圆球的表面求点和截交线
第6章 曲面立体及截交线
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
e”
s
a e
素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
s”
a”
s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
§4.2 平面与立体相交求截交线(1)
1
2 3
4．判别可见性，整理轮 廓线。
[例题]求圆球截交线
[例题] 分析并想象出圆球穿孔后的投影
立体的截交线
平面立体的截交线
◦ ◦ ◦
概念、性质、方法 单一平面与平面立体截交 多个平面与平面立体截交
曲面立体的截交线
◦ ◦
◦
圆柱截交线 圆锥截交线 圆球截交线
[综合题] 求出物体切割后投影
3'
1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
判别可见性整理轮例题求圆球截交线例题分析并想象出圆球穿孔后的投影平面立体的截交线平面立体的截交线概念性质方法概念性质方法单一平面与平面立体截交单一平面与平面立体截交多个平面与平面立体截交多个平面与平面立体截交曲面立体的截交线曲面立体的截交线圆柱截交线圆柱截交线圆锥截交线圆锥截交线圆球截交线圆球截交线综合题求出物体切割后投影
三.例题
例、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
c'(d') 2' • d"• 3'(4') • 4"• • • b"• 1'• a'(b') 4 b• • 1• a• • 3 2" •
基本体及求表面点
1(2)
2●
1●
2
三面共点：
Ⅰ、Ⅱ两点分别同
1
时位于三个面上。
例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
6
Ⅴ
Ⅳ
Ⅶ
3
Ⅵ Ⅲ
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
3.2 回转体及截交线
一 回转体的投影
1 圆柱的投影
O A
O1A1
圆柱表面上取点
()
()
直接利用 积聚性在 圆周上取 点
(D)
C AB
1 圆锥的投影 O
O1
一 棱柱
1 棱柱的组成 2 棱柱的三视图 3 棱柱表面上取点
a (b)
b
a
a b
二.棱锥
1 棱锥的组成 2 棱锥的三视图 3 在棱锥表面上取点
s
s
a b c a(c) b
a
c
s
b
2'
r 1
r 2
1
（2‘’） 1
R
Ⅰ
三 棱柱被平面截切的截交线
截交线 --- 截平面与立体表面的交线称为。 截交线都具有下列两个基本性质： （1）截交线一定是一个封闭的平面图形。 （2）截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线 是截平面和立体表面的共有线。截交线上的点都是截 平面与立体表面上的共有点。 所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面 的共有点。
’
s”
m’ a’
1’ c’(d’) d
m” b’
d” a’(b’)1” c”
a
s
b
m
1 c
圆锥的投影及表面上的点
方法二：辅助圆法
Z
过M点作一平行与底 V
面的水平辅助圆，该圆
8截切-圆球(完结)解析
1
圆锥
圆球
第三章 立体的表面交线
第一节 截交线 第二节 相贯线
2018/10/15
2
二、曲面立体的截交线
回转体的基本形式
2018/10/15
3
1. 圆柱的截交线
PV
PV PV
P
P
P
垂直 圆
2018/10/15
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
4
2. 圆锥体的截交线
α θ
α θ
12
小 结
第三章 立体表面的交线 第一节 截交线
二、曲面立体的截交线
3. 圆球的截交线 （1）单一平面截切圆球的截交线的画法： （2）多体截切圆球的截交线的画法： 4.复合回转体被截切截交线的画法：
2018/10/15
13
8
4. 复合回转体的截切
例2：求作顶尖的俯视图
(1)截平面为水平面 空间分析
圆锥被截截切 投影分析 小圆柱被截切
求截交线
大圆柱被截切
注意：
（1）要逐个截平面分析和 绘制截交线。 （2）要逐个分析被截切的 几何体和绘制截交线。
(2)截平面为正垂面 (3)截平面的交线 (4)素线的投影
