零阶项系数充分大的完全非线性椭圆型方程的边值问题
非线性四阶椭圆边值问题解的存在性与唯一性
定 １设 、 Ｂａ空 ， 非 性 子 Ｊ ｉ ｌ 义 Ｆ ａ ｈ 间如 线 算 Ｉｉ『 为ｎ ｃ 果 ｎｌ ７
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非线性 四阶椭 圆边值 问题 解 的存在 性与 唯 一性
赵 静 ， 松 年 何
（ 国民航 大 学 理 学 院 ， 中 天津 ３ ０ ０ ） ０ ３０
摘 要 ： 别 利 用全 局 同胚 理论 和动 力 系统 理 论 的 一 些 结论 ， 究 了非 线 性 四 阶 椭 圆边 值 问题 解 的 存 在性 与唯 一性 。得 分 研
（ 、 ） （ ）
任意 的 Ｙ∈Ｆ 非 线性方 程 ， ）Ｙ ＝ （） ２
曲线 ， 并且边界 曲线的主曲率是有界 的，
是定义在 上 的 Ｓ ｂ ｌ 空间凹 ｏ ｏｅ ｖ ， △是 ｎ 维拉普拉斯算子 。
到 的 结 果 改进 和 推 广 了非 线性 四阶 椭 圆边 值 问题 的 相 应 结 果 。
关 键 词 ： 阶 椭 圆方 程 ； 值 问题 ； 胚 ； 值 问题 ； 拓 性 四 边 同 初 延
中图 分 类 号 ： ７ ． ０１ ７２
文 献 标识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ １５ ０ （ ０ ８ ０ ・０ ・ ４ １ ０ ・０ ０ ２ ０ ） ２ ０ ６１０
Ｅｘ ｓｅ ｅ ａ Ｕｎｉ ｕｅ ｓ ｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｉｔｎｃ ｎｄ ｑ ｎｅ ｓ ｆ Ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｆ ｒ Ｎｏ ｌｎｅ ｒ ｎ ｉ ａ Ｆｏ ｔ Ｏｒ ｒ Ｅｌｉ ｉ ｕｎｄａ ｙ Ｖａ ｕｅ ｕｒ ｈ ｄｅ ｌｐｔｃ Ｂｏ ｒ ｌ Ｐｒ ｂｌｍ ｓ ｏ ｅ
非线性椭圆型方程
非线性椭圆型方程
非线性椭圆型方程是一类重要的研究深层数学方程的数学理论。
它的几何表达式是最常见的，可以用来描述多种直线和曲线，在线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等多个领域有广泛的应用。
首先，我们来介绍一下什么是非线性椭圆型方程。
非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，它在数学上就是一个椭圆的方程，但是它有比一般椭圆方程更复杂的结构。
它在椭圆方程的基础上，加入了一些非线性的元素，使得它的形式变得更加复杂。
其次，我们来看一下非线性椭圆型方程的几何表示。
一般来说，非线性椭圆型方程的几何表示式为：
F(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0，其中a,b,c,d,e和f是常量。
它们可以映射出各种直线和曲线，比如圆、椭圆、抛物线等。
再次，我们来看一下非线性椭圆型方程的应用。
非线性椭圆型方程有着广泛的应用领域，比如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等。
在线性代数中，它可以用来求解系统方程，或者求解向量空间等问题；在几何学中，它可用来处理各种几何舞台上的问题，如求解相对于其他确定性几何图形的不同类型图形；在机器学习中，它可以用来表达分类问题，建立模型，或者进行参数估计；在计算机图形学中，它可以用来模拟物体的表面，绘制3D图形；在知识工程中，它可以用来处理不同类型的数据，如文本数据、文档数据和语音数据等。
最后，我们来总结一下，非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，其几何表示可以映射出各种直线和曲线，并且有着广泛的应用领域，如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等，可以用来求解系统方程、表达分类问题、模拟物体表面、处理不同类型的数据等。
一类椭圆边值问题非平凡解的存在性
本 文 考 虑 如 Ｆ 圆边 值 问题 非 平 凡 解 的 存 在 椭
性：
另 外假 定存 在 ｍ＜ｋ及 常 数 ＞０ 满足 ：
（ ３ ｌ ｕ 璺兰 Ｇ） ｉ ｐ ｍｓ
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其 中 ｃ Ｒ 是具 有 光滑 边 界 的有 界 开集 ，
Ｅｘ ｓ ｅ ｅ ｏ ｏ ｒ ｖ ａ ｏ ｕ ｉ ｎｓｆ ｒａ ｃ ａ ｓｏ ｅ ｉ ｎ ａ ｉｔ ｎｃ ｆｎ ｎｔ ｉ ｉ ｌｓ ｌ ｔｏ ｏ ｌ ｓ ｆｓ ｍ ｌ ｅ ｒ ｉ
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一
类 椭 圆边值 问题 非平凡解 的存在 性
杨 明海，罗庆红
（ 信阳师范学院 数 学与信息科学学院，河南 信 阳，６０ ０ ４４ ０）
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｘ ｓｅ ｃ ｆｎ ｎ ｒ ｉｌｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｌ ｓ ｆｓ ｍ ｉ ｎ ａ ｌ ｐ ｉ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｒ ｂ ｅ ｓ ｏ ｔ ｉ ｅ ｎ ｅ ｓ ｒ ｃ ：Ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｔｉ ａ ｏ ｕ ｉ ｓｆ ｒａ ｃ ａ ｓ ｏ ｅ ｌ ｅ ｒｅ ｌ ｔ ｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｅ ｏ ａ ｔｐ ｏ ｌｍｓ ｉ ｂ ａ ｎ ｄ ｕ ｄ ｒ ｖ ｏ ｉ ｉ ｃ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ Ａｈ ｅ ｅａ ｉ ｄ ｚ ｍａ － ｚ ｒＰａ ｌ ｔ ｐ ｏ ｄ ｔｏ ｓ ｙ ｔ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｍｏ ｎ ａ ｎ ｐ ｓ ｌ ｍｍ ａ ｉ ｈ ｒｔｃ ｌ ｐ ｉ ｔ ｔ ｅ ｒ ｄ Ｌａ ｅ — ｕ ｙ ｅ ｃ ｎ ｉｉ ｎ ｂ ｈ ｅ ｅ ａ ｉ ｅ ｕ ｔｉ ａ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｃ ｉｉａ ｏ ｎ ｈ ｏ ｙ． Ｋｅ ｒ ｓ ｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ｎ ｎ ｒｖ ａ ｓ ｌｔ ｎ ｗｅ ｋ ｓ ｌ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｎ ａ ｖ ｌ ｅｐ ｏ ｌｍ； ｏ ｔｉ ｉ ｌ ｏ ｕ ｉ ； ａ ｏ ｕ ｉ ｙ ｏ ｏ
非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解
非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题是指求解一个具有非线性分数阶p-laplacian算子的边值问题，其中p是一个正实数，它的形式如下：$$\begin{cases}(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=f(x,u) & \text{in}\\Omega \\ u=g(x) & \text{on}\ \partial\Omega\end{cases}$$其中，$\Omega$是一个有界域，$f(x,u)$是一个非线性函数，$g(x)$是边界条件，$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u$是p-laplacian算子，它的定义为：$$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=\nabla\cdot(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$$求解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解，可以采用函数空间的方法，即将问题转化为一个有界线性系统，然后求解该系统的解。
