第六章_二次型
线性代数 第六章二次型
第六章 二次型1、二次型基本概念1º二次型：n 个变量n x x ,,1 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x f 11211221111),,(+++=n n x x a x x a 222112++++…+211n nn n n x a x x a ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ∴A A Axx x f T T ==且)( 例如：3221232221453x x x x x x x f -+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=52102132022A 结论：二次型与对称矩阵一一对应，称对称矩阵的秩为对应二次型的秩. 2º标准二次型：22111),(n n n y d y d y y f ++=3º规范二次型：2212211)(q P P p q p z z z z z z f +++-+=++4º秩与惯性指数惯性指数：在标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性；负平方项的个数称为负惯性指数，且正负惯性指数之和为二次型的秩，正负惯性指数之差称为符号差。
化标准形式规范型：①配方；②合同变换二次型的矩阵的秩，正负惯性指数等相关题目思路：1）Ax x x x x f T n =),,(21 将，则秩f =秩A2）将),,(21n x x x f 用合同变换式配方法化为标准型221121),,(n n n y d y d x x x f ++= 负项的个数＝负惯性指数，秩f ＝平方项个数或化为规范型2221v p z z z f --++= 将 秩v f =正惯性指数为P ，负惯性指数为P v -例1. 1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 ，二次型的秩为 3 .2）实二次型2322213213),,(x x x x x x f +-=的秩为 ，正、负惯性指数分别为 例2.设)1()()()()(),,(212222121>++-+++=n x x nx nx nx x x x f n n n则f 的正负惯性指数之和为解：n n n x x x x x n x n f 1212221222)1()1(-----++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111111111122222222n n n n n n n n n n n A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→22220000111111111111n n n n2、将二次型化为标准形式已知标准形来求参数标准化方法1º配方法原理：配完全平方情形1：有平方项21⨯n a步骤：对所有含1x 的项配方，使得配方后余下的项不含1x ，如此继续，直至每一项均包含在平方项中。
二次型
例 6.2 二次型 f (x1, x2 , x3) = (x1 + x2 )2 + (x2 − x3)2 + (x3 + x1)2 ，求该二次型的秩。 【解答】
令 y1 = x1 + x2 ， y2 = x2 − x3 ， x3 = y3 ，则 x1 + x3 = y1 − y2 ，
f
( x1 ,
x2 ,
这样得到的矩阵记为 A1。 ② 如果 A1的第 2 列为零，这步跳过。
如果 A 的第 2 列非零。 (a) 如果 A 的第 2 列主对角元非零，则用初等行变换将主对角元以下元素全消为 零，做对应的初等列变换，将主对角元右边的元素全消为零。 (b) 如果 A 的第 2 列主对角元为零，在该列中寻找一个非零分量，例如，第 i 个， 将第 i 行加到第 2 行，将第 i 列加到第 2 列。(当然，也可以第 2 行减第 i 行，第 2 列 减第 i 列) 再用(a)中的步骤消元。 ③ 和前面一样的办法，一直做下去，直到得到对角阵为止。
只含平方项的二次型
f (x) = λ1x12 + λ2 x22 +" + λn xn2 称为标准二次型，简称标准形，其正平方项的个数称为正惯性指数，负平方项的 个数称为负惯性指数。正负惯性指数之和等于该二次型的秩。
特别地，若平方项的系数只有1, −1, 0 ，称这样的为规范形。
(2) 化二次型为其标准形 任何一个二次型都可以通过合同变换化为标准形。化二次型为标准形的方法
至于用于合同变换的矩阵 P ，也是简单易求的：将 A, E 写成分块矩阵的形
式：( A, E) ，对左边一块进行初等行变换时，对右边的也一起进行，对左边进行
88
二次型
dp d p 1
x 1 x2 xn d n
二次型的矩阵表示
f ( x，y ) ax 2bxy cy
2 2
a b x x y b c y
二次型的矩阵表示
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
最简单情形：（必要时交换变量的次序）
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
称之为规范形； p q=n-p 正惯性指数； 负惯性指数。
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
n )
回顾：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
2，…，n，αi 为 λi 的单位正交特征向量，则
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
1
n )
定理：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
二次型分类：正定、负定、不定。 若二次型 f (x) = xTAx 正定 (负定、不定)，则 称对称矩阵 A 正定 (负定、不定)。
正定二次型
性质：正定(相应地，负定)二次型 f (x) = xTAx 经非退化 (也称作非奇异、可逆) 线性变换仍
正定 (相应地，负定)。 即：若矩阵 P 可逆，x = Py，则二次型
-3 - 1 5
正定二次型
例3：求二次型 f (x) = xTAx 的标准形，其中
5 -3 3 - 3
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
线性代数PPT课件第六章 二次型
得特征值 11,22,35.