2018/10/15
α
θ
α
两相交直线
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圆
椭圆
抛物线
双曲线பைடு நூலகம்
5
3.圆球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根 据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投 影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
Ph
平行于某一投影面
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垂直于某一投影面
第九章 平面与曲面相交 (3)
平面与圆柱相交
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
例 例8 8：求 ：求W W投影 投影
例9：求W投影
虚实分界点
例10：圆柱与四棱柱相交，求W投影
例11 已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
g'≡h' m'≡n'
a'≡c' o1'
Rv
b'≡d'
Qv
1'
h n 1 c e a g o1 d b m
例22 分析圆球打孔后的投影
㈣ 组合体的截交线
求组合体的截交线分两步 求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。 一般情况下,两个基本几何体表面若相交,则截平 面截得的二截交线也相交,交点即为两基本形体表面 交线与截平面的交点 特殊情况下,若两个基本几何体表面相切, 二截 交线也相切,切点即为两基本切线与截平面的交点
5．整理轮廓线。
a
4
2
例15 分析并想象出圆锥穿孔后的投影
例15 分析并想象出圆锥穿孔后的投影
例16 分析六角螺母头部的曲线
1 2
例16 分析六角螺母头部的曲线
㈢ 圆球表面的截交线
圆
㈢ 圆球表面的截交线
求圆球截交线上点的方法——纬圆法
㈢ 圆球表面的截交线
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但 根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线 的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例1：求半球体截切后的H投影和W投影。
例18
求圆球截交线
c'd'
12,第十二讲回转体.回转体的截交线(二)相贯线(一)
2
3
4
判别相贯线可见性的原则 见的。
只有位于两形体都可见的面上的交线是可
例题7
平面立体与曲面立体相贯，完成相贯后的投影
解题步骤 1 分析 相贯线的侧面 投影已知，可利用表 面取点法求共有点； 2 求 出 相 贯 线上 的 特 殊点Ⅰ、Ⅱ 、 Ⅳ； 3 求出一般点Ⅲ ； 4 光 滑 且 顺 次地 连 接 各点，作出相贯线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
b
3
圆柱体截交线 直线与圆柱相交
姓名
学号
审核
成绩
33
复习题(例题6）
1' 4'
求圆柱截交线
10"(40“) (4“) 1" (5" 3" 2"
解题步骤
1 分析 截交线的正 投影和水平投影为已 知； 2 求出截交线上的特 殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ； 3 求一般点Ⅴ； 4 顺次地连接各点， 作出截交线，并且判 别可见性； 5 整理轮廓线。
例题7
想象出物体及其侧面投影的形状
作业 评讲
复习题:求园柱被切割后的H、W投影。
45°
第十讲 曲面立体的投影（二）
基本要求
§7-3 曲面立体的截交线（锥和球） §7-4 曲面立体的贯穿点(自学) §7-5 曲面立体与平面立体相交 ☆
基本要求:
本讲是画法几何学中较难的部分，需要认真 练习。 熟练掌握基本曲面体的三面投影。 熟练掌握曲面立体表面取点的方法，这是本 章也是本讲的一个基本方法。 充分理解截交的几何意义及截交线的性质， 熟练掌握求截交线的方法。 掌握直线与曲面立体相交贯穿点的性质及求 解方法。 充分理解相贯的几何意义及相贯线的性质， 熟练掌握求相贯线的方法。
球体的切平面与截面解析
球体的切平面与截面解析球体是一种由无数个点组成的几何形体，其表面上的每一个点到球心的距离都相等。
