算法与图灵机模型
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• 目标
– 利用二进制来设计一个专门计算“x+1”的图灵机，要求计算完成 时，读写头要回归原位 – x由0、1串组成，“*”为x的分隔符、界定符
• 状态集合K
{start，add，carry，noncarry，overflow，return，halt}
• 字母表∑
{0，1，*}
• 初始状态s
start；
01:00
2.3通用图灵机
• 图灵机本质在进行字符串的处理
图灵机输入是一个字符串 图灵机输出也是一个字符串
• 如果将图灵机的有限内部状态与读写头的有限 动作用字符串表示 • 那么每条转换规则也可以用一个字符串表示 （当前状态，当前符号，动作，新状态） • 图灵机可以由一个较长字符串完全表示通用图
灵机
• 图灵机是一个五元组（K，∑，δ，s，H）， 其中： • K 是有穷个状态的集合； • ∑ 是字母表，即符号的集合； • s ∈K是初始状态； • H∈K 是停机状态的集合，当控制器内部状 态为停机状态时图灵机结束计算； • δ是转移函数，即控制器的规则集合
01:00
图灵机工作过程：计算“x+1”的图灵机
01:00
通用机的实现方案
• 对于图灵机Tn来说，对于一个输入m，Tn经过一系列的步 骤后最终达到停止，则会在机器的左边产生一个二进位串 的计算结果，假设为p 可以写成：Tn（m）=p • 对于图灵机U而言：我们把Tn的指令编码成了n的二进位串 作为输入的一部分，故可看成是U作用于n和m才生结果p • 故可写成：U（n，m）=Tn（m）=p
01:00
辗转相除法求最大 公约数算法：
• • • •
第一步,给定两个正数m,n 第二步,计算m除以n所得到余数r 第三步,m=n,n=r 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则返回第二步
01:00
4. 辗转相除法的程序框图
开始
输入两个正数m,n m<n?
是
x=n n=m m=x
否
通用图灵机蕴含的计算思想（2）
• 通用图灵机模型是计算机的计算能力的极限
因为，根据丘奇-图灵论题： 不能用图灵机完成的计算任务是不可计算的
• 计算机系统应该有:
– 存储器（相当于存储带） – 中央处理器（控制器及其状态），并且其字母表可以 仅有0和1两个符号； – 为了能将数据保存到存储器并将计算结果从存储器送 出来展示给用户，计算机系统还应该有输入设备和输 出设备如键盘、鼠标、显示器和打印机等。
01:00
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146; 6105＝2146×2＋1813; 2146＝1813×1＋333; 1813＝333×5＋148; 333＝148×2＋37; 148＝37×4＋0. 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。 01:00
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到 一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约 数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个 商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1) 第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约 数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个 商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。
01:00
举例：“5＋1”的计算过程（1）
• 初始状态
根据规则 集合δ：
第一步完成后状态
01:00
“5＋1”的计算过程（2）
01:00
“5＋1”的计算过程（3）
01:00
“5＋1”的计算过程（4）
• 停机状态
01:00
编码方式表示的图灵机
• 图灵机UN+1：
00→00R，
01→11R，
10→01STOP， 11→11R。
• 停机状态集合H
{halt}；
01:00
“x+1”图灵机规则集合（1）
• 规则
如果 A 那么 B，形式化表示：A B
•图灵机控制器的规则：
•（控制器当前状态，读写头当前位置的符号） (读 写头移动动作指示，读写头新位置的符号，控制器新 状态)
01:00
x+1”图灵机规则集合（2）
• 规则集合δ：
• 结论：
– 可解的问题是能够用"图灵机"的自动机理论模型表达的 问题.
01:00
图灵机的直观描述
• 3个部件：有穷控制器（有限状态机）、无穷带 （符号集合）和读写头（读、改写、左移、右移）
•3个动作：改写当前格、左移或右移一格 •图灵机的计算：由控制器控制执行的一系列动作
01:00
图灵机的形式化描述
01:00
解决办法：
• 采用收缩的步骤来进行 基本思想：对于一个二进制位串，不是直接 把它当做二进制数来读，而是关注在这个 序列中，每两个连续的0直接1的个数 例如：
01:00
观察：
发现： 0 →000 1 →010 2 →0110 最左端的0可以忽略
01:00
• 编码规则可以定义为： 0 →0 1 →10 2 →110 3 →1110 ……… 其中0和1可以作为二进制数码来用，2,3,4等可 以作为某种记号或指令的编码来读。
01:00
通用图灵机的基本思想：
• 把任意一台图灵机T的指令表编码成在磁带 上表示的0和1的串 • 把这段磁带作为通用图灵机U的输入的开始 部分，接着图灵机U像T一样，作用于输入 的余下部分。
01:00
编码的方法（1）：
• 采用收缩的方式进行编码： 0 →0 10 →1 110 →R 11110 →L 111110 →STOP
01:00
通用图灵机蕴含的计算思想（3）
• 通用图灵机的所有规则构成指令集 • 指示指示了操作的对象（当前符号） • 指令指示了待实施的操作
01:00
2.4希尔伯特问题的不可解性
• • • • 停机问题 不存在决定图灵机停机问题的算法 不存在决定数学问题的一般算法 希尔伯特问题没有解答
01:00
r=m MOD n
r≠0?