首先，我们将上述问题转化为一个有界线性系统，即：$$\begin{cases}Au=F & \text{in}\ \Omega \\ u=g & \text{on}\\partial\Omega\end{cases}$$其中，$A$是一个线性算子，它的定义为：$$Au=(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u-f(x,u)$$$F$是一个函数，它的定义为：$$F=-f(x,g)$$接下来，我们可以采用Galerkin方法求解上述线性系统，即：$$Au_n=F_n$$其中，$u_n$是一个有限维的函数空间，它的定义为：$$u_n=\sum_{i=1}^{n}c_i\phi_i$$其中，$\phi_i$是一组基函数，$c_i$是一组系数，它们的定义为：$$c_i=\int_{\Omega}u\phi_i\,dx$$最后，我们可以将上述线性系统转化为一个矩阵形式，即：$$A_{ij}c_j=F_i$$其中，$A_{ij}$是一个矩阵，它的定义为：$$A_{ij}=\int_{\Omega}\phi_iA\phi_j\,dx$$最后，我们可以采用数值方法求解上述矩阵形式，从而得到非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解。
几何中完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题
几何中完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题
完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题（Elliptic Boundary Value Problem,EBVP）是指给定一组椭圆偏微分方程与与之相对应的斜边式的边值问题，求其满足原问题的解。
完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题可以定义为：给定椭圆偏微分方程utt + f (u, ux, uxx) = 0，给定斜边式u(x,0) = φ(x)，uxt(x,0) = ψ(x)，求解u(x,t) 使其满足这一问题。
解答：
由椭圆偏微分方程及其斜边式的边值条件，可以建立一组完全非线性的非线性方程组，使其满足椭圆偏微分方程和斜边式的边值条件，然后利用定性理论来解决这一问题。
最终可以通过极值方法、Hausdorff方法、双缓存法或其他数值方法来求解解析解。
几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性
几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性引言在物理学和应用数学领域中，Langevin方程是描述随机过程的一种常用模型。
经典的Langevin方程是一阶常微分方程，其中随机项是用高斯白噪声描述的。
然而，在实际应用中，一些随机过程无法仅用高斯白噪声来描述，而需要引入分数阶导数来描述其随机性质。
因此，研究分数阶Langevin方程及其边值问题的存在性成为一个重要的课题。
本文将重点探讨几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性。
首先，我们将介绍分数阶导数的定义及其性质，然后给出分数阶Langevin方程的基本形式。
接下来，我们将讨论三类常见的分数阶Langevin方程边值问题，并证明它们存在解的充分条件。
一、分数阶导数的定义及性质分数阶导数是一种将微分运算推广到分数阶的概念。
它的定义可以通过分式阶的变换来实现。
对于任意实数α，α阶导数定义如下：D^αy(t) = \frac{1}{\Gamma(1-α)} \int_0^t\frac{y'(s)}{(t-s)^α}ds其中，Γ(·)表示伽马函数，y(t)是一个连续函数。
分数阶导数具有很多特殊的性质。
例如，当α为整数时，分数阶导数退化为经典的整数阶导数。
此外，分数阶导数还满足迭代性、幂规律、区间性等性质，这些性质在后续的证明中将起到关键作用。
二、分数阶Langevin方程的基本形式分数阶Langevin方程描述了具有分数阶导数的随机过程。
其一般形式如下：D^αy(t) = Ay(t) + f(t)这里，A是一个线性算子，f(t)是一个给定的随机项。
三、分数阶Langevin方程边值问题的存在性考虑以下三类常见的分数阶Langevin方程边值问题。
1. 类型一：无冻结现象边值问题考虑以下分数阶Langevin方程边值问题：D^αy(t) = Ay(t) + f(t)，y(0) = y(T) = 0其中，A是一个常数，f(t)是满足一定条件的随机项。
破解椭圆中最值问题的常见策略
破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。
圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。
要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。
本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。
第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax yk a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+ax y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。
故椭圆离心率的最小值为36。
（或2222)ab a b ≤=-，得：03b a <≤，由e =136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。
求解一维变系数椭圆型方程边值问题的RBF-FD格式
求解一维变系数椭圆型方程边值问题的RBF-FD格式王硕; 张新东; 郭非凡【期刊名称】《《河南科学》》【年(卷),期】2019(037)009【总页数】7页(P1390-1396)【关键词】变系数; 椭圆型偏微分方程; 径向基函数; 有限差分【作者】王硕; 张新东; 郭非凡【作者单位】新疆师范大学数学科学学院乌鲁木齐 830017【正文语种】中文【中图分类】O241.82椭圆型偏微分方程在许多物理现象和物理模型中都有着广泛的应用. 如何快速、准确、方便地求解椭圆型偏微分方程成为研究的热点. 关于常系数椭圆型偏微分方程数值解已有很多研究结果［1-6］. 但对于变系数椭圆型偏微分方程来说，其数值求解要相对复杂，如何快速、有效求解变系数椭圆型偏微分方程问题越来越受到关注.关于微分方程数值解法有很多成熟的方法，如有限元［1，7］、有限体积［2］、有限差分［8］等，其中有限差分方法是求解微分方程的常用且有效的方法. 差分方法的优劣主要体现在差分格式的稳定性、收敛性及误差.2000年，Tolstykh提出将径向基函数应用于有限差分法中，开启了径向基函数差分法的相关研究［9-10］. 径向基函数有限差分法可用于求解线性和非线性的偏微分方程［11-14］.由于径向基函数（Radial Basis Function Method，简称RBF）方法在处理分散节点和解决光滑问题时有较高的精度等优点，因此越来越多的研究者将两种方法结合构造径向基函数有限差分法来作为微分方程的高精度差分格式.1 RBF-FD公式的构造及最佳参数的选取1.1 RBF-FD公式给定一组数据为求解区域Rs 内n 个离散节点xi，i=1,2,…,n 的函数值，设任意点x 的函数值u(x)都可以近似表示为如下形式的径向基函数的线性组合，即：其中：Rs 为s维实空间；φ(r)为径向基函数；‖ ‖· 是Rs 上的欧几里得距离；pl(x)为多项式函数. 方程（1）中的系数λj 和αl 由下列拟合插值条件和附加条件决定：方程组（2）式的矩阵向量形式为其中：B=(bij)，bij=φ(‖ xi-xj ‖)；P=(pil)，pil=pl(xi)；λ=(λj)T，α=(αl)T，u=( u (x1),…,u(xn))T，0=(0)d×1，i,j=1,…,n，l=1,…,d.本文主要研究一维插值函数，所以取xi，x ∈ℝ . 插值函数（1）式在节点xi 处的k 阶导数为我们将s(k)(xi) 称为基于径向基函数插值的k 阶有限差分，简记为k 阶RBF-FD.一般有s(k)(xi)≈u(k)(xi). 如果要得到s(k)(xi)的表达式，则需要求解方程组（3）式，这在一般情况下比较困难. 