球体的切平面与截面是对球体进行切割所得到的几何形状。
本文将深入探讨球体的切平面与截面的解析。
一、切平面的解析切平面是指与球体相切的平面。
在球体上选取一个点P作为切点，过点P作一条直线与球体相交于两点A和B，然后过点P和中心O引出一条直线OC，其中O为球体的球心，C为OC与球体相交点。
当直线OC与球体相交于一点C时，直线AB与切平面平行，同时线段AC和BC为切平面上的两条切线。
切平面的位置和形状可以根据切点P的位置和切线的方向来确定。
当切点P在球体表面上时，切平面与球体的交点为切点P本身。
当切点P在球体内部时，切平面将球体切割成两部分，形成一个环状截面。
二、截面的解析截面是指通过球体内部的一个平面与球体相交所得到的几何形状。
球体的截面可以分为三种常见情况：圆截面、椭圆截面和双曲线截面。
1. 圆截面当截面平面与球体的直径垂直时，截面形状为一个圆。
这是最常见的截面情况，在球体的任意位置，若截面平面与球体的直径垂直，则所得截面都是圆形的。
2. 椭圆截面当截面平面与球体的直径不平行时，截面形状为一个椭圆。
在球体的不同位置，截面的长短轴比例不同。
当截面与球体的直径平行时，截面形状变为一个点，即长轴和短轴长度均为零，这种情况也可看作是一个特殊的椭圆截面。
3. 双曲线截面当截面平面与球体的直径相交于球体外部时，截面形状为一个双曲线。
双曲线截面是一种非常特殊的情况，其形状与椭圆相似，但具有两个不相交的分支。
三、切平面与截面的重要性与应用球体的切平面和截面在数学、几何以及物理领域具有重要的应用价值。
它们是研究球体性质、求解球面问题的基础。
在数学中，切平面和截面是球体几何性质的基本概念。
通过对切平面和截面的分析研究，可以推导出球体的体积、表面积以及其他相关的数学公式。
在几何学中，切平面和截面的概念有助于我们理解球体的结构和形态，进而推广到其他几何形体的研究中。
点到球体表面的切点
点到球体表面的切点
球体的表面上的切点是指一条直线与球体相交，且与球体的表面相切，即只与球体相交于一个点的情况。
如果你有一个球体，并想找到一条切线与其相交于表面上的一个点，可以按照以下步骤进行：
1.选择切点位置：首先，确定你想要在球体上找到切点的位置。
可
以在球体的表面上任选一个点，作为你要找到切点的位置。
2.画切线：从切点开始，画一条直线，穿过切点，并且与球体的圆
周相交。
这条直线就是你要找的切线。
3.确保切线与球体相切：确保你画的直线与球体的表面只有一个交
点。
这个交点就是你要找的切点。
切线在该点的斜率与球体表面在该点的切线相切的斜率相同。
要注意，球体的切线方向是相对于球心的，而不是相对于球体表面的局部方向。
在球体上，任意一点都可以找到无数个与其相切的切线，因为球体在该点的表面曲率是相同的。
在数学和几何学中，切线的概念是一个重要的概念，它涉及到曲线和曲面的性质以及它们在某一点的局部特征。
工程制图课件 05其它常见回转体及其截交线
圆球的三视图
蓝色圆是正平转向素线圆。 红色圆是水平转向素线圆。 紫色圆是侧平转向素线圆。
蓝色圆是主视图的转向轮廓线。 红色圆是俯视图的转向轮廓线。 紫色圆是左视图的转向轮廓线。
圆球表面的点
❖ 圆球转向素线圆上的点
(a”)
步骤 1：根据已知投影分析每 个点的空间位置。 点 A 位于水平转向素线圆的右前弧；
圆球表面的点
❖ 一般位置点-水平辅助圆法
(1”) 2’
步骤 2， 方法一，水平辅助圆法：在
圆球表面上，平行于水平投 影面，构造过点I、II、III的 水平辅助圆。
（3）
1
圆球表面的点
❖ 一般位置点-正平辅助圆法
步骤 2， 方法二，正平辅助圆法：在圆 球表面上，平行于正立投影面， 构造过点II的正平辅助圆。
圆球表面的点
❖ 一般位置点-侧平辅助圆法
步骤 2， 方法三，侧平辅助圆法：在圆 球表面上，平行于侧立投影面， 构造过点II的侧平辅助圆。
圆球截交线的基本形式
当圆球被一个截切平面切割时，截交线是圆或圆弧。但是 不同空间位置的圆和圆弧具有不同的投影特征。
截平面平行于投影面 截交线：圆或圆弧
投影具有积聚性和显真性
C
ad c
圆锥截交线的基本形式（一）
用一个截平面可以在圆锥表面得到五种截交线：
圆
三角形
椭圆
抛物线
双曲线
圆锥截交线的基本形式（二）
θ PV
PV
θ
α
PV
垂直于轴线的截平面
截交线：圆或圆弧 投影具有积聚性 和显真性
通过锥顶的截平面
截交线：三角形 投影具有积聚性和
类似性
截平面不过锥顶， 且θ＞α
球的切线与切点计算