n=r m=n
是
否
输出n
01:00
结束
INPUT m,n IF m<n THEN x=n n=m m=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 m=n n=r r=m MOD n WEND PRINT n END
2.2 图灵Fra Baidu bibliotek模型
• 图灵机模型理论是计算学科最核心的理论 之一 • 图灵机模型为计算机设计指明了方向 • 图灵机模型是算法分析和程序语言设计的 基础理论。
01:00
2.2.3 非自然数的表示
基本思想： 在自然数表示的基础上对符号进行编码来 完成。 方法： • 负数（对-进行编码） • 分数（对/进行编码）
01:00
• 有限小数的表示 可以用分数的形式来表示 如：3.14159265 →314159265/100000000 • 无限小数的表示 严格来说，图灵机的输入和输出都不是无 限小数 让图灵机产生对应的数位值
01:00
通用图灵机蕴含的计算思想（1）
• 程序也是数据
– “x+1”图灵机功能是固定的，相当于一个程序 – 通用的图灵机功能根据输入编码的不同而变化
• 存储程序和程序控制 • U图灵机进一步展示了程序和其输入可以先 保存到存储带上，U就按程序一步一步运行 直到给出结果，结果也保存在存储带上。
01:00
01:00
本节主要内容
• • • • • 图灵机缘起 图灵机描述 计算“X+1”的图灵机 通用图灵机 图灵机模型的启示
01:00
2.2.1图灵机概念
• 1900,德国数学家希尔伯特提出"23个数学难题"中,
– 逻辑的完备性问题,即是否所有数学问题原则上都可解.
• 1936, 英国数学家图灵
– “论可计算数及其在判定问题中的应用”(On Computable Numbers With an Application to the Entscheidungs Problem)
软件设计方法学
第二章 程序算法与图灵机模型
01:00
2.1 算法概念
• 定义：算法是完成一个任务所需要的具体 步骤和方法。 • 从程序设计的角度来看：给定初始状态或 输入数据，经过计算机程序的有限次运算， 能够得出所要求或期望的终止状态或输出 数据。
01:00
〖创设情景，揭示课题〗
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？ 2 18 30 先用两个数公有的质因数 3 9 15 连续去除,一直除到所得 3 5 的商是互质数为止,然后 ∴18和30的最大公约 把所有的除数连乘起来. 数是2×3=6. [问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大 公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察 又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们 的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数?
01:00
例如:数据序列（5,13,0,1,1,4） 直接用二进制表示为： 101,1101,0,1,1,100 运用我们的编码规则： 0 →0 1 →10 2 →110（可以用来作为数据分隔符“,”的编码） 变换后将得到怎样一个序列呢？（大家动手做一做）
01:00
UN+1对于大数的结果表示对比： 167+1 • 一进位 167 ：00001111…110000(167个1) 168：00001111…110000(168个1) • 二进位（10100111，）： 167：00001001000101010110 168（10101000，）:000010010010000110
01:00
• 一进位系统 实现方法：用一串n个1代表数n 如：1 →1 2 →11 3 →111 4 →1111 …….
