第三节 变力做功 动能定理

第二次课： 2学时

1 题目： §2.3 变力做功 动能定理

§2.4 势能

§2.5 功能原理 能量守恒定律

2 目的： 1）掌握求变力做功的方法及功的物理意义。 2）掌握势能的普遍定义和各种势能的共性。 3）了解功能原理和能量守恒定律的物理意义。 一、引入课题：

人们利用机械转置可以省力和做功。物体所具有的做功能力叫做能量，机械可以消耗一定的能量对外做功，能量在一定的条件下可以以做功的方式从一种形式转化为另一种形式，在这种转化的过程中服从能量守恒定律。

质点在恒力F 的作用下，沿直线走过一段位移S ，力F 所做的功为

讨论：正功、负功和零功。 二、讲授新课：

§ 3.1 变力做功 动能定理

一、变力的功

1 元功：质点在力F 作用下发生元位移d r 时，力F 对质点所作的功称为元功。

c o s

d A F

d r F d s α==

2 总功：若质点在力F （不一定是常力）的作用下，沿路径L 由C 运动到D ，则力F 所做的总功为沿该路径的线积分 做功公式

c o s

D

D

D

C

C

C

A d A F d r F d s α===⎰⎰

⎰

在直角坐标系下，做功公式表示为 ()D

x y z

C A F d x

F d y F d z

=++⎰

cos A FS α

=

3 功的性质

①功是标量，没有方向只有正负。元功的正负决定于力与元位移间的交角。 ②功具有可加性，即合力的功等于各分力的功的代数和。

③功是力对空间的累计作用。功与运动的过程相联系，只有在受力质点的位置发生变动的过程中才可能做功。对于功一定要明确是什么力、在什么过程中做功。 ④功是相对量，参考系选择有关。

问题：在运动的电梯中，静止的人所受电梯的支持力是否做功？

以电梯做参考系，位移为零 以地面做参考系，位移不为零 4 一对力的功

系统内两个质点间的作用力和反作用力称为一对力。

设相互作用的质点m c 和m D 的位矢分别为r C 和r D ，相互作用力有关系F C =－F D ，在某段时间内，两质点位移分别为d r C 和d r D ，在这段时间内，这一对力所做的总功为

()()C C D D D D C D D C d A F d r F d r F d r d r F d r r

=+=-=-

或 D C D d A F d r =

即

1）两个质点间的相互作用力所做的元功之和等于其中一个质点所受的力与该质点对另一个质点的相对元位移的点积。 2）一对力做功的特点

①一对力做功的总和与参考系选择无关。因为相对位移CD dr

与力D F 都与参考系的选择无关，所以一般可以选取方便的参考系来计算。

例：选一个物体为参考系，此时CD dr

为另一物体的位移，所以一对滑动摩擦力的功恒为负。

② 如果两质点间没有相对运动，或相对运动的方向与力的方向垂直，那么这一对力所做的总功为零。 例：一对正压力的功恒为零。

一对静摩擦力的功恒为零。 刚体的内力之功恒为零。

解： 弹性力所作的元功

从x 1到x 2弹力所做总功

例2-4 如图所示，质量为m 的质点，从A 沿曲线运动到B 。求此过程中重力所作的功

解:

d cos d A G αs

=d cos d s y

α=-d d A mg y =-21

21 d ()

y y A mg y mgy mgy =-=--⎰

例2-5 弹簧一端固定于墙上，另一端系一物体。取弹簧无形变时物体所在位置为原点，弹簧伸长方向为 Ox 轴的正方向，如图所示。拉伸或压缩弹簧时，作用于物体的弹力为

f kx

=- 在上式中，是弹簧的劲度系数，是物体位置的坐标。负号表示作用于物体的弹性力恒指向平衡位置(原点)。计算物体从移动到过程中弹力所作的功。

d d A kx x

=-⋅

例：摩擦力的功 解

例2－3 某物体在平面是沿ox 轴的正方向前进，平面是各处的摩擦系数不等，因而作用在物体上的摩擦力是变力，已知某段路面摩擦力的大小随坐标x 变化的规律为

求：从x=0 到x=L 摩擦力所做的功。 解：∵力与位移的方向相反，即α＝π， ∴cos α=1 元功为

从x=0到 x=L 摩擦力所做的总功为

二、功率

为了描述单位时间内所作的功，需要引入功率的概念。 定义：功率单位时间内所做的功称为功率。

x y

z d A d x d y d z

F d r F d v F F F d t d t d t d t

===++ 1.平均功率

设某力在时间Δt 内作功是ΔA ，则此力在时间Δt 内的平均功率为

o 2

1

22

2111 () d ()22

x x A kx x k x k x =-=--⎰

ΔΔA

P t

=

20

2s R

f N m

g A f ds

mg ds

R mg

πμμμπμ=-=-==

-=-⎰⎰

()

10f F x x =+〉()cos 1f dA F ds x dx

α==-+()0

1112L

A x dx L L ⎛⎫=-+=-+ ⎪

⎝⎭⎰