球的切线与切点计算球是一种常见的几何形体，它具有许多特性和性质。
其中一个重要的性质是球的切线和切点。
一、切线的定义与性质在几何学中，切线是指与曲线相切的一条直线。
对于球体而言，切线是指与球面相切的一条直线。
切线与球面只有一个交点，这个点被称为切点。
切线具有以下性质：1. 切线与球面的切点处的切线方向与球心连线垂直。
2. 切线与球面的切点处的切线是该切点处切线中长度最短的一段。
二、球的切线计算方法在计算球的切线和切点时，我们需要给定球的半径和切点的坐标。
下面介绍三种常见的方法来计算球的切线和切点。
1. 方法一：使用向量法设球的半径为r，球心的坐标为(x0, y0, z0)，切点的坐标为(x1, y1, z1)。
首先，计算球心和切点的向量：→OP = (x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0)。
然后，计算切点处的切线向量：→T = →OP - r * →n，其中→n是单位向量，与→OP方向相同。
最后，通过切点和切线向量，我们可以得到切线方程，并计算出切点上的切线。
2. 方法二：使用微积分法假设球的方程为x² + y² + z² = r²，我们要求点(x1, y1, z1)处的切线。
首先，求曲线在点(x1, y1, z1)处的切向量：→T = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z)，其中F = x² + y² + z² - r²。
然后，利用切向量和点(x1, y1, z1)，可以得到切线方程，并计算出切点上的切线。
3. 方法三：使用几何关系法假设球的半径为r，球心的坐标为(x0, y0, z0)，切点的坐标为(x1, y1, z1)。
我们可以通过球心、切点和切线构成一个直角三角形，利用勾股定理求得切线的长度。
然后，通过球心和切点计算出切线的方向向量。
最后，可以得到切线方程，并计算出切点上的切线。
三、切线与几何应用切线与切点的概念在几何学中有广泛的应用。
工程制图与识图4-6：圆球切割体
(4)画左视图
(5)擦多余线 加深线
【补例4-6-1】
绘制左视图 想出空间形状
课堂训练
• 可选作业： • 《工程制图与识图习题集》 • P49:4-20-2，3
作业
• 可选作业： • 《工程制图与识图习题集》 • P49:4-20
图4-41b
2’ 3’（4’） 1’
求特殊点
求点 的侧面投影
求特殊点
求一般点
作长轴点： 1’2’ 直线的中点
作辅助水平纬线圆 求另两面投影
再求一般点
连线
整理
【例4-27】绘制如图4-42a所示开槽半圆球三视图。
（1）先画出半球完整的三视图； (2)再画主视图 (3)画俯视图
机械工程图学-基本立体的投影(圆球)
3-36/143
3.3 基本回转体的投影—3.3.3 圆球的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P45～ P48
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Wang chenggang
3-37/143
3.3 基本回转体的投影—3.3.3 圆球的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P45～ P48
Wang chenggang
3-38/143
图3-38 求作正垂面P与圆球截交线的投影（续）
Wang chenggang
3-27/143
3.3 基本回转体的投影—3.3.3 圆球的投影
在截交线的积聚性投影 a′b′的适当位置选取位于同 一纬圆上的点I、J，用辅助 平面法可由i′（j′）求出其 水平投影i、j和侧面投影i″、 j″。
图3-38 求作正垂面P与圆球截交线的投影（续）
3-3/143
3.3 基本回转体的投影—3.3.2 圆锥的投影
作业
。
《机械工程图学基础教程习题集》 P39～ P44
Wang chenggang
3-4/143
3.3 基本回转体的投影—3.3.2 圆锥的投影
作业
。
《机械工程图学基础教程习题集》 P39～ P44
Wang chenggang
3-5/143
由于截平面与圆锥轴线相对位置的不同，可形成五种截交线。
圆、椭圆、 抛物线、双 曲线、三角 形（与圆锥 面的截交线 为两条相交 的直线）。
Wang chenggang
3-2/143
3.3 基本回转体的投影—3.3.2 圆锥的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P41～ P44
