算法与图灵机模型
理论计算机科学中的图灵机
理论计算机科学中的图灵机图灵机是理论计算机科学中的一个重要概念。
它被认为是能够计算任何可计算问题的最基本的计算机模型。
理解图灵机对于对计算机科学的学习和研究都至关重要。
一、图灵机的定义和原理图灵机是由英国数学家图灵提出的一种计算模型。
它包括一个有限控制器和一条无限长的纸带。
纸带被划分为一系列的单元格，每个单元格上可以写上一个字符。
控制器通过读取纸带上的字符和控制器内部的状态来进行计算。
它可以进行有限的计算，而且可以处理无限长的输入。
在图灵机模型中，所有的操作都是基于读取和写入单元格上的字符来进行。
图灵机具有非常简单的结构，但它却能够计算出任何可计算问题。
二、图灵机的应用图灵机能够计算出任何可计算问题，因此它在理论计算机科学中有着非常重要的应用。
它被用于证明计算机科学中的许多重要问题，例如停机问题和可计算性问题。
通过证明一个问题是不可计算的，我们可以得出它是无法用计算机解决的。
这对于计算机的设计和实现都有着重要的指导意义。
此外，图灵机还被广泛应用于计算机语言和自动机理论的研究中。
我们可以使用图灵机来描述计算机语言的语法和语义，并且使用它来定义自动机模型。
这在编程语言的编译、解释和分析中都有着广泛的应用。
三、图灵机的限制尽管图灵机是一种非常强大的计算模型，它仍然存在着一些限制。
其中最明显的一点是图灵机的速度。
尽管图灵机能够计算出任何可计算问题，但某些问题可能需要非常长的时间才能得到结果。
例如，计算出一个长文本的哈希值可能需要几分钟，而对于一个复合的问题，甚至需要几个世纪才能计算得出。
此外，图灵机还无法解决某些问题，例如非计算问题和不规则问题。
这些问题之所以无法用图灵机解决，是因为它们没有确定的方法来解决它们。
这些问题是无法用算法来解决的，并且需要人类直接进行解决。
四、结语图灵机是理论计算机科学中最重要的概念之一。
它被认为是能够计算出任何可计算问题的最基本计算机模型。
通过图灵机的研究，我们可以深入理解计算机科学的基本原理，理解计算机能力和限制。
理解图灵机模型、计算机科学概念内涵，懂得存储程序及计算机的结构
理解图灵机模型、计算机科学概念内涵，懂得存储程序及计算机的结构⾸先，图灵机模型是由英国数学家图灵提出的，图灵机模型理论是计算学科最核⼼的理论之⼀，它的出现为计算机设计指明了⽅向，在今天的学习中图灵机模型发挥着不可或缺的⽤处，是我们算法分析和程序语⾔设计的基础理论。
下⾯是它的定义：所谓的图灵机就是指⼀个抽象的机器，它有⼀条⽆限长的纸带，纸带分成了⼀个⼀个的⼩⽅格，每个⽅格有不同的颜⾊。
有⼀个机器头在纸带上移来移去。
机器头有⼀组内部状态，还有⼀些固定的程序。
在每个时刻，机器头都要从当前纸带上读⼊⼀个⽅格信息，然后结合⾃⼰的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带⽅格上，并转换⾃⼰的内部状态，然后进⾏移动。
然后，计算机科学概念的内涵较为⼴泛，计算机科学是⼀门包含各种各样与计算和信息处理相关主题的系统学科，可以肯定的是它是⼀门学科，⽽不仅仅是⼀门技术或者是⼀种⼯具。
计算机科学的基本思路涵盖从理论研究、模型抽象到⼯程设计三个⽅⾯。
有时公众会误以为计算机科学就是解决计算机问题的事业（⽐如信息技术），或者只是与使⽤计算机的经验有关，如玩游戏、上⽹或者⽂字处理。
其实计算机科学所关注的，不仅仅是去理解实现类似游戏、浏览器这些软件的程序的性质，更要通过现有的知识创造新的程序或者改进已有的程序，这才是我们计算机科学应该做的事情。
下⾯是计算机中储存程序的原理：“存储程序”原理，是将根据特定问题编写的程序存放在计算机存储器中，然后按存储器中的存储程序的⾸地址执⾏程序的第⼀条指令，以后就按照该程序的规定顺序执⾏其他指令，直⾄程序结束执⾏。
存储程序和程序控制原理的要点是，程序输⼊到计算机中，存储在内存储器中（存储原理），在运⾏时，控制器按地址顺序取出存放在内存储器中的指令（按地址顺序访问指令），然后分析指令，执⾏指令的功能，遇到转移指令时，则转移到转移地址，再按地址顺序访问指令（程序控制）。
计算机的结构主要分为五个部分：控制器，运算器，存储器，输⼊设备，输出设备。
图灵机——计算机的理论模型
器构成。
图灵机模型
控制器内包括控制规则表，它能够通过读/写头对纸带上 的符号进行读或写，读写头可以在纸带上左右移动。