对于 1 1, 解 AEX0,
1 0 0
1 0 0
AE0 2 2, 0 1 1,
0 2 2 0 0 0
0
它的一个基础解系为： 1 1 .
( Q 1 , Q 2 ) Q Y 1 T Q Y 2 Y 1 T Y Q T Q Y Y 2 Y 1 T Y 2 ( Y 1 , Y 2 ).
正交变换 X QY 把 R n 中的标准正交基
X1,X2,,Xn 变为 R n 中的标准正交基
Q1X,Q2 X,,Qn X.
定理 6.2 对于 n元实二次型 f(X)XTAX, 存在正交变换 X QY, 可将该二次型化为标准形：
2 2 4 0 0 0
1
它的基础解系为：
3
1
,
1
再将 1,2,3 单位化得：
1 2
1 6
1 3
1
1 2
;
0
2
1 ; 26
6
3
1 . 13
3
令 Q 1 2 3, 即为所求正交变换矩阵.
满足
Q
1
A
Q
2
2
.
8
于是正交变换 X QY 化二次型 f
为标准形： f2y1 22y2 28y3 2.
x1 p11y1 p12y2 p1n yn
x2
p21y1 p22y2
p2n
yn
xn pn1y1 pn2 y2 pnnyn
称为从 x1,x2,,xn 到 y1,y2,,yn
的一个线性变换. 其矩阵形式
XPY 其中 X(x1,x2,,xn)T, Y(y1,y2,,yn)T,
第六章 二次型
第六章二次型
第六章-二次型————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ第六章 二次型二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。
不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。
在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
§1 二次型定义１ n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++=+nn x x a x x a x a 223223222222++++…+)1.1(2nnn x a称为一个ｎ元二次型, 简称二次型。
当所有系数ij a 为复数时,f 称为复二次型;当ij a 都为实数时, f 称为实二次型。
本章中只讨论实二次型。
取ji a ＝ij a (n j i j i ,,2,1,, =<）则有i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2从而(1.1）式可写成∑==nj i j i ijn x x ax x x f 1,21),,,(＝n n x x a x x a x a 1121122111+++ n n x x a x a x x a 2222221221++++ ＋ (2)2211n nn n n n n x a x x a x x a ++++=)(12121111n n x a x a x a x +++ )(22221212n n x a x a x a x +++++…)(2211n nn n n n x a x a x a x ++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x22112222121121211121),,,( ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,( 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n x x x X a a a a a a a a a A21212222111211则用矩阵将二次型(1．1)可写成AX X x x x f n '=),,,(21 (1.２) 其中n n ij a A ⨯=)(为实对称矩阵,它的主对角线元素ii a 是二次型),,,(21n x x x f 中平方项2i x 的系数, 其余元素)(j i a a jiij ≠= 正是f 中交叉项j i x x 系数的一半。
第六章 二次型
a12 = a21 1 ∴ A = 2 0
= 2, a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3. 2 0 2 − 3 . − 3 − 3
1 2 0 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 −3 x2 = X T AX 0 −3 −3 x 3
称 x1, x2,⋯ xn的 个 二 型 为 , 一 n元 次
实 次 ： 数 ij为 数 二 型 简 二 型 二 型 系 a 实 的 次 ， 称 次