Wang chenggang
【机械制图】第4章 立体的投影
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ (n’)
注意：圆球
m”
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ k’ (n’)
m”
k” (n ”)
注意：圆球 表面求点只 能用辅助圆
法！
(n) M
m k
4.3 立体的截交线
截交线为平面几边形？
——平面七边形
2、投影分析：
截交线的正面投影？
——落在截平面的积聚性投 影上；
截交线的水平投影？
——其中六条边落在六棱柱 棱面的积聚性投影上，另一 条边为截平面与棱柱顶面相 交的一条正垂线。
3、投影作图：
4、整理图线：
【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
6′5′7′
4′8′
Y 可见；反之为不可见。
棱柱表面上取点和取线
已知正六棱柱表面上点M的正面投影及点N的 水平投影，分别求它们的其余两面投影。
a’ d’ n’ m’
a” n” d” m” 请同学们思考：
b’ c’
如果将已知点
b”
c” 加上括号，会是
什么结果？
a
(b)
n
m
d(c)
2. 棱锥的投影
V
a'
X
Z
s'
s” S
n”
请同学们思考：
m’
m”
如果将已知点
a’ 2’ b’ c’ a”(c”)
加上括号，会是 b” 什么结果？
工程制图06第三章-表面取点及截交PPT课件
5．整理轮廓线。
Ⅰ
Ⅴ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
27
2.平面与圆锥相交
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面 的交线有五种形状。
圆
三角形
椭圆
2021/3/12
双曲线+直线段
抛物线+直线段
28
例：
求 圆 锥 的 截 交 线
4’5’
8’9’
2’3’
3 9 5
a"
侧面投影已知，可利用表面
b" d"
取点法求共有点；
e"
2 求出相贯线上的特殊点
c" A、B、 C；
3 求出若干个一般点D、E；
4 判别可见性，光滑且顺次 地连接各点，作出相贯线；
5 整理轮廓线。
yy
A C
35
示例 （1）回转体具有公共轴线时，其 表面的相贯线为圆，并且该圆垂 直于公共轴线。
2021/3/12
Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、V ；
3．判别可见性，顺次地连接 各点，作出截交线；
4．整理轮廓线。
1
5
3
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
2021/3/12
Ⅳ
Ⅴ
11
例2 求三棱锥的截交线
4'
4"
1'
2'
3'
3
1 4
2021/3/12
2
y
y
3" y
1" 2" y
Ⅳ Ⅲ
Ⅰ
解题步骤
1.分析:截交线的正面投 影已知，水平投影 和侧面投影未知；
高中数学中的球面几何与球体与平面相交问题研究探讨及球面切线求解
高中数学中的球面几何与球体与平面相交问题研究探讨及球面切线求解在高中数学中，球面几何是一个重要的内容，涉及到球体与平面相交问题的研究和球面切线的求解。
本文将对这两个问题进行探讨和研究。
首先，我们来看球体与平面相交问题。
当一个平面与一个球体相交时，我们可以得到不同的情况。
最简单的情况是平面与球体相切，即平面与球体只有一个公共点。
这种情况下，我们可以通过求解方程组来确定平面与球体的位置关系。
设球体的方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中(a,b,c)为球心坐标，r为球体半径。
将平面方程代入球体方程，可以得到一个关于x、y、z的二次方程，解这个方程组可以得到平面与球体的交点坐标。
除了相切的情况，平面还可以与球体相离或者相交。
当平面与球体相离时，它们没有公共点；当平面与球体相交时，它们有两个公共点。
这时，我们可以通过求解方程组来确定平面与球体的位置关系。
与相切的情况类似，将平面方程代入球体方程，可以得到一个关于x、y、z的二次方程，解这个方程组可以得到平面与球体的交点坐标。
接下来，我们来讨论球面切线的求解问题。
在球面上，任意一点都可以有无数条切线。
我们以球面上的一点P为例，来求解球面切线。