纸带分成了一个个的小方格，每个方格中可以记录机器 字母表里的符号，如0或1等。
图灵机——计算机的理论模型
机器的程序是五元组｛Si , X , Y , L(R或N) , Sj｝形式的指 令集，定义了机器在一个特定状态下读入一个特定字符时所 采取的动作。 五个元素的含义如下：
图灵机进行“a+1”运算的控制规则表
输入
输出
当前状态 当前内容 重写的新内容 读写头移动方向
（Si）
（X）
（Y）
（L，R或N）
S0
b
b
L
S1
0
1
R
S1
1
0
L
S1
b
b
R
S2
0
1
R
S2
1
0
L
S2
b
1
L
S3
0
0பைடு நூலகம்
R
S3
1
1
R
S3
b
b
N
S4
任意
b
R
进入的新状态 （Sj） S1 S3 S2 SH S3 S2 S4 S3 S3 SH S3
①Si 表示机器当前的状态； ②X 表示机器从方格中读入的内容，也即当前内容； ③Y 表示机器用来代替X 写入方格中的内容；
④L、R、N 分别表示左移一格、右移一格和不移动；
⑤Sj 表示机器下一步的状态。
图灵机——计算机的理论模型
图灵机的计算开始于初始状态，设为S0，终止于停止（HALT）状态，设为SH。 例: 设计能够实现“a+1”运算的图灵机，计算完成后要求读写头回到原位。
turingmachine图灵机
图灵机的意义
图灵机模型理论是计算科学最核心的理论之一 图灵机模型为计算机设计指明了方向 图灵机模型是算法分析和程序语言设计的基础
理论
图灵机概述
所谓的图灵机就是指一个抽象的机器，它有 一条无限长的纸带，纸带分成了一个一个的 小方格，每个方格有不同的颜色。有一个机 器头在纸带上移来移去。机器头有一组内部 状态，还有一些固定的程序。在每个时刻， 机器头都要从当前纸带上读入一个方格信息， 然后结合自己的内部状态查找程序表，根据 程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的 内部状态，然后进行移动。
读写头
状态控制器
图灵机的组成
一个确定型单带图灵机由以下四个部分组成 (见上页图)： ·无限长的带子 TAPE，带子划成小格， 格子标记 … , －3，－2，－1，0，1，2, 3，… ·读写头HEAD ·控制规则表TABLE ·状态存储器
图灵机的组成-TAPE
纸带被划分为一个接一个的小格子，每个格 子上包含一个来自有限字母表的符号，字母 表中有一个特殊的符号 表示空白。纸带上 的格子从左到右依此被编号为 0, 1, 2, ... ， 纸带的右端可以无限伸展。
图灵机的基本思想
用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过 程，该过程可分为如下两个简单动作：
➢在纸上写上或擦除某个符号 ➢把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置
而在每个阶段，人要决定下一步的动作，依 赖于：
➢此人当前所关注的纸上某个位置的符号 ➢此人当前思维的状态。
… －2 －1 0 1 2 3 …
图灵机计算思想
计算机系统应该有： 存储器（相当于存储带）
中央处理器（控制器及其状态）
为了能够将数据保存到存储器并将计算结 果从存储器送出来展示给用户，计算机系 统还应该有输入设备和输出设备如键盘、 鼠标、显示器和打印机等。
计算机计算模型中的图灵机
计算机计算模型中的图灵机从计算机计算模型的角度来看，图灵机被认为是一种通用的计算模型，也是计算机科学研究的重要基础之一。
在本文中，我们将深入探讨图灵机的内部结构、运作原理，以及在计算机科学与人工智能研究中的应用。
一、图灵机的定义与内部结构图灵机是一种最简单、最有代表性的计算模型。
其定义由英国数学家阿兰·图灵提出，目的是为了探究哪些问题可以被自动机器解决，哪些问题不可以。
从宏观角度看，图灵机可以被视为一个运算器。
它包括一个无限长度的纸带，上面按照一定规律印有各种符号，一个读写头，可以在纸带上不停移动，并读取或写入符号，以及一个确定的有限自动机，遵循一定的规则对符号进行操作，并改变自动机的状态。
从微观角度看，图灵机可以被视为一个五元组(M, S, T, s0, F)。
其中，M表示状态集合，S表示符号集合，T表示转移函数，s0表示起始状态，F表示接受状态。