01:00
优点： • 数据表示简单 • 0可以作为多个数之间的分隔手段
缺点： • 表示大数时候极端无效率
01:00
2.2.2 二进位码的数据表示
• 目标 解决大数表示的问题 如果直接把磁带上的符号当成二进制位 数来读存在的问题： 读到的0是空白还是二进制数本来的数位？ 多个数据之间的分隔符如何表示？
01:00
编码的方法（2）：
• 逐步采取措施去掉冗余的信息 00→00R， 01→01STOP， 00R01STOP R01STOP R1STOP 1101011110 1011表示十进制数 11
01:00
编码的方法（3）：
我们把号码为n的图灵机称为第n台图灵 机，用Tn来表示。 故 1011 即表示为T11 注意：不是每一个自然数n所对应的Tn都 是可以工作的图灵机
– 利用二进制来设计一个专门计算“x+1”的图灵机，要求计算完成 时，读写头要回归原位 – x由0、1串组成，“*”为x的分隔符、界定符
• 状态集合K
{start，add，carry，noncarry，overflow，return，halt}
• 字母表∑
{0，1，*}
• 初始状态s
start；
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2.3通用图灵机
• 图灵机本质在进行字符串的处理
图灵机输入是一个字符串 图灵机输出也是一个字符串
• 如果将图灵机的有限内部状态与读写头的有限 动作用字符串表示 • 那么每条转换规则也可以用一个字符串表示 （当前状态，当前符号，动作，新状态） • 图灵机可以由一个较长字符串完全表示通用图
灵机
• 图灵机是一个五元组（K，∑，δ，s，H）， 其中： • K 是有穷个状态的集合； • ∑ 是字母表，即符号的集合； • s ∈K是初始状态； • H∈K 是停机状态的集合，当控制器内部状 态为停机状态时图灵机结束计算； • δ是转移函数，即控制器的规则集合
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图灵机工作过程：计算“x+1”的图灵机
01:00
通用机的实现方案
• 对于图灵机Tn来说，对于一个输入m，Tn经过一系列的步 骤后最终达到停止，则会在机器的左边产生一个二进位串 的计算结果，假设为p 可以写成：Tn（m）=p • 对于图灵机U而言：我们把Tn的指令编码成了n的二进位串 作为输入的一部分，故可看成是U作用于n和m才生结果p • 故可写成：U（n，m）=Tn（m）=p
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辗转相除法求最大 公约数算法：
• • • •
第一步,给定两个正数m,n 第二步,计算m除以n所得到余数r 第三步,m=n,n=r 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则返回第二步
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4. 辗转相除法的程序框图
开始
输入两个正数m,n m<n?
是
x=n n=m m=x
否
通用图灵机蕴含的计算思想（2）
• 通用图灵机模型是计算机的计算能力的极限
因为，根据丘奇-图灵论题： 不能用图灵机完成的计算任务是不可计算的
• 计算机系统应该有:
– 存储器（相当于存储带） – 中央处理器（控制器及其状态），并且其字母表可以 仅有0和1两个符号； – 为了能将数据保存到存储器并将计算结果从存储器送 出来展示给用户，计算机系统还应该有输入设备和输 出设备如键盘、鼠标、显示器和打印机等。
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〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146; 6105＝2146×2＋1813; 2146＝1813×1＋333; 1813＝333×5＋148; 333＝148×2＋37; 148＝37×4＋0. 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。 01:00
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到 一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约 数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个 商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1) 第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约 数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个 商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。
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举例：“5＋1”的计算过程（1）
• 初始状态
根据规则 集合δ：
第一步完成后状态
01:00
“5＋1”的计算过程（2）
01:00
“5＋1”的计算过程（3）
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“5＋1”的计算过程（4）
• 停机状态
01:00
编码方式表示的图灵机
• 图灵机UN+1：
00→00R，
01→11R，
10→01STOP， 11→11R。
• 停机状态集合H
{halt}；
01:00
“x+1”图灵机规则集合（1）
• 规则
如果 A 那么 B，形式化表示：A B
•图灵机控制器的规则：
•（控制器当前状态，读写头当前位置的符号） (读 写头移动动作指示，读写头新位置的符号，控制器新 状态)
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x+1”图灵机规则集合（2）
• 规则集合δ：
• 结论：
– 可解的问题是能够用"图灵机"的自动机理论模型表达的 问题.
01:00
图灵机的直观描述
• 3个部件：有穷控制器（有限状态机）、无穷带 （符号集合）和读写头（读、改写、左移、右移）
•3个动作：改写当前格、左移或右移一格 •图灵机的计算：由控制器控制执行的一系列动作
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图灵机的形式化描述
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解决办法：
• 采用收缩的步骤来进行 基本思想：对于一个二进制位串，不是直接 把它当做二进制数来读，而是关注在这个 序列中，每两个连续的0直接1的个数 例如：
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观察：
发现： 0 →000 1 →010 2 →0110 最左端的0可以忽略
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• 编码规则可以定义为： 0 →0 1 →10 2 →110 3 →1110 ……… 其中0和1可以作为二进制数码来用，2,3,4等可 以作为某种记号或指令的编码来读。
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通用图灵机的基本思想：
• 把任意一台图灵机T的指令表编码成在磁带 上表示的0和1的串 • 把这段磁带作为通用图灵机U的输入的开始 部分，接着图灵机U像T一样，作用于输入 的余下部分。
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编码的方法（1）：
• 采用收缩的方式进行编码： 0 →0 10 →1 110 →R 11110 →L 111110 →STOP
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通用图灵机蕴含的计算思想（3）
• 通用图灵机的所有规则构成指令集 • 指示指示了操作的对象（当前符号） • 指令指示了待实施的操作
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2.4希尔伯特问题的不可解性
• • • • 停机问题 不存在决定图灵机停机问题的算法 不存在决定数学问题的一般算法 希尔伯特问题没有解答
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r=m MOD n
r≠0?