首先，我们需要确定球面上的一条过点P的直径。
然后，我们可以通过求解方程组来确定切线的方程。
设球体的方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，切线的方程为lx+my+nz+p=0，其中(a,b,c)为球心坐标，r为球体半径。
将切线方程代入球体方程，可以得到一个关于l、m、n、p的一次方程，解这个方程组可以得到切线的方程。
需要注意的是，在求解球面切线时，我们需要考虑到球面上的点P的位置关系。
如果点P在球体内部，则可以找到切线，如果点P在球体外部，则不存在切线。
这是因为球面上的切线是与球体相切的直线，而球体外部的点无法与球体相切。
第9讲 立体的投影及表面取点、截交线
4.2
工 程 图 学 基 础
曲面立体
表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立 体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。 曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成， 运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素 线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。
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4.2.1
圆 柱
上一页下一页返回目录工工工程程程图图图1棱锥的投影学学学基基基础础础上一页下一页返回目录工工工程程程图图图s?s?s1棱锥的投影学学学基基基础础础basa?c?b?cbcabca上一页下一页返回目录工工工程程程图图图s?a?ac?cb?b?s?1?1?r?2棱锥表面上取点学学学基基基础础础sab?c?cba?1r上一页下一页返回目录工工工程程程图图图s?a?ac?cb?bs??a?2?2?2棱锥表面上取点学学学基基基础础础sb?c?acb2上一页下一页返回目录工工工程程程图图图s?a?ac?cb?bs?3?3?2棱锥表面上取点学学学基基基础础础3sab?c?cba?上一页下一页返回目录工工工程程程图图图4
圆球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴 线旋转而成。
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(1)
圆球的投影
工 程 图 学 基 础
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(2)
圆球表面上取点
工 程 图 学 基 础
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4.2.4
圆环
工 程 图 学 基 础
圆环是由圆环面围成的。圆环面可看作圆绕不通过 圆心但在同一平面上的轴线旋转而成。
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(1) 棱锥的投影
工 程 图 学 基 础
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画法几何与机械制图-第2章-立体的投影-22平面与立体表面相交截交线23平面与回转体表面相交重点习题
ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
4
3
●
1
●
●
●2
★ 空间分析
截交★平线投面的影与形体分状的？析 ★几求个截截棱交面交线相线在交俯？、 ★ 分析左状棱视？线图的上投的影形 ★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱线我们法采！用的是
哪种解题方法？
一. 平面立体的截交线和断面（P54)
截交线的 空间形状？
●
a′
e′
●
●
●
c d′
′
●
b′
E
截C交线D的B 投影特性？
A
a●
●
c
e
●
●
●
db
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 P63
截截交交线线的的 空投间影形特状性？？
如何找椭圆另
一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