具体而言，自动机根据读取到的符号，通过转移函数来执行状态转移，并可以改写纸带上的符号。
当自动机的状态转换到F中的任意一个状态时，其判定为输入串被接受。
二、图灵机的运作原理图灵机的运作可以被大致分为两个阶段：读写头扫描纸带，自动机执行状态转移。
在程序开始运行时，自动机根据起始状态s0开始，读写头扫描到的符号会被送至转移函数T中计算状态转移，根据T中的定义，自动机可能完成以下四个操作之一：- 将读写头向左或右移动一格- 改写当前符号- 将自动机状态从M中的一种变为另一种- 停机在一个图灵机的运行中，自动机状态的变化不是唯一的。
事实上，任何一个有限自动机都可看作某个图灵机的子集，只是它转换后的操作相对简单罢了。
三、图灵机在计算机科学中的应用图灵机在计算机科学中的应用主要有以下两个方面：1.图灵完备性一个计算模型被称为图灵完备，当且仅当它可以在所有计算上都与图灵机等价。
因为图灵机是最简单、最有代表性的计算模型之一，许多计算机科学研究中的问题可以被转换成图灵机问题。
6种计算模型
6种计算模型计算模型是计算机科学中的一个重要概念，它是描述计算过程的数学模型。
在计算机科学中，有许多种不同的计算模型，每种模型都有自己的特点和适用范围。
在本文中，我们将介绍6种常见的计算模型。
1.有限自动机：有限自动机是一种描述有限状态机的计算模型。
它由一组有限状态、一组输入符号和一组状态转移函数组成。
有限自动机适用于描述简单的计算过程，如正则表达式匹配和字符串处理等。
2.图灵机：图灵机是由英国数学家艾伦·图灵提出的一种抽象计算模型。
图灵机包括一个无限长的纸带和一个可以读写移动的头部。
图灵机可以模拟任何计算过程，因此被认为是一种通用的计算模型。
mbda演算：Lambda演算是一种基于函数定义的计算模型。
它使用匿名函数和函数应用来描述计算过程。
Lambda演算是函数式编程语言的理论基础，它具有优雅简洁的数学形式。
4.递归函数：递归函数是一种递归定义的计算模型。
它使用函数自身的调用来描述计算过程，递归函数适用于描述递归结构的计算问题，如树形结构的遍历和分治算法等。
5.数据流模型：数据流模型是一种描述并行计算的计算模型。
它使用数据流图来描述计算过程，将计算分解成一系列数据流操作。
数据流模型适用于描述流式计算和并行计算等。
6.并发模型：并发模型是一种描述并发计算的计算模型。
它使用并发控制结构来描述计算过程，将计算分解成多个并发执行的任务。
并发模型适用于描述多任务调度和并发通信等。
这些计算模型各具特点，在不同的计算问题中有不同的应用。
了解和掌握这些计算模型有助于我们更好地理解计算过程和设计高效的算法。
希望本文对你有所帮助。
计算模型图灵机课件
图灵机为计算机安全领域提供了理论 基础，如分析病毒、黑客攻击等。
04
图灵机的启示
对人工智能的影响
1 2
奠定人工智能理论基础
图灵机作为计算模型，为人工智能领域提供了理 论基础，推动了人工智能的发展。
启发机器学习算法
图灵机的计算原理启发了众多机器学习算法，如 神经网络、深度学习等。
3
强化智能系统设计
特点
非确定型图灵机具有更高的计算能力，可以模拟更复杂的算法和问 题。
应用
非确定型图灵机在理论计算机科学中有着重要的地位，例如在自动 机理论和形式语言等领域中的应用。
概率图灵机
定义
概率图灵机是一种能够进行概率计算的图灵机模型，即机器在执行 操作时具有一定的概率分布。
特点
概率图灵机可以模拟随机过程和不确定性，适用于处理概率性和统 计性的问题。
05
图灵机的扩展
多带图灵机
定义
多带图灵机是指具有多个磁带，并且每个磁带都可以独立进行读 写操作的图灵机。
特点
多带图灵机可以同时处理多个任务，提高了计算效率和并行处理 能力。
应用
多带图灵机在计算机科学和人工智能领域中有着广泛的应用，例 如并行算法、分布式计算和云计算等。
非确定型图灵机
定义
非确定型图灵机是指具有不确定性的计算模型，即存在多个可能的 计算路径，但最终都能得到正确的结果。
计算模型图灵机课 件
contents
目录
• 图灵机简介 • 图灵机的工作原理 • 图灵机的应用 • 图灵机的启示 • 图灵机的扩展
01
图灵机简介
图灵机的发明者
01
图灵机的发明者是英国数学家阿 兰·图灵（Alan Turing），他在 1936年提出了图灵机的概念。
图灵计算机模型意义,图灵机有什么意义_学习图灵机模型中遇到的问题-人工智能-电子发烧友网...