此外，RBF插值的拉格朗日形式（1）～（2）式已经由Fornberg，Wright，Larsson在文献［15］中给出.定理1［15］为满足（2）式，（1）式中的RBF插值由（3）式给出其中，Aj(x)，(j=1,…,n)可由矩阵A 得到，即将矩阵A 的第j 行用如下向量替换：由（4）式可得由（5）式得到的s(k)(xi)可以避免求解方程组（3）式所遇到困难.1.2 基于三等距节点的RBF-FD公式首先给定三节点数据组{ }x1,x2,x3 ，且节点是等距的，h=x2-x1=x3-x2，本文只考虑包含常数项的RBF插值，这里β 为常数函数：其中：本文中取径向基函数为（Multiquadric，MQ函数），ε 为形状参数.根据（4）式，s′(x2)的系数ψ′j(x2)，j=1,2,3 如下：因此，我们有同理我们可以得到1.3 最佳参数ε 的选择假设被插值函数u(x)在包含节点组的区间I上充分光滑，记xε=εh，则ψ′2(x2)，u(x3)-u(x1)，s′(x2)关于ε 和h 的Taylor展开式：由上式我们可以看出，当时，有s″(x2)=u″(x2)+ο(h4).同理，ψ″2(x2)，2u(x2)-u(x1)-u(x3)，s″(x2)关于ε 和h 的Taylor展开式：由上式我们可以看出，当时，有s″(x2)=u″(x2)+ο(h4).2 一维变系数椭圆型方程边值问题的求解2.1 求解一维变系数椭圆型方程边值问题的RBF-FD格式考虑一维变系数椭圆型方程边值问题：其中，p(x)≥p0 ＞0，p0=p(a)，r(x)，q(x)≥0 且适当光滑.首先将（10）式化简为：其中：a(x)=p(x)；b(x)=r(x)-p′(x).将区间a ＜x ＜b 剖成n 等份，节点xi=a+(i-1)h，h=(b-a) n，1 ≤i ≤n+1. 在节点xi 处，利用来近似u″(x)，其中，. 将ε，v和w记作εi，vi 和wi，同时引入记号.根据中心差分公式给出一个逼近u′(xi)达到ο(h4)精度的近似式. 此外将（13）式右端的三阶导数u‴(xi)用具有二阶精度的差分逼近公式替代. 由（11）式可知所以将式（15）代入（13）式右边，并利用中心差分公式，得到利用式（12），（16）得到求解一维变系数椭圆型方程边值问题（11）式的具有四阶精度的RBF-FD方程：且满足边值条件u1=0，un+1=0 . 进一步整理，得其中：将（18）式的矩阵向量形式记为AU=F，其中显然，A 和F 都是U 的函数，即方程组AU=F 是非线性的. 容易验证A 是严格对角占优矩阵，因此可构造如下迭代格式：对其进行求解. 计算结果满足时，迭代终止.2.2 最佳参数ε2 的计算根据前面章节的分析可知最佳参数，而u″(xi)，u(4)(xi)是未知的. 首先对（14）式两边连续求导两次，有将（14）、（15）式代入（20）式得其中：根据RBF-FD公式（9）截断误差，可知所以当时，有s″(x2)=u″(x2)+ο(h4) .差分方程（18）式的迭代求解过程如下.第一步：迭代格式（19）式的初始值选择是利用二阶中心差分格式计算出一组具有二阶精度的近似解作为初始值U0；第二步：根据（22）式，利用Uk，k=0,1,…，计算，再通过计算vi，wi 和γi，从而得到A(Uk)，F(Uk)；第三步：通过A(Uk)，F(Uk)和（19）式计算出Uk+1. 如果满足终止条件，则迭代终止，否则转到第二步.2.3 数值实验及结果分析考虑边值问题其中：f(x)由精确解u=x(1-x)sin x 确定.本文定义如下误差函数为其中：C为常数；p为收敛阶；h为等距节点间的距离.对其取对数有log εr=log C+p log h，以log h 和log εr 为坐标轴，并应用非线性最小二乘Marquardr-Levenberg算法将数据拟合，得到如图1所示的直线.图1 二阶中心差分格式及RBF-FD格式的误差收敛阶Fig.1 Error convergence orders of second order central difference scheme and RBF-FD scheme图1为中心差分格式（23）与RBF-FD格式（17）在不同步长下解的误差收敛阶，可以发现在相同的步长h下，本文构造的RBF-FD格式的近似误差明显小于中心差分格式，并且可以得到RBF-FD格式（17）的四阶收敛性，是中心差分格式（23）的两倍. 数值结果表明，参数最优的RBF-FD格式在求解两点边值问题时，无论是逼近精度还是收敛阶数，均明显优于二阶中心差分格式.【相关文献】［1］胡健伟，汤怀民.偏微分方程数值方法［M］.北京：科学出版社，1999.［2］陆金甫，关治.偏微分方程数值解法［M］.北京：清华大学出版社，2016.［3］章本照，印建安，张宏基.流体力学数值方法［M］.北京：机械工业出版社，2003.［4］李荣华.边值问题的Galerkin有限元法［M］.北京：科学出版社，2005.［5］何跃.一类退化椭圆型方程边值问题的适定性［J］.数学年刊A辑，2007，28（5）：651-666.［6］韩丕功.关于半线性椭圆型方程和方程组的研究（英文）［J］.中国科学院研究生院学报，2009，26（1）：141-143.［7］曾攀.有限元分析及应用［M］.北京：清华大学出版社，2004.［8］ FORNBERG B. Generation of finite difference formulas on arbitrarily spaced grids ［J］. Mathematics of Computation，1988，51（184）：699-706.［9］ CECIL T，QIAN J，OSHER S.Numerical methods for high dimensional Hamilton-Jacobi equations using radial basis functions［J］.Journal of Computational Physics，2004，196（1）：327-347.［10］ BAYONA V，MOSCOSO M，CARRETERO M，et al.RBF-FD formulas and convergence properties［J］.Journal of Computational Physics，2010，229（22）：8281-8295.［11］ KHATTAK A J，ISLAM S L. A comparative study of numerical solutions of a class of KdV equation［J］. Applied Mathematics and Computation，2008，199（2）：425-434. ［12］ ISLAM S L，HAQ S，UDDIN M. A meshfree interpolation method for the numerical solution of the coupled nonlinear partial differential equations［J］.Engineering Analysis with Boundary Elements，2009，33（3）：399-409.［13］ CHEN R，WU Z. Solving partial differential equation by using multiquadric quasi-interpolation［J］. Applied Mathematics and Computation，2007，186（2）：1502-1510. ［14］ KHATTAK A J，TIRMIZI S I A，ISLAM S L.Application of meshfree collocation method to a class of nonlinear partial differential equations［J］.Engineering Analysiswith Boundary Elements，2009，33（5）：661-667.［15］ FORNBERG B，WRIGHT G，LARSSON E.Some observations regarding interpolants in the limit of flat radial basis functions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2004，47（1）：37-55.。
基于非线性项变号的p-Laplacian方程两点边值问题正解的存在性
２ 准备 知 识
为 了证 明本 文 的主要结 果 ，先 给 出如下 定义和 引理 ． 定 义 ２１ 设 （ ｌ １ 为实 Ｂ ｎｃ 间．称非 空 凸闭集 Ｐ ｃＥ 为锥 ，如 果满 足 ． Ｅ， ．） １１ ａａｈ空
