高等代数试卷及答案一

一、填空题（共10 题，每题2分，共20分）。

1． 多项式可整除任意多项式。

2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。 3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于 个是0D =。 4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A

*

= 。

5．实数域上不可约多项式的类型有 种。

6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)

()

k f x -的 重因式。

7．写出行列式展开定理及推论公式 。 8．当排列12

n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过 数次对换变成12

n 。

9．方程组12312322232

121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩，当满足 条件时，有唯一解，唯一解为 。

10．若2

4

2

(1)1x ax bx -∣

++，则a = ，b = 。 二、判断题（共10 题，每题1分， 共 10分）。

1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。 （ ） 2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。 （ ）

3．设12

n ααα是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则12n ααα线性相

关。 （ ）

4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。（ ） 5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。（ ） 6 秩()A B +＝秩

A ，当 且仅当秩0

B =。 （ ）

7．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。（ ）

8． 若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。（ ）

9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。（ ）

10．若,,,n n

A B C D P

⨯∈，则

A B AD BC C D

=-。 （ ）

三、选择题（共 5 题，每题2分， 共10分）。

1．A 为方阵，则3A =（ ）

A.

3A B. A C. 3n A D. 3n A

2.若既约分数

r

s

是整系数多项式()f x 的根，则下面结论那个正确（ ） A. (1),(1)s r

f s r f +∣-∣- B. (1),(1)s r f s r f +∣+∣- C. (1),(1)s r

f s r f +∣--∣ D. (1),(1)s r f s r f +∣-+∣- 3. n 阶行列式D ，当n 取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（ ）

A.

4k 或42k + B. 4k 或41k + C. 4k 或43k + D. 41k +或42k +

4．含n 有个未知量1n +个方程的线性方程组1111221111221,111,22

1,1n n n n nn n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

+++++++=⎛

+++= +++=⎝有解的

（ ）条件是行列式

11

1211121,11,2

1,1

0n n n nn

n n n n n

n a a a b a a a b a a a b ++++=。

A.充要

B.必要

C.充分必要

D.不充分不必要 5． 1

110()[]n

n n n f x a x a x a x a Z x --=++

++∈，若既约分数

p

q

是()f x 的有理根，则下列结论正确的是（ ）

A. 0,n p a q a ∣∣

B. ,n n p a q a ∣∣

C. 0,n p a q a ∣∣

D. 00,p a q a ∣∣ 四、计算题（共4 题，每题7分，共28分）。

1．设 432()343f x x x x x =+---，32()31023g x x x x =++-

求((),())f x g x ，并求(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+。 2．计算下列n 阶行列式

3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。

4．设012114210A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

，判断A 是否可逆，若可逆，求1

A -

五、证明题（共 4 题，每题 8分， 共 32 分）。

1．设,A B 为n n ⨯矩阵，如果0AB =，那么秩()A ＋秩()B n ≤。 2．如果a 是()f x '''的一个k 重根，证明a 是()[()()]()()2

x a

g x f x f a f x f a -''=

+-+的一个3k +重根。

3．证明：cos 1000012cos 10000

12cos 000

cos 0002cos 1000012cos 10

1

2cos n

D n ααααααα

=

= 4．设向量组12,,,(1)s ααα

的秩分别为123,,r r r ，证明12312max{,}r r r r r ≤≤+。

答案

一．1．零次 2.充分 3. 2n n - 4. 1 5. 2 6. 单

7．11220i j i j in jn D i j

a A a A a A i j

=⎧++

+=⎨

≠⎩ 8. 奇 9. ,,a b c 互不相同 10. 1,2a b = =-

二．1－5 √ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ 6－10 ⨯ √ √ √ ⨯ 三．C C B B C

四．1．((),())3f x g x x =+； 2312()1,()555

u x x v x x x =

- =-+ 2．1112121

()()203n a b n D a a b b n n - =⎧⎪

=-- = ⎨⎪ ≥⎩

3．一般解为134********

x x x x x x ⎧=--⎪⎪ ⎨

⎪=-⎪⎩， 34,x x 为自由未知量。 基础解系为1327210η⎛⎫

- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

， 2

1201η-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。