图灵计算机模型意义,图灵机有什么意义_学习图灵机模型中遇到的问题-⼈⼯智能-电⼦发烧友⽹...图灵机意义图灵提出图灵机的模型并不是为了同时给出计算机的设计，它的意义我认为有如下⼏点：1、它证明了通⽤计算理论，肯定了计算机实现的可能性，同时它给出了计算机应有的主要架构；2、图灵机模型引⼊了读写与算法与程序语⾔的概念，极⼤的突破了过去的计算机器的设计理念；3、图灵机模型理论是计算学科最核⼼的理论，因为计算机的极限计算能⼒就是通⽤图灵机的计算能⼒，很多问题可以转化到图灵机这个简单的模型来考虑。
对图灵机给出如此⾼的评价并不是⾼估，因为从它的设计与运⾏中，我们可以看到其中蕴涵的很深邃的思想。
通⽤图灵机等于向我们展⽰这样⼀个过程：程序和其输⼊可以先保存到存储带上，图灵机就按程序⼀步⼀步运⾏直到给出结果，结果也保存在存储带上。
另外，我们可以隐约看到现代计算机主要构成(其实就是冯诺依曼理论的主要构成)，存储器(相当于存储带)，中央处理器(控制器及其状态，并且其字母表可以仅有0和1两个符号)，IO系统(相当于存储带的预先输⼊)；4、“图灵机”只是假象的“计算机”，完全没有考虑硬件状态，考虑的焦点是逻辑结构。
图灵在他著作⾥，进⼀步设计出被⼈们称为“通⽤图灵机”的模型，图灵机可以模拟其他任何⼀台解决某个特定数学问题的“图灵机”的⼯作状态。
图灵甚⾄还想象在带⼦上存储数据和程序。
“通⽤图灵机”实际上就是现代通⽤计算机的最原始的模型。
学习图灵机模型中遇到的三个问题1) 为什么图灵机有不可判的问题？2) 为什么强⼤的图灵机会不停机？3) 为什么图灵当初要设计图灵机？图灵机虽然构造简单，但却及其强⼤，它能模拟现代计算机的所有计算⾏为，堪称计算的终极机器。
然⽽即便是这个终极机器，也有令它⽆能为⼒的问题，这便是第⼀个要回答的问题：为什么图灵机有不可判的问题？⾸先明确什么是图灵可识别(Turing recognizable)和图灵可判定(Turing decidable)。
图灵机模型
8
例子2-1说明
例 2-1 设M1=({q0, q1, q2},{0, 1},{0, 1, B},δ,q0 , B ,{q2})，其中δ的定义如下，对于此定义，也 可以用表2-1表示。 δ(q0, 0)= (q0, 0, R) δ(q0, 1)= (q1, 1, R) δ(q1, 0)= (q1, 0, R) δ(q1, B)= (q2, B, R)
22
2.1.1 基本图灵机
（2）处理输入串1001100101100的过程中经历的 ID变换序列如下： q01001100101100├ 1q1001100101100 ├ 10 q101100101100├ 100q11100101100 ├ 1001 q2100101100├10011q300101100 M2遇到第三个1时，进入终止状态q3，输入串 的后缀00101100还没有被处理。但是，由于 M2已经进入终止状态，表示符号串 1001100101100被M2接受。
28
构造思路
29
移动函数
0 q0 q1 q2 q3 (q3,0,L) (q0,X,R) (q1,0,R) (q2,Y,R) (q2,1,R) (q3,1,L) (q3,Z,L) (q0,X,R) (q3,Y,L) 1 2 X Y (q4,Y,R) (q1,Y,R) (q2,Z,R) (q3,Z,L) Z B
12
2.1.1 基本图灵机
如果δ(q, Xi)=(p, Y, L)则，
–
当i≠1时，M的下一个ID为 X1X2…pXi-1YXi+1…Xn
记作
X1X2…Xi-1qXiXi+1…Xn├M X1X2…pXi-1YXi+1…Xn – 表示M在ID X1X2…Xi-1qXiXi+1…Xn下，经过一次移 动，将ID变成X1X2…pXi-1YXi+1…Xn；
什么是图灵计算
02
03
图灵计算可以用于实现机器学习算法，如支持向量机、神经网络等，以提高机器学习的效率和准确性。
人工智能中的图灵计算
机器学习
图灵计算可以用于实现自然语言处理算法，如分词、句法分析、语义理解等，以提高自然语言处理的效率和准确性。
自然语言处理
图灵计算可以用于实现计算机视觉算法，如目标检测、图像识别等，以提高计算机视觉的效率和准确性。
要点三
03
图灵计算的几个重要性质
图灵机可以模拟任何其他图灵机的计算
图灵机的通用性是指它可以模拟任何其他类型的图灵机的计算。这意味着，无论面对什么样的计算问题，只要这些问题都可以通过某种类型的图灵机解决，那么图灵机就可以解决这些问题。
图灵机可以模拟生物大脑的计算
图灵机的通用性还表现在它可以模拟生物大脑的计算。这意味着，图灵机可以模拟人类或其他生物大脑如何处理信息、解决问题和做出决策。
图灵计算与递归函数
图灵计算与Lambda演算的联系
Lambda演算是一种函数式编程语言，它具有表达算法的能力。图灵机可以通过执行Lambda演算中的函数来执行算法。
图灵计算对Lambda演算的局限性
虽然Lambda演算可以表达算法，但是它不能表达非算法的程序，例如具有随机性的程序。因此，Lambda演算不能完全模拟图灵机的计算能力。
图灵计算的并行化
图灵计算与人工智能有着密切的联系。在研究人工智能的过程中，需要回答一些哲学问题，如意识、智能和机器的自我认知等。这些问题也需要与图灵计算相结合，以推动计算机科学的发展。
图灵计算基于可计算性和经典物理学。然而，量子计算机的出现对可计算性理论提出了挑战。量子计算机使用量子比特而不是经典比特来存储信息，并利用量子叠加和量子纠缠等量子效应来实现计算。这些新的概念和技术对图灵计算的研究提出了新的挑战和机遇。
图灵机与计算问题
程序3：