y2
补全三面投影
P
y1 y
y1 y2 y
★ 空间分析
截交★平线投面的影与形体分状的？析
★几析左状棱视？线图的上投的影形 ★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
2；面）1面影）侧五水部投截面个平分影平投交投在积面影点影棱聚是求。求边，正截 交两截的垂平 点正交积平面 分垂聚线面与 别面投的，棱 连的水影在边 线交平上正及 ，线投。顶 作
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念
用以截切立体的平面——截平面。 截平面与立体表面的交线——截交线。 截交线围成的平面图形 ——断面(截面）。
球的截面交线长问题
球的截面交线长问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：球的截面交线长问题是一个与球体几何性质相关的数学问题。
在日常生活中，我们经常见到各种球体，比如篮球、足球、网球等。
当球体被切割或者投影到平面上时，我们会看到球的截面形状，而球的截面交线长问题就是研究这些截面形状的长度和关系。
让我们来了解一下球的基本概念。
球体是一个在三维空间中的几何体，其表面上的每一点和球心之间的距离都相等，这个距离就是球的半径。
球的表面叫做球面，球面上的点集合称为球的外部，而球面内部的空间称为球的内部。
球的截面是将球体切割或投影到平面上得到的图形，可以是圆、椭圆、抛物线或双曲线等形状。
球的截面交线长问题就是研究球的截面形状在平面上的长度和关系。
具体来说，我们可以考虑以下几个问题：1. 球的截面交线长度如何计算？将球体切割或者投影到平面上后，得到的截面形状可以是不同的，比如圆形、椭圆形等。
对于不同形状的截面，其交线长度的计算方法也是不同的。
以圆形截面为例，其交线长度就是圆的周长，可以通过半径和圆周率的乘积来计算。
而对于其他形状的截面，需要根据具体情况来计算。
2. 不同位置的截面交线长度是否相等？当我们在球体上切割不同位置的截面时，得到的截面形状和交线长度会不同。
这是因为球体的半径在不同位置是不同的，导致截面的形状也不同。
不同位置的截面交线长度是不相等的。
3. 截面形状和交线长度之间的关系是怎样的？通过研究球的不同截面形状和交线长度之间的关系，我们可以发现一些有趣的规律。
对于球体的不同截面形状，其交线长度与切割位置、截面方向等因素都有关系。
在实际应用中，可以根据这些规律来优化设计和判断球体的性质。
球的截面交线长问题是一个涉及几何学、数学和物理学等多个领域的复杂问题。
通过深入研究和探讨，我们可以更好地理解球体的特性和性质，为实际应用提供参考和指导。
希望本文能够帮助读者对球的截面交线长问题有更深入的了解和认识。
【字数达2000字】。
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1
球体上取线
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是 圆，但根据截平面与投影面的相对位置 不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆 或积聚成一条直线。
平面与球相交
三、球体的截断
用任何位置的截平面截割圆球，截交 线的形状都是圆。
当截平面平行于某一投影面时，截交 线在该投影面上的投影为圆的实形，其 它两面投影积聚为直线。
例例33：：求求半半球球体体被被截截后后的的俯俯视视图图和和左左视视图图。。
水 两平个面侧截平圆面球截的圆截球交的线截 的 交投线影的，投在影俯，视在图侧上视为图 部 上分为圆部弧分，圆在弧侧，视在图俯上视 积 图聚上为积直聚线为。直线。
球的截交线
球的截交线
应用举例
补正面和水平投影
补正面和水平投影
选择题
a
b
c
d
选择题2
a
b
c
d
选择题3
a
b
c
d
选择题4
a
b
c
d
球柱1(改错)
球柱2
球锥1
三、圆球
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。
1.圆球的三视图
三个视图分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。
O
O1
球体的作图
投影特点：在任
一投影面的投影 都是圆。注意几 个圆的转向线
圆球的三视图画图步骤：
c′
b′
b?
a′ c?
a? c
O
O1
a b
圆球表面取点
★辅助圆法