对 所 有 的 ， ∈ Ｐ 以及 ｔ∈ ｆ，１ Ｖ ０ ｌ．类 似 地 ，称 映 射 是 锥 Ｐ 上 非 负连 续 凸泛 函，如果 ： Ｐ— ｆ， ∞ ） ０＋ 连续 并 满足 （ ￡ ＋（ 一ｔｖ １ ）） 对 所有 的 Ｕ Ｖ∈Ｐ 以及 ｔ ０ １． ， ∈『 １ ， （） １ ） ｕ ， 札 ＋（ 一￡ ） （
或
（．） １１
பைடு நூலகம்
（．） １ ２ （． １） ３
ｕ０ ＝“ １ ＝ ０ （） （）
下 两个正 解 的存 在性 ．其 中
１＋ ＝ １ １
．
ｘ＝ ）
， １ Ｐ＞ ， ） 。 ｚ是 。ｘ ＝
ｘ ）的反 函数 ，且
收稿 日期：２ ０ —３ １ ； ０ ８０ — ５ 修订 日期 ： ０ ９０ —８ ２ ０— ５０
近 年来 ，关 于 ＰＬ ｐａｉｎ方程 两点边 值 问题 正解 的存在性 与 多重性 ， 已取得 了大 量 的 — ａ ｌｃ ａ 研 究成果 ，参见 文献 『 ８ 及 相关 文献 ．其 中用到 的方法 主要 有 Ｌ ｇ ｅｔ ｌａ １ ］ — ｅｇ ｔ Ｗｉｉｍｓ不动 点定 — ｌ
理 【； ｖｒ—ｅｅ ｏ 不动点定理 ［． ｕ— ｒｓｏｅ ｋ 不动点定理 ［ ，； １ Ａ ｅ Ｐ ｔ ｓｎ 】 ｙ ｒ ５ Ｇ ｏＫ ａｎ ｓ ｓｉ Ｊ ｌ ｉ ２ 别 变分方法 【 和一 １ ６ ０ 】
(高等数学)偏微分方程
第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yuy x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y uu y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yuu y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y yu y x d x y u y x c yu y x b x u y x a就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yux u u就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒ 初值问题 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题. 2︒ 边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒ 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u 在区域D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u 及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u 为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.§2 一阶偏微分方程一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、 一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x u x u t u u x x x t F()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂nn n n x u x x x a x u x x x a (1) 式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ 的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) )是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni i n i x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ 解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2． 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、 一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n i n i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R t un i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()u x x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 ===为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、 一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x up p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂== 若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂yb b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bVa V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解. 2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yb x b y a x a ，即回到完全解. 3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b Va V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uFp x F t p p F p t u p Ft x i i i ni iii i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或u F p x F p u F p x F p p Fp up F x p F xp F x n nnni i i nn ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂=∂∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组()()F x y z p q G x y z p q a,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解.例 求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解 方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程dz a x zdx y azdy =++-22 得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为zFqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数)可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为n n n n i i iin n n x f p x f p p f p z p f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111 可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1)称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yP x Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足 zU R y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,,从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P xz发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解 ()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、 一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数. [特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-j i j i t xa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线. [狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ 的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量. 