输入 当前内部状态 输出 下时刻的内部状态 黑 饥饿 涂白 吃饱 黑 吃饱 后移 饥饿 白 饥饿 涂黑 饥饿 白 吃饱 前移 吃饱 这个程序复杂多了，有四行，原因是你不仅需要指定 每一种输入情况下小虫应该采取的动作，而且还要指 定在每种输入和内部状态的组合情况下小虫应该怎样 行动。看看我们的虫子在读入黑白白黑白……这样的 纸带的时候，会怎样？ • 仍然用下面的一系列图来表示，灰色的圆点表示饥饿 的小虫，白色的圆点表示它吃饱了。 • • • • • •
改进程序1
• 现实世界中的小虫肯定不会这样傻的在那里无 限循环下去。我们还需要改进这个最简单的模 型。 • 首先，我们知道小虫除了可以机械地在世界上 移动以外，还会对世界本身造成影响，因而改 变这个世界。比如虫子看到旁边有食物，它就 会把那个东西吃掉了。在我们这个模型中，也 就相当于我们必须假设小虫可以改写纸带上的 信息。因而，小虫可能的输出动作集合就变成 了：O={前移，后移，涂黑，涂白}。这个时候， 我们可以把程序1改为比如：
前言
• 自从20世纪30年代以来，图灵机、计算这些重 要的概念在科学的天空中就一直闪烁着无限的 光彩。尤其是近年来量子计算机、生物计算机、 DNA计算等领域的创新工作引起了了世人的广 泛关注。我们不禁问这样的问题，国外究竟为 什么能发明出这些各式各样的计算机呢？这些 意味着什么呢？其实这一切的源头都来源于计 算理论。 • 主要介绍图灵机、计算等等一些基本而重要的 概念，并对图灵机相关问题进行一些发散的探 讨。
图灵机与计算问题
• • • • • • • • • • •
前言 一.故事 二.图灵机 三.如何理解图灵机 1.小虫的比喻 2.如何理解图灵机模型 四.计算 1.什么是计算 2.计算的组合 3.征服无限的方法 4.归纳
图灵机的原理
图灵机的原理图灵机是英国数学家艾伦·图灵于1936年提出的一种抽象的数学模型，用来描述一种能够模拟任何计算机算法的理论计算机。
图灵机的原理是基于一种简单的计算模型，它包括一个无限长的纸带和一个能够读写纸带上符号的读写头，以及一系列状态和状态转移规则。
图灵机的设计思想和工作原理对于理解计算机科学的基本概念和原理具有重要的意义。
图灵机的核心是其状态转移规则，它描述了在给定状态下，图灵机应该如何根据当前读取的符号和内部状态来进行下一步的操作。
这种简单的状态转移规则使得图灵机能够模拟任何可以被算法描述的计算过程，从而成为了计算理论的基础模型之一。
图灵机的工作原理可以简单描述为，读写头在纸带上移动，读取当前符号并根据当前状态和读取的符号进行状态转移，然后根据状态转移规则进行下一步操作。
这个过程不断重复，直到图灵机进入停机状态或者无限循环。
图灵机的原理具有重要的理论意义，它证明了存在一种通用的计算模型，能够模拟任何可以被算法描述的计算过程。
这个理论结果被称为“图灵完备性”，它表明只要一种计算模型具有和图灵机相同的能力，就能够模拟任何计算过程。
这也是为什么图灵机被认为是计算机科学的基础理论之一。
除了理论意义，图灵机的原理还对计算机科学和人工智能领域有着重要的启发作用。
图灵机的设计思想和工作原理启发了人们对计算机和算法的理解，也为人工智能的发展提供了重要的理论基础。
图灵机的原理对于理解计算机科学的基本概念和原理具有重要的意义。
总的来说，图灵机的原理是计算机科学领域中非常重要的理论概念，它描述了一种能够模拟任何计算机算法的理论计算机模型。
图灵机的工作原理基于简单的状态转移规则，能够模拟任何可以被算法描述的计算过程，具有重要的理论意义和启发作用。
图灵机的原理对于理解计算机科学的基本概念和原理具有重要的意义，也为人工智能的发展提供了重要的理论基础。
图灵机
图灵机出自WordPress Chinese 中文文档跳转到: 导航, 搜索图灵机 (Turing Machine, 又稱确定型图灵机)是英國數學家阿兰·图灵（Alan Turing）於1936年提出的一种抽象计算模型。
其更抽象的意义为一数学逻辑机，可以看作等价于任何有限逻辑数学过程的终极强大逻辑机器。
目录[隐藏]∙ 1 图灵的基本思想∙ 2 图灵机的形式化定义∙ 3 图灵机的基本术语∙ 4 圖靈機的例子∙ 5 通用图灵机∙ 6 图灵机的变体∙7 图灵可计算性∙8 其它等价的计算模型∙9 参考文献∙10 外部链结图灵的基本思想图灵的基本思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过程，他把这样的过程看作下列两种简单的动作：∙在纸上写上或擦除某个符号；∙把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置；而在每个阶段，人要决定下一步的动作，依赖于 (a) 此人当前所关注的纸上某个位置的符号和(b) 此人当前思维的状态。
File:Turing machine 2a.gif在某些模型中，纸带移动，而未用到的纸带真正是“空白”的。
要进行的指令(q4)展示在扫描到方格之上(由 Kleene (1952) p.375 绘制)。
File:Turing machine 2b.gif在某些模型中，读写头沿着固定的纸带移动。
要进行的指令(q1)展示在读写头内。
在这种模型中“空白”的纸带是全部为 0 的。
有阴影的方格，包括读写头扫描到的空白，标记了 1,1,B 的那些方格，和读写头符号，构成了系统状态。
(由Minsky (1967) p.121 绘制)。
为了模拟人的这种运算过程，图灵构造出一台假想的机器，该机器由以下几个部分组成：1.一条无限长的纸带TAPE。
纸带被划分为一个接一个的小格子，每个格子上包含一个来自有限字母表的符号，字母表中有一个特殊的符号<math>\square</math> 表示空白。