2 2 例：f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3 是二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
第六章
二次型
第一节 二次型的概念 第二节 化二次型为标准型 第三节 第四节 惯性律、 惯性律、二次型的规范形 二次型的正定性
第一节 二次型的概念
定 6.1 义 n元 次 二 型
含 个 量 1, x2,⋯ xn的 次 次 项 n 变 x , 二 齐 多 式
2 f (x1, x2,⋯ xn ) = a11x1 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +⋯+ 2a1nx1xn , 2 + a22x2 + 2a23x2x3 +⋯+ 2a2nx2xn 2 +⋯+ 2annxn
是二次型
令 aij = aji
(i < j)
2 a x1 + a12x1x2 +⋯+ a nx1xn 11 1 2 + a21x2x1 + a22x2 +⋯+ a2nx2xn
线性代数课件：第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
第六章 二次型
则
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi
于是可将二次型（4）写成
6.1 二次型及其矩阵表示
或写成 其中
f (x1, x2 , , xn ) x1 (a11x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21x1 a22 x2 a2n xn )
)
，
nn
x
x2 x
（3） （4）
6.1 二次型及其矩阵表示
因为当i j 时有aij a j，i 所以 A 为对称矩阵. 称（4）式为二次型f(x ) f
(x1,x 2, ,x n ) 的矩阵表示式，对称矩阵A则称为二次型 f (x) 的矩阵.
容易看出，a
ii
是
x
2 i
项的系数，aij
a ji（当 i
B CT AC
则称矩阵 A 与B是合同的.
6.2 二次型的标准形
合同是矩阵之间的关系，容易看出，合同关系具有以下性质：
（i）反身性：每个方阵与自己合同.
（ii）对称性：如果矩阵A与 B 合同，则矩阵B与A也合同.
（iii）传递性：如果矩阵A与B 合同，且B与C合同，则矩阵A与 C 合同.
事实上，（i）因为有 A ET AE，所以反身性成立.
6.1 二次型及其矩阵表示
6.1.1 二次型的定义
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax2 2bxy cy 2 1
（1）
的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin
y
x s in
yc
os
把方程化为标准方程
1x2 2 y2 1
从而判定曲线的类型，研究曲线的性质.
别 地 ， 如 果 矩 阵C 为 正 交 矩 阵 ， 则 （ 1 ） 式 就 称 为 正 交 的 线 性 替 换 .
第六章 二次型
第六章 二次型·矩阵的合同§1 二次型和它的标准形二次型是二次曲线和二次曲面概念的推广。
如22341x xy y -+= 代表平面内的一条二次曲线；22244841x y z xy xz yz ++---= 代表三维空间内的一张二次曲面。
它们都有一个共同的特点: 就是除了常数项外，其余各 项的次数都是2，都是二次项。
一般地，将变元的个数从2个、3个推广到n 个就有1. 二次型的定义 系数在数域K 中取值的n 个变元12,,,n x x x 的一个二次齐次多项式，称为数域K 上的一个元二次型。
它的一般形式是2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++2222223232222.n n nn n a x a x x a x x a x ++++++ （1）2. 二次型的矩阵 （1）式可以写成如下形式 2121111212131311(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++22121222232322n n a x x a x a x x a x x ++++++2112233n n n n n n nn n a x x a x x a x x a x +++++11nnij i j i j a x x ===∑∑，（2）其中 ,1,.ji ij a a i j n =≤≤把（2）式中的系数排成一个n 阶矩阵A （注意ji ij a a =）：1112112222122n n nsn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 称A 为二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的矩阵。
