中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．解下列方程：

（1）x 2﹣3x=1．

（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-=

= ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】

试题分析：（1）利用公式法求解即可；

（2）利用直接开方法解即可； 试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，

∵b 2﹣4ac=13＞0

∴

． ∴12313313,22

x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，

∴12223,223y y =-+=--

2．解方程：（2x+1）2=2x+1．

【答案】x=0或x=12

-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.

试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，

∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，

则x=0或2x+1=0，

解得：x=0或x=﹣12

．

3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．

（1）求a 的取值范围；

（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．

【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）

根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣

2

6

a

a+

，x1x2=

6

a

a+

，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=

﹣

6

6

a-

是是负整数，即可得

6

6

a-

是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．

【详解】

（1）∵原方程有两实数根，

∴，

∴a≥0且a≠6．

（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，

∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．

∵（x1+1）（x2+1）是负整数，

∴﹣是负整数，即是正整数．

∵a是整数，

∴a﹣6的值为1、2、3或6，

∴a的值为7、8、9或12．

【点睛】

本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．

4．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元

【解析】

【分析】

表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】

设每天获得的利润为w元，

根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．

∵a＝﹣10＜0，

∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．

答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．

【点睛】

本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.

5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?

【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m

【解析】

【分析】

根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.

【详解】

解:设绿化区宽为y ，则由题意得

502302x y -=-.

即10y x =-

列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=

解得13x =- (舍)，213x =.

∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m

【点睛】

本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．

6．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．

(1) 试说明：此方程总有两个实数根．

(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.

【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.

【解析】

分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）利用公式法可求出x 1=

3m

，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，

∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，

∴△=（m -3）2-4m ×（-3）

=（m +3）2，

∵（m +3）2≥0，即△≥0，