算法——图灵机
算法作业1一、 说明什么是图灵机，给出确定型图灵机和非确定型图灵机的数学描述。
解答：1.什么是图灵机图灵机是一个结构简单而且计算能力很强的计算模型。
一台多带图灵机是由一个有限状态控制器和和k条读写带（k≥1）组成的。
这些读写带的右端无限，每条带都从左到右划分为方格，每个方格可以存放一个带符号。
带符号的总数是有限的。
每条带上都有一个由有限状态控制器操纵的读写头或称为带头，它可以对这k条带进行读写操作。
有限状态控制器在某一时刻处于某种状态。
且状态是有限的。
右图为示意图。
根据有限状态控制器的当前状态及每个读写头读到的带符号，图灵机的一个计算步可实现下面3个操作之一或全部。
（1）改变有限状态控制器中的状态。
（2）消除当前读写头下的方格中原有带符号并写上新的带符号。
（3）独立地将任何一个或所有读写头，向左移动一个方格（L）或向右移动一个方格（R）或停在当前单元不动（S）。
2.确定性图灵机的数学描述k带确定性图灵机可以形式化地描述为一个7元组（Q,T,I,δ,b,q,q），其中，(1)Q是有限个状态的集合。
(2)T是有限个带符号的集合。
(3)I是输入符号的集合，IT。
(4) b是唯一的空白符，bT-I。
(5) q是初始状态。
(6) q是终止（或接受）状态。
(7) δ是移动函数。
它是从Q×T的某一个子集映射到Q×（T×{L,R,S}）的函数。
这种图灵机中，因为移动函数δ是单值的，即对于Q×T中的每一个值，当它属于δ的定义域时，Q×（T×{L,R,S}）中只有唯一的一个值与之对应，所以称之为确定性图灵机，简记为DTM(Deterministic Turing Machine)。
对于某个包含一个状态及k个带符号的k+1元组，移动函数将给出一个新的状态和k个序偶，每个序偶由一个新的带符号及读写头的移动方向组成。
形式上可表述为δ（q，a，a，…，a）=δ（q’，(a’，d),(a',d),…，(a’,d)）当图灵机处于状态q且对一切 1≤i≤k，第i条带的读写头扫描着的当前方格中的符号正好是a时，图灵机就按这个移动函数所规定的内容进行工作：（1） 将图灵机的当前状态q改为状态q’.（2） 将第i条读写头下当前方格中的符号a清除并写上新的带符号a’, 1≤i≤k。
第3讲_图灵机与计算问题
输入数值i 1 0 0 …
输出动作O 前移
往纸带上写1 后移 …
下一时刻的内部状态S’ C B A …
9
图灵机示例
设计计算“X+1”的图灵机，要求计算结束后读写头回到原位
题目分析：
TM的工作条件是：输入带符集合，内部状态集合，一组控制规则 设：X=5，采用0和1表示。
Add
1
0
Left
Carry
Add
*
*
Right
Halt
Carry
0
1
Left
Noncarry
Carry
1
0
Left
Carry
Carry
*
1
Left
Overflow
Noncarry
0
0
Left
Noncarry
Noncarry
1
1
Left
Noncarry
Noncarry
*
*
Right
Return
overflow
Return Halt
* 1 10 * Halt
18
理解图灵机模型——图灵模型的伟大
人也可以抽象为图灵模型 图灵机模型
输入集合 输出集合 内部状态 一套规则（或说程序）
图灵机是万能的吗？
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什么是计算
计算
计算是对信息的变换 计算是一个系统完成了一次从输入到输出的转换。 按确定的、有限的规则和步骤，将输入转换为输出的过程。
第3讲
计算机是一种计算装置 为什么能够发明出计算机？ 计算机的理论基础是什么？
虽然这里的 “计算” 可 能是广义的
第1章 附-图灵机
S为M具有的一个有穷状态集，任意时刻M处于S中的某个状态State
是S中唯一的一个开始状态，
；
态，
是S的一个子集，叫作接受状态集，其中的状态称为接受状 ；
态，
是S的一个子集，叫作拒绝状态集，其中的状态称为拒绝状
，且
；
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图灵与图灵机模型
第一章 计算与计算学科
一个 7 元组就定义了一台图灵机，不同的 7 元组定义不同的图灵机：
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第一章 计算与计算学科
程序
输入数据
计算机 输出数据
图灵机模型
输出 控制
输入
图灵模型的原理动画演示
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第一章 计算与计算学科
3. 图灵机形式化定义
一个 7 元组就定义了一台图灵机，不同的 7 元组定义不同的图灵机：
M为定义的进行某一计算的图灵机；
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第一章 计算与计算学科
一个 7 元组就定义了一台图灵机，不同的 7 元组定义不同的图灵机：
是决定M如何动作的规则，即转移函数
例如： 意思是：当M处于State1且读写头下的字符是3时，擦掉3写下7，读写 头向右移动一格，进入state5。
பைடு நூலகம்
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图灵与图灵机模型
图灵与图灵机模型
1 • 图灵 2 • 图灵机模型 3 • 图灵机形式化定义 4 • 可计算与不可计算
第一章 计算与计算学科