二次型的矩阵是一个对称矩阵，它由二次型唯一决定：它的主对角元依次是22212,,,n x x x 的系数；它的(,)i j 元素是i j x x 的系数的一半，其中i j ≠。
第六章 二次型
6.3 基本内容6.3.1 二次型及其矩阵形式 (1) 定义 n 变量的二次齐次函数n n n x x x x x x x x x x f 1131132112211121222),,,(αααα++++=ΛΛ2222x α+ n n x x x x 22322322αα+++ΛΛ+2n nn x α+j i n i nj ijx x ∑∑===11α(其中∈=ij ji ij αααR )，称为n 个变量n x x x ,,,21Λ的二次型。
注 若0=ij α（n j i j i ,,2,1,,Λ=≠）则称f 为标准型。
(1) 矩阵形式Ax x x T=)(f其中[]n n ij Tn A x x x ⨯==)(,,,,21αΛx ，这里ji ij αα=，即A 为实对称矩阵。
注1 实对阵矩阵A 成为二次型f 的矩阵，而A 的秩称为该二次型的秩。
注 2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。
注3标准型的矩阵是对角阵。
6.3.2 与二次型的标准型有关的概念 (1) 满秩线形变换设[][]n n ij Tn Tn p y y y x x x ⨯===)(,,,,,,,,2121P y x ΛΛ可逆，则称x=Py 为由n x x x ,,,21Λ到n y y y ,,,21Λ的满秩线形变换。
注 若P 为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。
(2) 合同矩阵设A ，B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵C ，使 B AC C T=则A 合同与B ，C 为合同变换阵。
注1 若C 为正交阵，满足B AC C T=，A 与B 既合同，又相似。
注2 合同矩阵秩相等。
注3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。
(3) 对任一个二次型Ax x Tf =，总可以通过满秩线形变换x=Py 化为 2222211r r y d y d y d f +++==ΛAy P y TT成为f 的标准型。
第六章二次型
第六章二次型6.1二次型的概念及其标准型 6.1.1二次型的概念n n(1)含有n个变量X1,X2,…，X n的二次齐次多项式：f(X1,X2,…，X n )=2送a j X j X j，7 y其中a j =aji，则称为n元二次型.⑵二次型的矩阵形式为f(X1,X2,…，X n )=X T A X，其中X =(X1,X2,…,X n J , A是n阶实对称矩阵.⑶ 矩阵A的秩r(A称为二次型f的秩，记作r(f ).6.1.2二次型的标准形(1)标准形的概念如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 XjXjU H j)的系数全为零，即:T 2 2 2f(X1,X2,…，X n )=x Ax^dx + d2X2 屮…+d n X n，其中 dj(i=O,1,…，n)为实数,则称这样的二次型为标准形.(2)标准形的惯性指数在标准形中，正平方项的个数P称为正惯性指数；负平方项的个数q称为负惯性指数.(3)二次型的标准形转化任意的n元二次型x T Ax都可以通过坐标变换X = Cy ( C 是可逆矩阵)化为标准形，即：X T Ax^=Cy(Cy T A(Cy )= y T(C T AC k = y T A y =4』1+d2y2 中…^皿.注：特别地，存在正交矩阵C，二次型x T Ax可以通过正交变换x=Cy化为标准形，即：X T A X —(Cy T A(Cy )= yTQ’AC k = y T A y =人％+入2y2 屮"+几Pn，其中2,…入为矩阵A的特征值.6.1.3惯性定理实二次型的标准形中，非零平方项的个数是唯一确定的，它等于这个二次型矩阵 的秩；正平方项的个数（正惯性指数）或负平方项的个数（正惯性指数）也是唯一确 定的，即：实二次型的标准形的正负惯性指数与所选取的坐标变换无关 . 【例6.1】寻找适合的旋转变换，将椭圆5洛2-4x 4X 2 +5X 22 =48化为标准形式■解：根据题意有二次型矩阵为A =[: ：2 由于"E -A 卜y ；5 、2J=（几-3皿—7）=0，所以特征值为几1=3，心=7,2 A — 5 I所以得到特征向量为 旳=（1,1T ,单位化为必得到标准形为3y^ + 7y^ =48.2 2【例 6.2 】化二次型 f (x 1,x 2,X 3 )=2x 1 +x 2 -472 -4X 2X 3 为标准形. 解：方法1:正交变换法A 的特征值入 1 =4，S =1，為=-2，相应的单位特征向量为口1二丄心-?」『,3“知如宀中2,2）】对于几=3，由 |3E _Ax=0，|3E -A =|r-2 I 22 1~「-2 I = I -2」〔0 21 0」，对于入=7，由7E — A X = 0，7E - A J 2 口 [2 2 2」[0口 2 21，■ 0」，所以得到特征向量为。