作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλ ϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tnj i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i (k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关. (ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c)).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1 ,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ图14.3于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B tu A xv D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统. 考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且()()()()()()()()v u t x u t x v v u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v x t u ,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A ut D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂t x v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=nnnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni i a .如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u m i nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ 式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222tus u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，对任意x D ∈和任意的a i 有()∑∑==≥ni i nj i jiija aa a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
椭圆边值问题的galerkin法及最小二乘法处理
椭圆边值问题的galerkin法及最小二乘法处理1. Galerkin法估计椭圆边值问题的galerkin法首先需要把椭圆边值问题的偏微分方程化为积分形式，即：$$\int_\Omega A(\vec{x})\vec{\nabla}u(\vec{x}) \cdot\vec{\nabla}\phi(\vec{x})d\vec{x}+\int_\OmegaB(\vec{x})u(\vec{x})\phi(\vec{x})d\vec{x}=-\int_{\partial\Omega}C(\vec{x},\vec{n})u(\vec{x})\phi(\vec{x})d\ vec{x}$$其中，$A(\vec{x})$、$B(\vec{x})$、$C(\vec{x},\vec{n})$分别代表椭圆边值问题的系数，$u(\vec{x})$和$\phi(\vec{x})$分别代表未知函数和基函数。
根据Galerkin法，我们需要找到一组有限多自由度的基函数$\phi_k$，使得上式变为：$$\sum_k \left(\int_\Omega A(\vec{x})\vec{\nabla}u_k(\vec{x}) \cdot \vec{\nabla}\phi_k(\vec{x})d\vec{x}+\int_\OmegaB(\vec{x})u_k(\vec{x})\phi_k(\vec{x})d\vec{x}\right)=-\int_{\partial\Omega}C(\vec{x},\vec{n})u(\vec{x})\phi_k(\vec{x})d\vec{x}$$左边乘以$\phi_k(\vec{x})$并积分，可以得到：$$\sum_k \left(\int_\Omega A(\vec{x})\vec{\nabla}u_k(\vec{x}) \cdot \vec{\nabla}\phi_k(\vec{x})d\vec{x}+\int_\OmegaB(\vec{x})u_k(\vec{x})\phi_k(\vec{x})d\vec{x}\right)\phi_k(\vec{ x})=-\int_{\partial\Omega}C(\vec{x},\vec{n})u(\vec{x})\phi_k(\vec{x})d\vec{x}$$此时，已经可以对系数$u_k$进行求解，从而解出椭圆边值问题的解。
一类半线性椭圆型方程边值问题的可解性
关键词：椭圆型方程 ；不动点；零解 ；有界正解；算子 中 图分类 号 ：０ ７ ． 文 献标识 码 ：Ａ １５２ ５ ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０ — ８１ ０ ０ ２ １ ｏ：１． ６￣ｉ ｎ１ ７ ９ ３． １． ． ４ ３ ｓ ０ ２ ００
１ 引言及预备知识
最 近几 年 ，在生 物学 、生态学 、燃 烧理 论 、人 口动态 方 面出现 的很多 现象 能够用 半线性 椭 圆型 方程描
述， 许多数学工作者对拟线性椭圆型方程 （ ） 组 特别是非线性的具有一定奇异的椭圆型方程 （ ） 组 的解 （ 弱 解） 的存在性与不存在性、唯一性 、多解性、正则性、部分正则性以及解 的其它性态进行 了研究“ ．文献
证明 设 Ｘ：ｃ一） （ ，Ｘ 中所有非负 ，且在 Ｏ 上为零的函数构成正锥 Ｂ，且 Ｂ为 Ｘ的闭凸集．作算 ｆ ２ ｆ ２ 子 ： Ｂ， Ｂ 使得 “ Ｂ，Ｔ ＝上 （ ） ＋Ｌ （， ） 其 中：Ｕ 一 ） ∈ ｕ 『ａｘｕ － ｘ ｆ ， ＝（△ 为紧正算子．从而 ： Ｂ为 Ｂ
常数 ｃ ０ ＞ ，使得对于任意 （ ， ） Ｑ× ，有０ （， ） ． ｘ ｕ∈ Ｒ ｆ ｘ ｃ
， ． 、
…
的可解性 ．其中 ：ＱＣＲ 为有界光滑域 ；ａ ） （ ） （ ∈ｃ－ ，且 ａｘ ０ ｆ ｘ ｕ 关于各变元连续．假设存在 ６ （） ： （， ）
２ 主 要 结 果 及证 明
第 ３ 卷 第 ２ Ｏ 期
２ ０ 正 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ ｃ ｅ ｃ ｆ Ｔ ａ ｈ ｒ Ｃｏ ｌｇ ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ｉ ｎ ｅ ｏ ｅ ｃ ｅ ｓ ｌｅ ｅ ａ ｄ ｉ ｅ ｓｔ
基本解方法求解椭圆方程边值问题
复旦大学硕士毕业论文摘要基本解方法（ＭｅｔｈｏｄｏｆＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｏｌｕｔｉｏｎ）是近些年发展起来的相对较新的一种求解某些椭圆方程边值问题的边界方法，它在求解椭圆方程的边值问题方面有着优越于其他数值方法的显著特征，特别是在满足某种条件的情况下，基本解方法给出了指数性递减误差，这在求边值问题数值解方面是非常难得的．本文主要对用基本解方法确定二维区域中的Ｌａｐｌａｃｅ方程的边值问题的边界进行研究。
把基本解方法求解椭圆方程边值问题公式化，首先应用于求解二维圆形区域的边值问题，文献【８］［１１］．［１２］已经给出圆形区域中基本解方法求解边值问题的收敛性证明，本文把圆形区域中不同取点方式得到的不同数值结果进行了比较，然后，利用复变函数中共形映射的相关知识把圆形区域这一特殊情况加以推广，对一般二维Ｊｏｒｄａｎ区域中的椭圆方程边值问题的求解进行讨论，并运用ＳＣ公式进行数值求解，在此基础上，提出把基本解方法应用于求解确定边界的反问题的算法，可以看出基本解方法对于求解反问题也是非常有效的。
关键词：基本解方法；椭圆方程的边值问题；非线性最小二乘法；共形映照；配置点控制点；反问题墓呈盔堂璺主里些鲨塞２ＡｂｓｔｒａｃｆＩｔｉｓｗｅｌｌｋｎｏｗＩｌｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（ＭＦＳ）ｉｓａｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｎｅｗｔｅｃｈｎｉｑｕｅｆｏｒｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆａｃｌａｓｓｏｆｅｌｌｉｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｔｆａｉｌｓｉｎｔｈｅｃｌａｓｓｏｆｍｅｔｈｏｄｓｇｅｎｅｒａｌｌｙｃａｌｌｅｄｂｏｕｎｄａｒｙｍｅｔｈｏｄｓ．ＢｙｔｈｅｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆＭＦＳｗｅｗｉｌｌｆｉｎｄｔｈａｔＭＦＳｈａｓｓｏｒｔｉｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｖｅｒｏｔｈｅｒｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｉｎｓｏｌｖｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｔｇｉｖｅｓａｎｕｓｕａｌｍｅｔｈｏｄｓｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒａｔｅｕｎｄｅｒｓｏｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．ＴｈｉｓｉｓｒａｔｈｅｒａｔｔｒａｃｔｉｖｅｓｉｎｃｅｃａｎｏｎｌｙｏｆｆｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓｗｉｔｈｅｒｒｏｒｏｆＮ一，ｗｈｅｒｅｓｉｓａｎｏｎｅｇａｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｆｏｒｔｈｅＬａｐａｌｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｏｍａｉｎＦｉｒｓｔｌｙｗｅｆｏｒｍｕｌａｔｅＭＦＳｔｏｓｏｌｖｅｅｌｌｉｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓＳｅｃ－ｄｏｍａｉｎａｎｄａｐｐｌｙＭＦＳｔｏｏｎｄｌｙ，Ｗｅｕｓｅｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｅｃｉｒｃｌｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆａｇｅｎｅｒａｌｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＪｏｒｄａｎｄｏｍａｉｎ．Ｓｐｅｃｉａｌｌｙ，ＭＦＳｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｓｏｌｖｅＦｒｅｅＢｏｕｎｄａｒｙＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｗｅｃａｎｆｉｎｄＭＦＳｉｓａｌｓｏａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｉｎｓｏｌｖｉｎｇｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍＫｅｙｗｏｒｄｓ：ＭｅｔｈｏｄｏｆＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｅｌｌｅｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙ－ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓ；ｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇｓ；ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓ；ｃｈａｒｇｅｐｏｉｎｔｓ；ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍ第一章引言本文讨论的基本解方法（ＭｅｔｈｏｄｏｆＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｏｌｕｔｉｏｎ以下简记为ＭＦＳ）魁一种求解菜些糖爨方程逮骧阅题数僵疑豹逸赛方法。
椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式4.doc
目录1引言2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式2.1建立第一边值条件等价极小位能原理2.2建立第一边值条件等价的虚功原理3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式3.1建立第二边值条件的极小位能原理3.2建立第二边值条件的虚功原理4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式4.1建立第三边值条件的极小位能原理4.2建立第三边值条件的虚功原理型方程非齐次边值问题的变分形式1引言很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的，在变分过程中增加了未知函数导数的阶数.反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函，使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说，变分法最终寻求的是极值函数，它们使得泛函取得极大或极小值.变分原理在物理学中，尤其是力学中有着广泛运用，如著名的虚功原理、极小位能原理、余能原理和哈密顿原理等，几乎所有的H然定律都能用变分原理的形式予以表达.在当代变分己成为冇限元法的理论基础，是求解边值问题的强力工具.2椭圆型方程第一边值问题的变分形式椭圆型方程第一边值问题：一V(々Vv) +汉/ = /，(x，)，)eG，(1.2)f/|「=G，其中r是边界，G是平面区域k = k(x, y) G c1 (G), min〉0，GC(G),CT >0,/G L2(G\gE C(r)，dx ox oy dy定义：//，(/) = {/|/EL2(/),/，EL2(/)}/=(tZ,/7)在解决第一边伉问题的变分形式的过程中，我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式，再运用虚功原理建立等价的变分形式.为此我们耑要考虑如卜‘结果：极小位能原理，虚功原理, 格林策一公式H格林第一公式：G是xy平面上的一有界区域，其边界r为分段的光滑曲线，为曲线r的单位外法向fi，■^是W沿A2的方叫导数，则有:dnJ(-△柏.P普dudx dx dy dy dni，=0,(2.1.4)定义：J(u) = — a(u,u)-(f,u).-\2 -\2其中A是Laplace算符+dy2极小位能原理：设仏eC2(d)是边值问题(2.1.3)，(2.1.4)的解，则wj史J⑻达到极小.，反之，若使J⑻达到极小，则仏是边值问题(2.1.3), (2.1.4)的解.