椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式 4..

目录

1引言

2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式2.1建立第一边值条件等价极小位能原理2.2建立第一边值条件等价的虚功原理

3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式3.1建立第二边值条件的极小位能原理

3.2建立第二边值条件的虚功原理

4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式4.1建立第三边值条件的极小位能原理

4.2建立第三边值条件的虚功原理

椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式

1引言

很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的, 在变分过程中增加了未知函数导数的阶数. 反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函, 使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说, 变分法最终寻求的是极值函数, 它们使得泛函取得极大或极小值. 变分原理在物理学中, 尤其是力学中有着广泛运用, 如著名的虚功原理、极小位能原理、余能原理和哈密顿原理等, 几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达. 在当代变分已成为有限元法的理论基础,是求解边值问题的强力工具.

2椭圆型方程第一边值问题的变分形式

椭圆型方程第一边值问题：

G u G y x f u v k =∈=+∇∇-Γ)2.1(,),(,)(σ, 其中Γ是边界, G 是平面区域

).()()(),

(),(,0),(,0min ),(),(21y u k y x u k x u k C g G L f G C G c y x k k G

∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇∇Γ∈∈≥∈>∈=σσ 定义：{}

),(,)(),()(221b a I I L f I L f f I H =∈'∈= 在解决第一边值问题的变分形式的过程中, 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式, 再运用虚功原理建立等价的变分形式.为此我们需要考虑如下结果: 极小位能原理, 虚功原理, 格林第一公式.

格林第一公式：G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量，n

u ∂∂是u 沿n 的方向导数，则有: .)()(vds n u dxdy y v y u x v x u xdy vd u G

G ⎰⎰⎰Γ∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-

,),(),,(G y x y x f u ∈=∆- （2.1.3）

,0=Γu （2.1.4） 定义：).,(),(2

1)(u f u u a u J -= 其中∆是Laplace 算符.22

22y

x ∂∂+∂∂ 极小位能原理: 设)(2*G C u ∈是边值问题(2.1.3)，（2.1.4）的解，则*u 使)(u J 达到极小.,反之，若

)()(102*G H G C u ∈使)(u J 达到极小，则*u 是边值问题（2.1.3）

，（2.1.4）的解. 虚功原理: 设)(2G C u ∈，则u 满足（2.1.3），（2.1.4）的充要条件是：1E H u ∈且对于任意1E H v ∈满

足变分方程，

0),(),(=-v f v u a .

2.1建立第一边值条件等价的极小位能原理

（1）极小位能原理： 设)(20G C u ∈为一特定函数，g u =Γ令0u u v -=，则得到（2.1）

，（2.2）的等价问题： .0)()(00⎪⎩⎪⎨⎧=-∂∂∂∂+==+∇∇-Γ

v u y u k y f F v v k σσ 构造v 的二次泛函

,外内W W J +=∧ dxdy v v v k W G

)((212⎰⎰+∇-∇=σ）内 dxdy Fv W G ⎰⎰=-外

).,(),)((2

1)2)((212v F v v v k dxdy Fv v v v k J G -+∇-∇=-+∇-∇=

⎰⎰∧σσ 在2C 中，

dxdy Fv v F G

⎰⎰=),(

.21)(21),(),)((212⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+∇∇-=-+∇-∇=∧G

G G Fvdxdy dxdy v vdxdy v k v F v v v k J σ .)()()()(22222222⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∇∇-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰G G G G G

dxdy kv y v kv x v dxdy v y v y k v x v x k dxdy v y v k v y v y k v x v k v x v x k vdxdy y v k y x v k x vdxdy

v k

运用格林第一公式 .)()()(22dxdy y v x v k kvds n v dxdy y kv y v x kv x v dxdy v y v y k v x v x k G

G G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=Γ .)(

),(y uvdxd dxdyy y v y u x v x u k v u a G

G ⎰⎰⎰⎰+∂∂∂∂+∂∂∂∂=σ令 则).,(),(2

1)(v F u v a v J -=∧ 下面回到原问题

.)()()()(21)()()()(21)()(21),(),(2

100200220000202020dxdy x u k x dxdy fu dxdy uu dxdy u dxdy y u y u x u x u k dxdy y u k x u k dxdy u u u y u k y x u k x f dxdy u u dxdy y u y u k x u x u k v F v v a J G G G G G G G G

G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣

⎡∂∂∂∂---+∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-∂∂∂∂+∂∂∂∂+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=-=∧σσσσ

依据极小位能原理：)(**x v v =是下列变分问题的解, )(min )(*v J v J v =∧

.