二次型
形如 f=d1y12+d2y22+…+dryr2 (r≤n) 的二次型称为标准形 标准形。 的二次型称为标准形。 若对n阶方阵 和 ，存在可逆阵P, 若对 阶方阵A和B，存在可逆阵 阶方阵 合同。 使 PTAP=B，则称 与B合同。 ，则称A与 合同 定理1 合同矩阵秩相等。 定理 合同矩阵秩相等。
则
f = u12+…+ up2- up+12-…- ur2
称其为f的规范形，是唯一的。 称其为 的规范形，是唯一的。
二次型§ 惯性定理（ 第六章 二次型§3 惯性定理（续1） ）
元实二次型 定义 设f=XTAX 为n元实二次型 ，若对 元实 任意n维非零列向量 维非零列向量X，均有X 任意 维非零列向量 ，均有 TAX>0,则称 则称 f=XTAX为正定二次型，A为正定矩阵。 为正定二次型， 为正定矩阵。 定理4 阶实对称矩阵， 定理 设A为n阶实对称矩阵，则下列 为 阶实对称矩阵 命题等价： 命题等价： ①f=XTAX正定； 正定； 正定 的正惯性指数为n ② f=XTAX 的正惯性指数为 ； 存在可逆阵P, ③存在可逆阵 使A=PTP; 个特征值全大于0。 ④A的n个特征值全大于 。 的 个特征值全大于
第六章 二次型 §2 化二次型为标准形
定理2 定理 对n元二次型 f=XTAX，存在正交变换 元 ，存在正交变换X=QY, 化为标准形 使f化为标准形。 化为标准形。 证明： 为实对称阵 为实对称阵， 存在正交 正交阵 使 证明：A为实对称阵，∴存在正交阵Q,使 Q-1AQ= Λ ，即QTAQ= Λ ， 0 λ1 Λ= ... 0 λn 令X=QY，则 f=XTAX=YTQTAQY=YT ΛY ， = λ 1y12+ λ 2y22+…+ λ nyn2 为标准形。 的特征值) 为标准形。(λi为A的特征值 的特征值 推论：对实二次型 推论：对实二次型 f=XTAX，存在可逆线性变换 ，存在可逆线性变换X=PY, 化为标准形 使f化为标准形 1y12+d2y22+…+ dnyn2 化为标准形:d (di未必是 的特征值 未必是A的特征值 的特征值)
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f (x1, x2 , x3 ) 3x12 3x22 2x1x2 4x1x3 4x2x3
3 1 2
•
写出二次型对应的对称矩阵：
A
1
3
2
2 2 0
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利用MATLAB 和多媒体网络改进线性代数 教学的尝试
– 采用配方法和变量代换，消除表达式中的一次项，这一步对应了三维空 间的坐标系的平移；
– 根据标准方程判断二次曲面的类型。
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利用MATLAB 和多媒体网络改进线性代数 教学的尝试
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例2：将一般二次曲面方程化为标准方程（只含平方项和常数项）
x2 2y2 10z2 28xy 8yz 20zx 26x 32y 28z 38 0
• 首先将 x2 2 y2 10z2 28xy 8yz 20zx 用正交变换法化为标准型
– 采用例1的办法，得到正交矩阵：
1 2 2
3 3 3
Q
2 3
1 3
2 3
2 3
2 3
1 3
– 做正交变换 X = Q Y，得： xT Ax yT (QT AQ) y 9x '2 18y '2 18z '2
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例3：用配方法将二次型化为标准型，并求所做的坐标变换。
f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 4x1x3
• 先按 y12 及含有的 y1 的混合项配成完全平方（再按y2、y3） f (x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 4 y1 y3 4 y2 y3 2( y12 2 y1 y3 y32 ) 2 y32 2 y22 4 y2 y3 2( y1 y3)2 2( y2 y3)2
2
例1：用正交变换法将二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵
• 求A的特征值
3 1 2 4 1 2
