新教材人教A版数学必修第一册课后作业22函数奇偶性的应用

课后作业(二十二)

复习巩固

一、选择题

1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )

A ．y ＝1

x 2 B ．y ＝1

x C ．y ＝x 2

D ．y ＝2x

[解析] 易判断A 、C 为偶函数，B 、D 为奇函数，但函数y ＝x 2

在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.

[答案] A

2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的表达式是( )

A ．y ＝x (x －2)

B ．y ＝x (|x |＋2)

C ．y ＝|x |(x －2)

D ．y ＝x (|x |－2) [解析] 由x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，

f (x )是定义在R 上的奇函数得，当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x )＝x (－x －2)．

∴f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x (x －2)，x ≥0，

x (－x －2)，x <0，即f (x )＝x (|x |－2)．

[答案] D

3．若函数f (x )＝ax 2＋(2＋a )x ＋1是偶函数，则函数f (x )的单调递增区间为( )

A ．(－∞，0]

B ．[0，＋∞)

C ．(－∞，＋∞)

D ．[1，＋∞)

[解析] 因为函数为偶函数，所以a ＋2＝0，a ＝－2，即该函数f (x )＝－2x 2＋1，所以函数f (x )在(－∞，0]上单调递增．

[答案] A

4．f (x )是定义在R 上的奇函数且单调递减，若f (2－a )＋f (4－a )<0，

则a的取值范围是()

A．a<1 B．a<3

C．a>1 D．a>3

[解析]∵f(x)在R上为奇函数，

∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．

又f(x)在R上单调递减，

∴2－a>a－4，得a<3.

[答案] B

5．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为()

A．10 B．－10

C．9 D．15

[解析]由于f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，f(x)为奇函数，故f(－3)＝－f(3)＝1，∴f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.

[答案] C

二、填空题

6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.

[解析]因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.

[答案] 3

7．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0)上的解析式为__________________．

[解析] 由题意知f (x )在[－1,0)上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f (x )＝kx ＋b (－1≤x <0)，代入解得k ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x ＋2(－1≤x <0)．

[答案] f (x )＝x ＋2(－1≤x <0)

8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________．

[解析] 由题意，知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以其图象与x 轴的四个交点也两两成对，关于y 轴对称，即方程f (x )＝0的实根两两互为相反数，故其所有实根之和是0.

[答案] 0 三、解答题

9．已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x －1，求函数f (x )的解析式．

[解] 当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2＋2x －1.

∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－2x ＋1，

∵f (x )(x ∈R )是奇函数，∴f (0)＝0.

∴所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2－2x －1，x >0，

0，x ＝0，

－x 2－2x ＋1，x <0.

10．设f (x )在R 上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f (a 2－2a ＋

3)>f (a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围．

[解] 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．

又a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0， a 2

＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋122＋34>0， 且f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)， 所以a 2－2a ＋3>a 2＋a ＋1，解得a <2

3. 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，23.

综合运用

11．若f (x )满足f (－x )＝f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )

A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－32

B ．f (－1)

⎛⎭

⎪⎫

－32

C ．f (2)

－32

D ．f (2)

⎪⎫

－32

[解析] 由已知可得函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，f ⎝ ⎛⎭⎪

⎫

－32＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，f (－1)＝f (1)．∵1<3

2<2， ∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f (2)，即f (2)

⎪⎫

－32

[答案] D

12．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x 2

＋3x ＋1，则f (x )＝( )

A ．x 2

B ．2x 2

C ．2x 2＋2

D ．x 2＋1

[解析] 因为f (x )＋g (x )＝x 2＋3x ＋1, ①

所以f (－x )＋g (－x )＝x 2－3x ＋1. 又f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )；