边 为平行边. 对于有向图,关联一对顶点的方向相同的边,如果多于1 条,则称这些边为平行边. 既不含平行边,也不含环的图,称为简单图.
V1
V1
V4 V2 V5 V2 V5
1.通路与回路 设Γ=v0e1v1e2…ekvk为图G中的顶点与边的交替序列, 若Γ满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ中边的数目k称为通路长度. 若v0=vk,则通路称为回路. 若Γ中各边互不相同,则称Γ为简单通路,若v0=vk,则称Γ 为简单回路. 若Γ中各顶点互不相同,则称Γ为初级通路,若Γ中除 v0=vk外,各顶点各不相同,并且各边也互不相同,则称Γ为 初级回路或圈. 有边重复出现的通路和回路分别称为复杂通路和回路.
V3 e2 e3 V4 e4 V5 e5 e6 V6 e9 V7 e1 e8 V2 V1 e7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵 1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
1 1 1
2
5
2
5
2
5
3 (1)
4 (1)与(2)互为补图
3 (2)
4
3 5 阶完全图
4
1 1
1
2
3 2 (1) (1)与(2)互为补图 (2) 图 7.4 3
2 3 阶有向完全图
3
二.握手定理(图论基本定理) 握手定理(图论基本定理)
任何图G中各顶点的度数之和等于边数的2倍. 若G为有向图,则各顶点的入度之和等于各顶点的出度之和. 都等于边数.
e1 V1 V4 V1 e4 e5 e4 V1
e1 V4
e4
e5 e3
e2
V2
V3 (1)
V2 (2)
V2
e3 (3)
V3
V1 e3 e1 e2 V3 V2 (1) e4 V2 e1
V1 e3 e1
V1
V3 V2 (2) 图 7.3 (3
9.补图:设G=<V,E>为n阶简单图,称以V为顶点集,以使G成为 n阶完全图所添加的边为边集的图为G的补图,记作
5.顶点的度数 设v为无向图G中的一个顶点,称v作为边的端点的次数之 和为v的度数或度,记作d(v). 若v为有向图G中的一个顶点,称v作为边的始点次数之和 为v的出度,记作d+(v);v作为边的终点的次数之和为v的入 度,记作d-(v),称d+(v)+d-(v)为v的度数或度,记作d(v). G的最大度:Δ(G)=max{d(v)|v∈V(G)} G的最小度:δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)}
例如:图7.1中(1)为无向图G=<V,E>,V={v1,v2,v3,v4,v5}, E={(v1,v2),(v2,v2),(v2,v3),(v1,v3),(v1,v3)(v1,v4)}; (2)为有向图D=<V,E>,V={v1,v2,v3,v4,v5}, E={<v1,v1>,<v1,v2>,<v2,v4>,<v3,v2>,<v3,v2>,<v3,v4>, <v4,v5>,<v5,v4>}
即∑ d (vi ) = 2m
i =1
n
d + (vi ) = ∑ d − (vi ) = m ∑
i =1 i =1
n
n
其中G =< V , E >, V = {v1 , v2 ,..., vn }, | E |= m
推论:任何图G中,奇度顶点的个数为偶数. 说明:图G的度数序列为{d(v1),d(v2),…,d(vn)}
V4
V3
V3
7.完全图 设G为n阶(n个顶点)无向简单图,若G中任何两个顶点均相 邻,则称G为n阶(无向)完全图,记作Kn.边数n(n-1)/2 设D为n阶(n个顶点)有向简单图,若G中任何两个顶点之间 均有两条方向相反的边,则称G为n阶有向完全图.边数n(n-1)
1 1 2 5 1
2
4
3
3 (2)K5 图 7.2
V1 e1 e2 e3 e4 V2 V4 图 7.10 V3 e5
1 0 M(G) = 1 0
1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0
性质:
(1)∑ mij = 2( j = 1,2,..., m)
i =1 m
n
(2)∑ mij = d (vi )(i = 1,2,..., n)
a e V1 b c V2 (1) (2) d V5 V4
V3
例7.2(1)画出4个顶点3条边的所有可能非同构的无向简单图 (2)画出3个顶点2条边的所有可能非同构的有向简单图
(1) 1 4 1 4 1 4
2
3
2
3
2
3 1
(2)
1
1
1
2
3
2
3
2
3
2
3
7.2
一.术语
通路、回路、 通路、回路、图的连通性
4
2
3
(1)K4
(3)
8.子图 设G=<V,E>,G’=<V’,E’>,若V’⊆V, E’⊆E, 则称G’为G的子图.记作G’⊆G. 若G’⊆G且G’≠G,则称G’为G的真子图. 若G’⊆G且V’=V,则称G’为G的生成子图. ⊆ 若V1⊆V且V1≠φ,称以V1为顶点集,以两个端点均在V1 中的边为边集的图为V1的导出子图. 若E1⊆E且E1≠φ,称以E1为边集,以E1中边关联的顶点 为顶点集的图为E1的导出子图. 注)每个图都是本身的子图.
e2 V1 e1 e3 V4
e4 V3
V2 e5 图 7.11
1 −1 M(D) = 0 0
−1 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 −1 1 −1 1 0
1 −1 性质: M(D) = n m n 0 (1)∑mij = 0, ( j = 1,2,...,m),即∑∑mij = 0 i =1 j =1 i=1 0
第7 章
图的基本概念
7.1 无向图及有向图
7.2 通路、回路、图的连通性
7.3 图的矩阵表示
7.4 最短路径及关键路径
7.1 无向图及有向图
一.基本概念和术语
1.无向图与有向图 图:图G=<V,E>,其中V为(非空)顶点集合,E是V中顶点偶对 的集合,称为边.通常用V(G)和E(G)分别表示图G的顶点集 合和边集合. 无向图:若图G中边集合E(G)为无向边的集合,则称该图为无 向图. 有向图:若图G中边集合E(G)为有向边的集合,则称该图为有 向图.有时用D=<V,E>表示有向图. 2.有限图与n阶图 若G=<V,E>中V,E都是有穷集合,则称G为有限图. 若|V|=n,则称G为n阶图.
常记e=(u,v)(或有向图e=<u,v>),称u,v为e的端点. (对有向图中的有向边来说,称u为e的始点,v为e的终点) 称e与u或v是彼此相关联的;无边关联的顶点称为孤立点. 若e关联的两个顶点重合,则称e为环; 若u≠v,则称e与u(或v)的关联次数为1; 若u=v(即e为环),则称e与u关联的次数为2; 若顶点u,v之间有边关联,则称u与v相邻; 若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.
图7.7
定理1:在一个n阶图中,若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路, 则从vi到vj存在长度小于等于n-1的通路. 推论:在一个n阶图中,若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路, 则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路.
定理1:在一个n阶图中,如果存在vi到自身的回路, 则从vi到自身存在长度小于等于n的回路. 推论:在一个n阶图中,如果存在vi到自身存在一条简单回路, 则从vi到自身存在长度小于等于n的初级回路.
V0
V1
V2
V3
V4
V0
(1)v0 到 v4 长为 4 的初级通路
V1
V4
(5)v0 到 v0=v5 长为 5 的初级回路
V8 V7
V2
V3
V0 V0 V1 V2 V3 V4 V6 V1 (3)v0 到 v8 长为 8 的简单通路 V5 V2 V4 V5
图7.7
(7)v0 到 v0 长为 8 的简单回路