虚功原理：设weC2(G)，贝ihr满足(2.1.3)，(2.1.4)的充要条件是：託且对于任意ve满足变分方程，a{u, v) - (/, v) = 0.2.1建立第一边值条件等价的极小位能原理(1)极小位能原理：设％eC2(d)为一特定函数，《|「=尺令1/ = “一叫，则得到(2.1), (2.2)的等价问题:-V(/:Vv) + ov j= F - / + — (/：-on{)* dy dyv r=0构造v的二次泛函J=W^W^VVJ Aj =—JJ (-▽ (AVv) v + ov2、dxdy⑹外=-JJ FvdxdyGJ=~JJ v)v + m’2 - 2Fv)dxdy2 G=—(-▽ (^Vv) + av, v)-(F,v).在c2屮,(F,v) = JJ FvdxdyJ =-v) + m,，v) -(F,v) 2去 JJ 一 ▽(/:▽ v)vdxdy + 去 JJ v~dxdy - JJ FvdxdyJJ-V(々Vv)vdr 办-JJ oiiu Q dxdy - JJ fudxdy - JJ依据极小位能原理：v* = i4（x ）是下列变分问题的解，7（K ）= min7（v ）.vdxclyG=-nG dk dv 7 d 2v dk dv y d 2vdk dv dk dv--------vd --------- v dx dx dy dydxdy + dxdydykv)dxdy运用格林第一公式dk dv dk dv--------vH--------- v dx dx dy dydxdy + dv dkv dv 3kv dx dx dy dy}dxdy - kvds杳)2+(昝)2ox dy dxdy.du dv du dv 令“(w ，v)=37+17+H01油dy.卿=w ）—（F，V ）. T 面冋到原问题J =r (v,v)-(F,v)k(du du Q dx dxdxdy + 丄 JJ (y{u- u ())2dxdy22 rz/d ,, du 0、+ 丁(众)— 仰0dy dy du (u - w 0 )dxdydu du r , du du fn 々（尝）2+々G 21场昔令+吾$）帥+1^2帥dx dx dy dy dxdy.变分M 题表述为：求使•/（v*） = min/（v ）.ve/4（//I 是所有满足非齐次边值（2.2）的函数类构成//\/）的子空间）2.2建立第一边值条件等价的虚功原理对任意的有fz （w,v ）-（/，v ） = O.证明：以v 乘（2.1）的两端并在G 上积分，得 JJ[-V（々Vv ）v+ov -Fv]clxdyvdxcly - JJ Fvdxclydxdy + JJ (yuvdxdy-^ Fvdxdy= 6f （w,v ）-（/,v ）.原问题的变分问题变为: 求W, UE C2AH'满足变分方程6Z （W ，V ） —（F ，v ）二0,对任意的ve//'3椭圆型方程的第二边值问题在求椭圆型方程笫二边值问题的变分形式时，我们考虑如下模型方程.我们先运用格林 第一公式和极小位能原理建立poisson 方程第二边值问题的变分形式再运用虚功原理逑立等价的变分 形式.就方程:-Av = /(x,y),(xoOe G.G 是xy 平而上的一有界区域，其边界r 为分段的光滑曲线，H 为曲线r 的单位外法向垃.在r 上《满足第二边值条件=-n3女 3v dk dv-------- vH ----------- vdx dx dy dydxdy +v , d 2v ,、j j-kv^ ----- 7 kv )dxdy dx dy^ -JJ Fvdxdydx dx dy dy3.1建立第二边值条件的极小位能原理取一特定函数C 2(i/), ^- = J , +v = w —%，则onon先运用极小位能原理和虚功原理导出等价的变分问题，则得到(3.1.1), (3.1.2)的等价问题其中，= J* Fvdxdy所以，＜/(v) = %+W 外=—JJ (-Av)vJjY/y +JJ Fvclxdy= -(-Av, v) - (F ，v) =j(v ，v) - (F ，v)A 2+(-)2dx dy dr dy(»一 J auu ()ds - JJfudxdy - JJ Au (}udxdy + 常数 ru udxdy + J ~^~ds - J J Au ()udxdy + 常数.r u其中，du dn(3.1.2)dv0.-Av = / + Aw 0 = R dv(3.1.2) 0.dn构造二次泛函:(3.1.3)(-Av)vdidy.dxdy + 丄 J ^ZV 26?5-JJ Fvdxdyr udxdy -dxdy + ^au 2ds = 7(w)-JJ du du (} du du 0-------------- -j ----------------- dx dx dy dy7(w) = JJ + dxdy + J (,^-)ds - JJ Au o udxdy.又由格林第一公式知道原问题的变分问题的变分形式为：求 m G //! (w),使得 J(u,) = min«/(«)3// e3.2建立第二边值条件的虚功原理对任意的 ve //^，有«(w,v)-(/,v) = 0以v 乘(1.1)的两端并在G 上积分，得JJ [(一Aw)v —力如办=0,(3.2.1)G利用公式(1.2.3)及关于w ，v 的边值条件()()得du , r du . dydy 7 Jr dndu 3v 、，，— —)dxdy. oy dy则(3.2.1)写成 6Z («,v)-(/,v) = 0.设託 C2(G),VG H[,则由(3.1.6)得到，tz(w,v)-(/,v) = JJ (-Aw - f 、vdxdy,G则原M 题的变分M 题的变分形式还可以表述力： 求 W, WG C2(G)AH^ ,对任意 ve //^，6T(W ，V)-(/，V) = 0.型方程的第三边值问题:在求椭圆型方程第三边值问题的变分形式时，我们考虑如下模型方稗.我们先运用格林第\u {}udxdy = JJdu du {} du du (} dx dx dy dydxdy - )ds.(3.1.6)n Aav lalavlaAaf/iaxr§iarz(\ z(\定义双线性形式:6Z (W,V )=JJ(du 3w() + du du () dx 9x 9 vdxdy - JJ fudxdy.一公式和极小位能原理建立/Mkywr 方程第三边值问题的变分形式再运用虚功原理建立等价的变分形 式.就 poisson ‘瑕-Vw = /(x ，力，(x ，y) e G.6是又＞，平面上的一有界区域，其边界r 为分段的光滑曲线，n 为曲线r 的单位外法向量,的方14导数.在r 上满足第三边伉条件4.1建立第三边值条件等价的极小位能原理所以屏严vHF’v) =^(v,v)-(F,v)dv o dv(V)+O ox dydv dv (V) +(V) dx ay dxdy + 丄 J av 2ds-^ Fvdxdy2 mdu du () du du (} dx dx dy d y— J auu (}ds - JJ fudxdy - JJ \u v udxdy + 常数2 ruudxdy 4- J (^2._ _ JJ \u {}udxdy + 常数 ru其中，dxdy + J (学2■ _ ~ JJ ^u^dxdy 又由格林第一-公式知道 \u n udxdy -+ y-- J (^^ds.dv取一■特定函数 W 。
一类带参数的超线性椭圆型方程边值问题的可解性
一类带参数的超线性椭圆型方程边值问题的可解性
李殷杰;钟金标
【期刊名称】《安庆师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(30)1
【摘要】本文研究了一类椭圆型方程Dirichlet边值问题的可解性,其中,非线性项包含了线性部分、参数及在无穷远处为超线性的部分。
利用不动点定理及上下解方法来证明了该问题在参数λ充分小时正解的存在性;在非线性项满足Lipschitz连续及参数λ充分小时解的唯一性定理;同时论证了在一定条件下解的不存在性定理。
最后分别给出了定理的应用实例。
【总页数】4页(P43-46)
【作者】李殷杰;钟金标
【作者单位】安庆师范大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类带参数的半线性椭圆型方程边值问题的可解性
2.有界洞型区域内一类半线性椭圆型方程边值问题的可解性
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非线性边值问题的一些解法郭柏灵译
非线性边值问题的一些解法郭柏灵译把一个问题分解成一系列子问题，求解每个子问题的最优解，从而得到原问题的最优解这便是一个典型的非线性边值问题(Nonlinear Boundary-Value Problem,NBVP)。
线性边值问题是数学建模、实际应用中常见的一类问题，它可以用来模拟复杂的系统或进行优化计算。