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图灵与图灵机模型
第一章 计算与计算学科
1. 图灵
1936年，英国科学家图灵发表了题为“论数字计算在决断 难题中的应用(On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem)”的论文，给 “可计算性”下了一 个严格的数学定义，并提出了一个对于计算可采用的“通用机 器(Universal Machine)”的概念，这就是著名的“图灵机 (Turing Machine) ”的设想，为现代计算机奠定了理论基础。——计算 机科学之父
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2.3通用图灵机
• 图灵机本质在进行字符串的处理
图灵机输入是一个字符串 图灵机输出也是一个字符串
• 如果将图灵机的有限内部状态与读写头的有限 动作用字符串表示 • 那么每条转换规则也可以用一个字符串表示 （当前状态，当前符号，动作，新状态） • 图灵机可以由一个较长字符串完全表示通用图
灵机
软件设计方法学
第二章 程序算法与图灵机模型
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2.1 算法概念
• 定义：算法是完成一个任务所需要的具体 步骤和方法。 • 从程序设计的角度来看：给定初始状态或 输入数据，经过计算机程序的有限次运算， 能够得出所要求或期望的终止状态或输出 数据。
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〖创设情景，揭示课题〗
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？ 2 18 30 先用两个数公有的质因数 3 9 15 连续去除,一直除到所得 3 5 的商是互质数为止,然后 ∴18和30的最大公约 把所有的除数连乘起来. 数是2×3=6. [问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大 公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察 又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们 的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数?
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本节主要内容
• • • • • 图灵机缘起 图灵机描述 计算“X+1”的图灵机 通用图灵机 图灵机模型的启示
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2.2.1图灵机概念
• 1900,德国数学家希尔伯特提出"23个数学难题"中,
– 逻辑的完备性问题,即是否所有数学问题原则上都可解.
• 1936, 英国数学家图灵
– “论可计算数及其在判定问题中的应用”(On Computable Numbers With an Application to the Entscheidungs Problem)
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解决办法：
• 采用收缩的步骤来进行 基本思想：对于一个二进制位串，不是直接 把它当做二进制数来读，而是关注在这个 序列中，每两个连续的0直接1的个数 例如：
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观察：
发现： 0 →000 1 →010 2 →0110 最左端的0可以忽略
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• 编码规则可以定义为： 0 →0 1 →10 2 →110 3 →1110 ……… 其中0和1可以作为二进制数码来用，2,3,4等可 以作为某种记号或指令的编码来读。
• 图灵机是一个五元组（K，∑，δ，s，H）， 其中： • K 是有穷个状态的集合； • ∑ 是字母表，即符号的集合； • s ∈K是初始状态； • H∈K 是停机状态的集合，当控制器内部状 态为停机状态时图灵机结束计算； • δ是转移函数，即控制器的规则集合
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图灵机工作过程：计算“x+1”的图灵机
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• 一进位系统 实现方法：用一串n个1代表数n 如：1 →1 2 →11 3 →111 4 →1111 …….
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优点： • 数据表示简单 • 0可以作为多个数之间的分隔手段
缺点： • 表示大数时候极端无效率
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2.2.2 二进位码的数据表示
• 目标 解决大数表示的问题 如果直接把磁带上的符号当成二进制位 数来读存在的问题： 读到的0是空白还是二进制数本来的数位？ 多个数据之间的分隔符如何表示？
• 结论：
– 可解的问题是能够用"图灵机"的自动机理论模型表达的 问题.
