初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

考查知识点：1、“两点之间线段最短”
（2、代数计算最值问题 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基
本模型： 条件 问题 方法 中考数学最值问题总结 ,“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平
移”。

3、二次函数中最值问题） 配方求多项式取值 二次函数顶点）
圆、坐标轴、抛物线等。

如下左图， A 、B 是直线I 同旁的两个定点.
在直线I 上确定一点P ，使PA PB 的值最小. 作点 A 关于直线I 的对称点A ，连结AB 交I 于 点P ，则PA PB AB 的值最小 例1、如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ABE 是等边三 角形，M 为对角线BD （不含B 点） 上任意一点，将 BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，
连接 EN 、AM 、CM . (1) 求证：△ AMB ENB ; (2) ①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小;
②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由;
(3) 当AM+BM+CM 的最小值为 ■■ ■■■ I 时，求正方形的边
长。

例2、如图13,抛物线y=ax2+ bx + c（a丰（的顶点为（1,4 ）,交x轴于A B,交y轴于D, 其中B点的坐标为（3,0 ）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14,过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小•若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由•
（3）如图15,抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN// BD,交线段AD于点N,连接MD使厶DN WA BMD若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b >2a且点F在AD上(以下问题的结果可用a,b表示)
(1) 求DBF;
(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转45°得图2,求图2中的S^DBF;
(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中DBF是否存在最大值，最小值？
如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

1 2
例4、如图，在平面直角坐标系中，直线
y=_x+1与抛物线y=ax 2+bx 3交于A , 2
点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3。

点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与 合)，过点P 作x 轴的垂线交直线 AB 与点C ,作PD 丄AB 于点D
(1) 求a , b 及sin ACP 的值 (2) 设点P 的横坐标为m
① 用含m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值； ② 连接PB ,线段PC 把厶PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 值,
三角形的面积之比为 9: 10?若存在，直接写出 m 值；若不存在，说明理由
•
B 两点， A , B 重
使这两个
3
例5、如图，OC的内接△ AOB中，AB=A0=4tan / AOB=_ ,抛物线y ax2 bx经过点A(4,0)
4
与点(-2,6 ).
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)直线m与O C相切于点A,交y于点D.动点P在线段0B上，从点0出发向点B运动；同
时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q
的速度为每秒2个单位长，当PQ! AD时，求运动时间t的值；
(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ ROB面积最大时，求点R的坐标.
第釜题图
例1、证明：（1 ）•••△ ABE是等边三角形, ••• BA=BE，/ ABE=60•••/ MBN=60 , MBN- / ABN= / ABE- / ABN .即/ MBA= / NBE .又••• MB=NB , AMB ◎△ ENB （SAS ）.（ 5 分）
解：
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM 的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小.（'、9
分）
理由如下：连接MN，由（1 ）
知，
△ AMB ◎△ ENB , • AM=EN ,
•••/ MBN=60,MB=NB, • •△ BMN是等边三角形. • BM=MN
• AM+BM+CM=EN+MN+CM. （10 分）
根据两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC 最短
•••当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于EC的长.（11 分）
（7 分）
例2、解：(1)设所求抛物线的解析式为：
y a(x 1)2 4，依题意，将点B (3, 0)代
3
入，得：a(3 1)2 4 0 解得：a =- 1二所求抛物线的解析式为：
y (x 1)2 4
(2)如图6，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称，
在x 轴上取一点 H ，连接HF 、HI 、HG 、GD 、GE ,贝U HF = HI .............................. ① 设过A 、E 两点的一次函数解析式为：
y = kx + b ( k 丰0),
•••点E 在抛物线上且点 E 的横坐标为2,将x = 2代入抛物线y (x 1)2 4，得
y (2 1)2 4 3
•••点E 坐标为(2, 3) (x 1)2 4图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D 2
•••当 y = 0 时，(x 1)
4 0 ,• x =- 1 或 x = 3
当 x = 0 时，y =— 1+ 4= 3,
•点 A (— 1, 0),点 B (3, 0),点 D (0, 3) 又•••抛物线的对称轴为：直线 x = 1,
•••点D 与点E 关于PQ 对称，GD = GE ........................... ② 分别将点A (— 1, 0)、点E (2, 3)代入y = kx + b ,得：
k b 0 k 1 解得：
2k b 3
b 1
过A 、E 两点的一次函数解析式为：
y = x + 1
•••当 x = 0 时，y = 1
•••点 F 坐标为(0, 1)
• DF =2 ....................................................... ③ 又•••点F 与点I 关于x 轴对称， ••点 I 坐标为(0,— 1)
EI VDE~DT 7 42 42 2屈 ............... ④
又•••要使四边形 DFHG 的周长最小，由于 DF 是一个定值, •只要使DG + GH + HI 最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知， DG + GH + HF = EG + GH + HI
只有当EI 为一条直线时，EG + GH + HI 最小 设过E (2, 3)、I ( 0,— 1)两点的函数解析式为: 分别将点E (2, 3)、点I (0，— 1)代入y k 1x b 1，得:
2k 1 b b 1
又•••抛物线y
y Kx DK 0),
15 2
k 1 2
解得：
b , 1
过A 、E 两点的一次函数解析式为： y = 2x — 1
1
•••当 x = 1 时，y = 1;当 y = 0 时，x =
一 一 1
•••点G 坐标为（1, 1）,点H 坐标为（一，0）
2
•四边形 DFHG 的周长最小为： DF + DG + GH + HF = DF + EI 由③和④，可知： DF + EI = 2 2、5
•四边形DFHG 的周长最小为2 2、、5。