n=r m=n
是
否
输出n
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结束
INPUT m,n IF m<n THEN x=n n=m m=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 m=n n=r r=m MOD n WEND PRINT n END
2.2 图灵Fra Baidu bibliotek模型
• 图灵机模型理论是计算学科最核心的理论 之一 • 图灵机模型为计算机设计指明了方向 • 图灵机模型是算法分析和程序语言设计的 基础理论。
01:00
2.2.3 非自然数的表示
基本思想： 在自然数表示的基础上对符号进行编码来 完成。 方法： • 负数（对-进行编码） • 分数（对/进行编码）
01:00
• 有限小数的表示 可以用分数的形式来表示 如：3.14159265 →314159265/100000000 • 无限小数的表示 严格来说，图灵机的输入和输出都不是无 限小数 让图灵机产生对应的数位值
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通用图灵机蕴含的计算思想（1）
• 程序也是数据
– “x+1”图灵机功能是固定的，相当于一个程序 – 通用的图灵机功能根据输入编码的不同而变化
• 存储程序和程序控制 • U图灵机进一步展示了程序和其输入可以先 保存到存储带上，U就按程序一步一步运行 直到给出结果，结果也保存在存储带上。
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本节主要内容
• • • • • 图灵机缘起 图灵机描述 计算“X+1”的图灵机 通用图灵机 图灵机模型的启示
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2.2.1图灵机概念
• 1900,德国数学家希尔伯特提出"23个数学难题"中,
– 逻辑的完备性问题,即是否所有数学问题原则上都可解.
• 1936, 英国数学家图灵
– “论可计算数及其在判定问题中的应用”(On Computable Numbers With an Application to the Entscheidungs Problem)
软件设计方法学
第二章 程序算法与图灵机模型
01:00
2.1 算法概念
• 定义：算法是完成一个任务所需要的具体 步骤和方法。 • 从程序设计的角度来看：给定初始状态或 输入数据，经过计算机程序的有限次运算， 能够得出所要求或期望的终止状态或输出 数据。
01:00
〖创设情景，揭示课题〗
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？ 2 18 30 先用两个数公有的质因数 3 9 15 连续去除,一直除到所得 3 5 的商是互质数为止,然后 ∴18和30的最大公约 把所有的除数连乘起来. 数是2×3=6. [问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大 公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察 又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们 的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数?
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例如:数据序列（5,13,0,1,1,4） 直接用二进制表示为： 101,1101,0,1,1,100 运用我们的编码规则： 0 →0 1 →10 2 →110（可以用来作为数据分隔符“,”的编码） 变换后将得到怎样一个序列呢？（大家动手做一做）
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UN+1对于大数的结果表示对比： 167+1 • 一进位 167 ：00001111…110000(167个1) 168：00001111…110000(168个1) • 二进位（10100111，）： 167：00001001000101010110 168（10101000，）:000010010010000110
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• 一进位系统 实现方法：用一串n个1代表数n 如：1 →1 2 →11 3 →111 4 →1111 …….
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优点： • 数据表示简单 • 0可以作为多个数之间的分隔手段
缺点： • 表示大数时候极端无效率
01:00
2.2.2 二进位码的数据表示
• 目标 解决大数表示的问题 如果直接把磁带上的符号当成二进制位 数来读存在的问题： 读到的0是空白还是二进制数本来的数位？ 多个数据之间的分隔符如何表示？
01:00
编码的方法（2）：
• 逐步采取措施去掉冗余的信息 00→00R， 01→01STOP， 00R01STOP R01STOP R1STOP 1101011110 1011表示十进制数 11
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编码的方法（3）：
我们把号码为n的图灵机称为第n台图灵 机，用Tn来表示。 故 1011 即表示为T11 注意：不是每一个自然数n所对应的Tn都 是可以工作的图灵机