线性边值问题的求解通常是一个比较困难的问题，人们对它提出了不同的解法。
中，郭柏灵(Bo-Ling Guo)提出的一些解法受到了广泛的关注，这里我们就来简要介绍一下它们。
首先，郭柏灵引入了解耦的理念，将非线性边值问题分解成一系列线性边值问题。
将子问题的解分解成一系列解矢量，再求得每一步的最优解，最终得到整个非线性边值问题的最优解。
这种求解方法能够节省计算量，同时也能够充分发挥算法的优势。
同时，郭柏灵还提出了一种基于缩减系数的算法，利用反问题历史信息和反问题特征信息，可以有效地暗示反问题的特征，从而减少非线性边值问题的计算量。
此外，郭柏灵还提出了一种基于梯度信息的算法，将NBVP问题抽象为一个非凸优化问题，然后利用梯度信息来求解。
这种算法在求解复杂的NBVP问题上具有出色的性能，能够极大地减少计算量，同时也能够得到一个比较准确的结果。
最后，郭柏灵还提出了一种基于多种优化方法的综合算法，综合算法把子问题分为线性和非线性优化问题，并尽可能利用反问题信息，从而达到更好的求解效果。
总而言之，郭柏灵提出的一些解法，大大改善了非线性边值问题求解的效率，受到了广泛的关注和应用。
在实际应用中，这些解法可以有效地解决实际问题，帮助我们更好地探索解决问题的思路，朝着更高效的求解方向不断前进。
因此，郭柏灵提出的非线性边值问题求解算法具有重要的工程实用价值，值得我们深入研究。
我们认为，在研究非线性边值问题求解算法方面，仍然有很多改进的空间，例如用更高效的方法设计差分处理、优化梯度算法等。
同时也希望有更多的研究者能够从郭柏灵的研究经验中受益，探索出更多的非线性边值问题求解算法，从而为我们解决实际应用问题提供帮助。
非线性椭园方程边值问题的多解存在性
非线性椭园方程边值问题的多解存在性
非线性椭圆方程边值问题的多解存在性
1、什么是非线性椭圆方程边值问题
非线性椭圆方程边值问题是一类特殊的偏微分方程，它是一个带有边值条件的非线性方程，它能够说明各种物理现象，例如弹性力学以及边界层理论等。
它是以椭圆型的形式来描述问题的，即所研究的问题可以转化为求解椭圆型方程。
2、多解存在性
多解存在性是指非线性椭圆方程边值问题可能会有不止一个解，即存在多解。
这是因为这种方程经过改变后可以转化为多组方程，并且这组方程具有相同的边界条件，因此会出现多个解。
同时，不同类型的椭圆方程也会出现不同的解，特别地，在特定的跟边界条件下，甚至可能存在无穷多的解。
3、解的性质
虽然该方程可能会有多解，但是这些解的性质并不完全一致。
例如，其中一些解可能是渐近解，其他解则可能是定常解。
从数学的角度来看，渐近解表示的是解的收敛性，即解会不断向某个特定方向收敛；而定常解表示的则是解的稳定性，即这一解会不断地存在，而不会出现任何改变。
4、椭圆方程边值问题的实际应用
非线性椭圆方程边值问题的多解存在性在很多领域都得到了广泛的应用，比如可以应用于工程设计中的力学和流体力学，还可以用于金融学中的价格计算。
除
此之外，这一方程还可以用于生物学中的生物医学建模，用于细胞信号传递中的活性水平，用于材料力学中的材料损伤航空航天等等。
一类非线性散度形椭圆方程的最大值原理
一类非线性散度形椭圆方程的最大值原理第32卷第1期2002年1月数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORYVol.32 No.1Jan., 2002一类非线性散度形椭圆方程的最大值原理丁俊堂(山西大学数学系,太原030006)摘要: 文中运用Hopf最大值原理,获得了具有Dirichlet, Neumann和Robin边界条件的非线性散度形椭圆方程(v(q)u,i),i+w(q)f(x,u) = 0 (q= u 2)的解的函数的最大值原理,运用文中获得的最大值原理能够推出某些重要物理量的界的估计.关键词: 非线性;椭圆方程;最大值原理1 引言收稿日期:2000-02-13很多实际问题都可归结为求区域D RN上偏微分方程L[u] +w(q)f(x,u) = 0x∈D,B[u] =φx∈D,的解的问题,这里L是一个偏微分算子,B是一个边界算子.很多数学家和物理学家都在关注和研究这个方程的求解问题,特别是在非线性情形之下.在实际当中,人们不仅需要知道方程解的存在性,而且需要知道解的解析性质和解的梯度估计.然而,即使知道了解的存在性,要了解解的解析性质还是一个很困难的问题.为了获得有关解和它的梯度的信息,人们往往定义一个方程解的函数,并通过这个函数的一些性质认识解的解析性质.在这方面的研究中,最大值原理起着很重要的作用.诸如[1—6]中那样,很多学者在这方面作了大量的工作,并对某些方程取得了一些很好的成果.在[1—2]中, Schaefer, Schaefer和Sperb分别获得方程(v(u)u,i),i+f(u) = 0 (1.1)和(v(u)u,i),i+w(x)f(u) = 0 (1.2)的解的某个函数的最大值原理.在[3—4]中, Payne和Philippin构造了方程(v(q)u,i),i+w(q)f(u) = 0 (1.3)和(v(u,q)u,i),i+h(u,q) = 0 (1.4)的解的某个函数,也获得了这些函数的最大值原理.然而,在理论和实践中的大量的问题都归结为下列方程(v(u)u,i),i+f(x,u) = 0, (1.5)(v(q)u,i),i+w(q)f(x,u) = 0 (q= u 2) (1.6)和(v(u,q)u,i),i+h(x,u,q) = 0. (1.7)多年来,获得方程(1.5)—(1.7)的解的某些函数的最大值原理一直是一个公开的没有解决的问题.在[6]中,张海亮于1995年获得了半线性椭圆方程Δu+f(x,u) = 0 (1.8)的解的某个函数的最大值原理.在本文中我们考虑方程(1.6),其微分形式为v(q)Δu+ 2dvdqu,iu,ku,ik+w(q)f(x,u) = 0, (1.9)并构造函数P=∫q02v′(s)s+v(s)w(s)ds+αeu, (1.10)这里α是待定常数.我们将证明如果D EN(N 2)是一个有界开区域,u∈C3(D-)是(1.9)具有Dirichlet, Neumann或Robin条件的解,那么在适当的假设之下,P在u的临界点取到它的最大值.所得结果不仅推广了Payne和Stakgold在[5]中研究方程Δu+f(u) = 0所得的结果,而且为构造方程(1.5)或(1.7)解的函数提供了一种思想.为方便起见,我们用f,i= f(x,u) xi表示f(x,u)关于显含变量xi的偏导数,并使用记号f·= f(x,u) u, 0f= {f,1,f,2,…,f,N},v′=dvdq,w′=dwdq和求和约定.容易证明算子L[u]∶=v(q)Δu+ 2v′u,iu,kuik是一致椭圆性算子,如果假设对任意的q 0有v(q) + 2v′q> 0. (1.11)本文始终都假设对于q 0不等式(1.11)以及不等式v=v(q) > 0,w=w(q) > 0,w′0 (1.12)成立.本文中也假定v是C2函数,w和f是C1函数以及v,v′,w,w′,f,f,i 和f。
奇异非线性椭圆型方程组边值问题正解的存在唯一性
奇 异 非 线 性椭 圆型 方程 组 边 值 问题 正 解 的 存 在 唯 一 性
文香丹 苑成军 范 ， ， 鹰
（ ．延边 大学 理学院 数学系 ， １ 吉林 延吉 １３ ０ ； ．哈尔滨学 院 理学 院 数学 系，哈尔滨 １０ ８ ） ３０ ２ ２ ５０ ６
摘 要 ： 用锥 上 混合单 调 算 子 不 动 点 定 理研 究 一 类非 线性 椭 圆型 方 程 组 的 Ｄｒ ｈｅ 边 值 问 利 ｉｃ ｌ ｉ ｔ 题 ， 非 线性项 为混合 单调 的条件 下 ， 到 了该 非 线性椭 圆型 方程 组正解 的存在 唯 一性． 在 得
２ ｅａｔ ｎ ｔ ｍ ｔ ｓ ｏｅｅｏ ｉ ｃ， ａｂｎＵ ｉ ｒｔ， ａｂ ５０ ６ Ｃ ｉ ） ．Ｄｐ ｒ ｔ Ｍａｈ ａｉ ，Ｃｌｇ Ｓ ｅ ｅ Ｈ ｒ ｎｖ ｓｙ Ｈ ｒｉ １０ ８ ， ｈｎ ｍｅ ｏ ｆ ｅ ｃ ｌ ｆ ｃｎ ｉ ｅｉ ｎ ａ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｕｓｎ ｘ ｄ ｍｏ ｏｏ ｅ ｆｘ ｄ ｐ ｉｔｔ ｏ ｅ ｉ ｈ ｏ ｅ ｔ ｅ ｒ ｗｅ ｓｕ ｉ ｄ Ｄｉｉ ｈ ｅ ｏ ｎｄ ｒ ａｕｅ ｉ ｇ ｍｉｅ ｎ ｔｎ ｅ ｏｎ ｈｅ ｒ ｍ ｎ ｔ ｅ ｃ ｎ ｈ ｏ ｙ ｉ ｔ ｄ ｅ ｒｃ ｌｔｂ ｕ ａ ｖ ｌ ｙ
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（ １ ）
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