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图灵机的直观描述
• 3个部件：有穷控制器（有限状态机）、无穷带 （符号集合）和读写头（读、改写、左移、右移）
•3个动作：改写当前格、左移或右移一格 •图灵机的计算：由控制器控制执行的一系列动作
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图灵机的形式化描述
• 停机状态集合H
{halt}；
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“x+1”图灵机规则集合（1）
• 规则
如果 A 那么 B，形式化表示：A B
•图灵机控制器的规则：
•（控制器当前状态，读写头当前位置的符号） (读 写头移动动作指示，读写头新位置的符号，控制器新 状态)
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x+1”图灵机规则集合（2）
• 规则集合δ：
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通用图灵机的基本思想：
• 把任意一台图灵机T的指令表编码成在磁带 上表示的0和1的串 • 把这段磁带作为通用图灵机U的输入的开始 部分，接着图灵机U像T一样，作用于输入 的余下部分。
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编码的方法（1）：
• 采用收缩的方式进行编码： 0 →0 10 →1 110 →R 11110 →L 111110 →STOP
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辗转相除法求最大 公约数算法：
• • • •
第一步,给定两个正数m,n 第二步,计算m除以n所得到余数r 第三步,m=n,n=r 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则返回第二步
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4. 辗转相除法的程序框图
开始
输入两个正数m,n m<n?
是
x=n n=m m=x
否
r=m MOD n
r≠0?
n=r m=n
是
否
输出n
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结束
INPUT m,n IF m<n THEN x=n n=m m=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 m=n n=r r=m MOD n WEND PRINT n END
2.2 图灵机模型
• 图灵机模型理论是计算学科最核心的理论 之一 • 图灵机模型为计算机设计指明了方向 • 图灵机模型是算法分析和程序语言设计的 基础理论。
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通用图灵机蕴含的计算思想（1）
• 程序也是数据
– “x+1”图灵机功能是固定的，相当于一个程序 – 通用的图灵机功能根据输入编码的不同而变化
• 存储程序和程序控制 • U图灵机进一步展示了程序和其输入可以先 保存到存储带上，U就按程序一步一步运行 直到给出结果，结果也保存在存储带上。
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例如:数据序列（5,13,0,1,1,4） 直接用二进制表示为： 101,1101,0,1,1,100 运用我们的编码规则： 0 →0 1 →10 2 →110（可以用来作为数据分隔符“,”的编码） 变换后将得到怎样一个序列呢？（大家动手做一做）
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UN+1对于大数的结果表示对比： 167+1 • 一进位 167 ：00001111…110000(167个1) 168：00001111…110000(168个1) • 二进位（10100111，）： 167：00001001000101010110 168（10101000，）:000010010010000110
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2.2.3 非自然数的表示
基本思想： 在自然数表示的基础上对符号进行编码来 完成。 方法： • 负数（对-进行编码） • 分数（对/进行编码）
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• 有限小数的表示 可以用分数的形式来表示 如：3.14159265 →314159265/100000000 • 无限小数的表示 严格来说，图灵机的输入和输出都不是无 限小数 让图灵机产生对应的数位值
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〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146; 6105＝2146×2＋1813; 2146＝1813×1＋333; 1813＝333×5＋148; 333＝148×2＋37; 148＝37×4＋0. 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。 01:00
通用图灵机蕴含的计算思想（2）
• 通用图灵机模型是计算机的计算能力的极限
因为，根据丘奇-图灵论题： 不能用图灵机完成的计算任务是不可计算的
• 计算机系统应该有:
– 存储器（相当于存储带） – 中央处理器（控制器及其状态），并且其字母表可以 仅有0和1两个符号； – 为了能将数据保存到存储器并将计算结果从存储器送 出来展示给用户，计算机系统还应该有输入设备和输 出设备如键盘、鼠标、显示器和打印机等。
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举例：“5＋1”的计算过程（1）
• 初始状态
根据规则 集合δ：
第一步完成后状态
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“5＋1”的计算过程（2）
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“5＋1”的计算过程（3）
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“5＋1”的计算过程（4）
• 停机状态
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编码方式表示的图灵机
• 图灵机UN+1：
00→00R，
01→11R，
10→01STOLeabharlann ， 11→11R。01:00
通用机的实现方案
• 对于图灵机Tn来说，对于一个输入m，Tn经过一系列的步 骤后最终达到停止，则会在机器的左边产生一个二进位串 的计算结果，假设为p 可以写成：Tn（m）=p • 对于图灵机U而言：我们把Tn的指令编码成了n的二进位串 作为输入的一部分，故可看成是U作用于n和m才生结果p • 故可写成：U（n，m）=Tn（m）=p
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编码的方法（2）：
• 逐步采取措施去掉冗余的信息 00→00R， 01→01STOP， 00R01STOP R01STOP R1STOP 1101011110 1011表示十进制数 11
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编码的方法（3）：
我们把号码为n的图灵机称为第n台图灵 机，用Tn来表示。 故 1011 即表示为T11 注意：不是每一个自然数n所对应的Tn都 是可以工作的图灵机
• 目标
– 利用二进制来设计一个专门计算“x+1”的图灵机，要求计算完成 时，读写头要回归原位 – x由0、1串组成，“*”为x的分隔符、界定符