1 3 2 4 3 2
2 2
0 2
4 1 2
0 2 4
0 2
( 4)(2 2 8) ( 4)2 ( 2)
– 则A的特征值为： 1 2 4, 3 2。
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f (x1, x2 , x3 ) 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
0
2
1
2 2 2 0 0 0
– 得方程组 (-2E-A) X = 0 的基础解系： 3 (1, 1, 2)T
–
单位化得：
3 (
1,
6
1,
6
2 )T
6
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例1：用正交变换法将二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵
• 则可取正交矩阵：
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例2：将一般二次曲面方程化为标准方程（只含平方项和常数项）
x2 2y2 10z2 28xy 8yz 20zx 26x 32y 28z 38 0
• 基本思路：
– 采用正交变换法，将二次项部分化为标准型，这一步对应了三维空间的 坐标系的旋转；
1 2
1 3
1 6
Q
(1,2,3)
1 2
1 3
1 6
0
1 3
2 6
• 在正交变换 X = Q Y 下，即：
x1
1 2
y1
1 3
y2
1 6
y3
x2
1 2
y1
1 3
y2
1 6
y3
x3
1 3
y2
2 6
y3
• 有 f (x1, x2 , x3 ) g ( y1, y2 , y3 ) 4 y12 4 y22 2 y32
•
令：
z1 z2
y1 y3 y2 y3
z3 y3
,
即:
y1 y2
z1 z2
z3 z3
y3 z3
• 则有： f (x1, x2 , x3 ) 2z12 2z22
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例4：用初等变换法将二次型化为标准型，并求所做的坐标变换。
33
3
9
• 配方得：
(x ' 1)2 2( y ' 1)2 2(z ' 4)2 1
3
3
3
• 再令：
x '' x ' 1 , y" y ' 1 , z '' z ' 4
3
3
3
• 得曲面的标准方程： x "2 2 y "2 2z "2 1
• 故方程的图形是单叶双曲面。
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例3：用配方法将二次型化为标准型，并求所做的坐标变换。
f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 4x1x3
• 由于不含平方项，无法配方，所以先作变换，使其出现平方项！
–令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
x3 y3
– 则 f (x1, x2, x3) 2( y1 y2 )( y1 y2 ) 4( y1 y2 ) y3 2 y12 2 y22 4 y1 y3 4 y2 y3
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例1：用正交变换法将二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵
• 求λ1 = λ2 = 4 对应的特征向量
1 1 2 1 1 2
4E
-
A
1
1
2
0
0
0
2 2 4 0 0 0
– 得方程组 (4E-A) X = 0 的基础解系：
1 (1,1, 0)T , 2 (2, 0,1)T
– 施密特正交化、单位化得：
1
(
1,
2
1 , 0)T
2
,
2
(
1 ,
3
1,
3
1 )T
3
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例1：用正交变换法将二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵
• 求λ3 = -2 对应的特征向量
5 1 2 1 1 0
2E
-
A
1
5
2
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例2：将一般二次曲面方程化为标准方程（只含平方项和常数项）
x
1 3
x
'
2 3
y
'
2 3
z
'
•
再将X = Q Y ，即： y
2 3
x
'
1 3
y '
2 3
z'
，代入曲面的方程，得：
z
2 3
x
'
2 3
y
'
1 3
z
'
x '2 2 y '2 2z '2 2 x ' 4 y ' 16 z ' 38 0