（3）如图7,由题意可知，/ NMD =Z MDB ,
NM MD
要使，△ DNM BMD ，只要使
即可,
MD BD
2
即：MD NM BD ................................................ ⑤ 设点M 的坐标为(a , 0),由MN // BD ，可得 △ AMN ABD , • NM AM • BD AB
(2)可知，AM = 1 + a , BD = 3,2 , AB = 4
3
解得：a 或a
2
3 （不合题意，舍
去）
又•••点T 在抛物线
2
(x 1) 4图像上,
3评
•••当 x =时，y =
2 2 一 3
•••点T 的坐标为（，
MN AM BD AB 4^1 氓 a)
4 4
•/ MD 2
OD 2
OM a 2 9,
•⑤式可写成:
a 2
9 312 (1 a) 3.2 4
•••点
M 的坐标为
（
1，0)
再由（1）、
2
解：(1 厂••点 F 在 AD 上，••• AF 2=a 2+ a 2,即卩 AF= 2a 。

:.DF b 2a 。

•- S DBF
1
DF AB 1 (b 2a ) b 1 b 2
-3 ab 。

DBF
2 2 2 2
(2)连接DF , AF ，由题意易知 AF // BD , •四边形AFDB 是梯形。

• △ DBF 与厶ABD 等高同底，即 BD 为两三角形的底。

由AF // BD ，得到平行线间的距离相等，即高相等,
第一种情况：当b > 2a 时，存在最大值及最小值, •/△ BFD 的边 BD= 2b ,
•••当F 点到BD 的距离取得最大、最小值时， S A BFD 取得最大、最小值。

锦兀数学工作室绘制
第二种情况：当
b=2a 时，存在最大值，不存在最小值, S A BFD 的最大值 _ b 2 2ab = 。

…S DBF S
ABD
1b 2
(3)正方形AEFG 在绕A 点旋转的过程中, F 点的轨迹是以点 锦元数学工作室绘制
A 为圆心，AF 为半径的圆。

如图，当DF 丄BD 时, S A BFD 的最大值
1 屈(#b >''2a) b
2 2ab
1 |_
S A BFD 的最小值=-.2b
2 2a)
b 2 2ab 2
1
5
例 4、解：（1）由 x+1=0，得到 x= — 2,「. A 2
1
由—x+ 仁3，得到 x=4 , • B (4, 3) o 2
•/ PC // y 轴，•••/ ACP= / AEO 。

•- sin ACP=sin AEO=OA
牛
AE <5
5
9 5
了 <0，•当m =1时，PD 有最大值-F o
5 32
②存在满足条件的 m 值，m=5或32 o
2 9
y=ax 2 +bx 3经过
A 、
B 两点,
4a 2b 16a+4b 3=0 ，解得
3=3
1
a=— 2 o
1
2
b= 设直线AB 与y 轴交于点 则 E (0, 1)o
•根据勾股定理，得 AE= 5 o （2）①由（1）可知抛物线的解析式为 1 y= _x 2
由点P 的横坐标为m ，
m ， m ， 1
—m+1 o 2
• PC= 1 m+1 2 1 -m 2 2
+m+4
o
在 Rt △ PCD
中,
PD
PC sin ACP= 1 m 2+m+4
2
2-5
1 +
T ，
(—2, 0)。

例5、解：（1）将点A （4, 0）和点（-2 , 6）的坐标代入y=ax 2+bx 中，得方程组
-
4a-2b=6
1 a=—
解之，得 2. •••抛物线的解析式为
b=-2
(2)连接AC 交OB 于E.
•••直线 m 切OC 于 A • ACLm ；弦 AB=AO, • A B A O . • AC 丄 OB, • m// QB
3 3 •••/ OAD=Z AOB T OA=
4 tan / AOB= , • OD=OAtan / OAD=4
=3.
4 4
3
作 OF L AD 于 F.贝U OF=OA sin / OAD=4 =2.4.
5
t 秒时,OP=t,DQ=2t ,若 PC L AD 贝U FQ=OP= t.DF=DQ- FQ= t. "ODF 中,t=DF= OD2 OF 2 =1.8 秒.
1 2
(3) 令 R(x, -x - 2x) (0 v x v 4).
2
1 2
作 RGL y 轴于 G 作 RH L OB 于 H 交 y 轴于 I.贝U RG= x , OG= -x +2x. 2
345
Rt " RIG 中,GIR=/ AOB , • ta n / GIR= . .•.IG=—x IR= x,
4 3 3 4
1 2 1 2 2 4 1 2 2
Rt " OIH 中，OI=IG — OG — x —( 一x +2x ) =-x — x.HI= (一 x — x )
3 2
2
3 5 2 3
5 4 z 1 2 2 、 2 2 33
2
2 11 2 ,
于是 RH=IR — IH= — x —-(—x —
x )=-
x + x=— x + x= — ( x —
3
5
2
3
5 15 5 5 5
1、2 121
— )+
4
40
11
1 2 1
11 2 11 55 11
当x= 时，RH 取大.S "ROB 取大.这时
x —
x( )—2X
— .•••点 R(,
4
2
2 4 4 32 4
55
)
32
y=^x 2 -2x .
2。