人教版高三数学一轮复习优质课件2：2.8 函数与方程

(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点 的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不 同的零点．
3．明确三个等价关系(三者相互转化)
[做一做]
3．函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( B )
A．(－2，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1) 解析：∵f(－1)·f(0)＝－52＜0，
1．(1)(2015·广东揭阳联考)下列说法，正确的 是( C ) A．对于函数 f(x)＝1x，因为 f(－1)·f(1)<0，所以函数 f(x)在 区间(－1，1)内必有零点 B．对于函数 f(x)＝x2－x，因为 f(－1)·f(2)>0，所以函数 f(x) 在区间(－1，2)内没有零点 C．对于函数 f(x)＝x3－3x2＋3x－1，因为 f(0)·f(2)<0，所以 函数 f(x)在区间(0，2)内必有零点 D．对于函数 f(x)＝x3－3x2＋2x，因为 f(－1)·f(3)<0，所以 函数 f(x)在区间(－1，3)内有唯一零点
(2)f(x)为(1，3)内的连续函数，只需
f(1)·f(3)<0
或Δ＝0 ． 1<－m<3
即：(4m＋2)·(8m＋10)<0 或m－＝3<1m±<－2 1，
∴－54<m<－12，
∴m 的取值范围为－45，－12．
[规律方法] 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二 次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与 系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．
1．辨明三个易误点 (1)函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)＝0 的根，也是 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标． (2)连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在 这个区间上存在零点的充分条件，但不是必要条件．
(3)精确度不是近似值．
2．会用判断函数零点个数的三种方法 (1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就 有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b] 上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图 象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程
1．函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使__f_(x_)_＝__0___成立的实数 x 叫 做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，4)
D．(4，＋∞)
[解析] 由题意知，函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又 f(1)
＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝64－log24＝32－2＝－
12<0，由零点存在性定理，可知函数 f(x)在区间(2，4)上必
存在零点．
[规律方法] 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据 具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进 行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断； 当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
∴若实数 a 满足条件，则只需 f(－1)·f(3)≤0 即可． f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－ a)(5a＋1)≤0，∴a≤－15或 a≥1．
检验：(1)当 f(－1)＝0 时，a＝1，所以 f(x)＝x2＋x． 令 f(x)＝0，即 x2＋x＝0，得 x＝0 或 x＝－1． 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故 a≠1． (2)当 f(3)＝0 时，a＝－15，此时 f(x)＝x2－153x－65． 令 f(x)＝0，即 x2－153x－65＝0，解得 x＝－25或 x＝3． 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故 a≠－15．
Δ＝4m2－4（2m＋1）≥0⇒ 0<－m<1
m>－21，
m>－12，
(2) 即－12<m≤1－ 2．故 m 的取
m≥1＋ 2或m≤1－ 2， －1<m<0.
值范围是－21，1－ 2．
本例方程不变，问 m 为何实数时？ (1)有一根大于 2，另一根小于 2?
(2)在区间(1，3)内有且只有一解？ 解：(1)令 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 为开口向上的二次函数， 只需 f(2)＝4＋4m＋2m＋1<0， 解得 m<－56，∴m 的取值范围为(－∞，－56)．
3．是否存在这样的实数 a，使函数 f(x)＝x2＋
(3a－2)x＋a－1 在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一
个零点？若存在，求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由． 解：令 f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝
9a－892＋89>0，即 f(x)＝0 有两个不相等的实数根，
c (a＞0)的图象
与x轴的交点
__(_x_1，__0_)___， _(_x_2_，__0_)__
零点个数
两个
(x1，0) 一个
无交点 零个
3．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且_f_(a_)_·_f(_b_)_<_0_的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间_一__分__为__二___，使区 间的两个端点逐步逼近___零__点_____，进而得到零点近似值 的方法叫做二分法．
考点二 函数零点个数的问题(高频考点) 函数零点个数问题是高考命题的一个高频考点，常与函数 的图象与性质交汇，以选择题、填空题的形式出现，高考 对函数零点的考查主要有以下两个命题角度： (1)判断函数零点个数；
(2)由函数零点个数确定参数的值或取值范围．
(1)(2014·高考湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函
(2)函数 g(x)＝f(x)－k 有两个零点，即 f(x)－k＝0 有两个解， 即 y＝f(x)与 y＝k 的图象有两个交点．分 k＞0 和 k＜0 作出 函数 f(x)的图象．当 0＜k＜1 时，函数 y＝f(x)与 y＝k 的图 象有两个交点；当 k＝1 时，有一个交点；当 k＞1 或 k＜0 时，没有交点，故当 0＜k＜1 时满足题意．
(1)
f（0）＝2m＋1<0
f（－1）＝2>0 ⇒
f（1）＝4m＋2<0 f（2）＝6m＋5>0
m<－21，
m∈R， m<－21，即－65<m<－12. m>－56.
故 m 的取值范围是－56，－12．
(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0，1)内，如图(2)所示，
列不等式组
f（0）＝2m＋1>0 f（1）＝4m＋2>0
[规律方法] 判断函数 y＝f(x)零点个数的三种常用方法：(1) 直接法．令 f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个 数．(2)零点存在性定理法．判断函数在区间[a，b]上是连 续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如 单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．(3) 数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题．(画 出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数) [注意] 若已知 f(x)有几个零点，则用数形结合法，转化为 两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解．
D．(1，2)
∴函数 f(x)的零点所在区间为(－1，0)．
考点一 考点二 考点三
函数零点所在区间的确定 函数零点个数的问题(高频考点) 与二次函数有关的零点分布
考点一 函数零点所在区间的确定
(2014·高考北京卷)已知函数 f(x)＝6x－log2x，在下
列区间中，包含 f(x)零点的区间是( C )
[做一做]
1．若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝bx2
－ax 的零点是( C )
A．0，2
B．0，12
C．0，－12
D．2，－12
解析：∵2a＋b＝0，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为 0 和－12．
2．函数 y＝f(x)在区间(2，4)上连续，验证 f(2)·f(4)<0，取 区间(2，4)的中点 x1＝2＋2 4＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此 时零点 x0 所在的区间为__(_2_，__3_)_．
[解析] (1)令 x＜0，则－x＞0，所以 f(－x)＝(－x)2＋3x＝ x2＋3x．因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(－x)＝－ f(x)．所以当 x＜0 时，f(x)＝－x2－3x．所以当 x≥0 时， g(x)＝x2－4x＋3．令 g(x)＝0，即 x2－4x＋3＝0，解得 x＝1 或 x＝3．当 x＜0 时，g(x)＝－x2－4x＋3．令 g(x)＝0，即 x2＋4x－3＝0，解得 x＝－2＋ 7＞0(舍去)或 x＝－2－ 7. 所以函数 g(x)有三个零点,故其集合为{－2－ 7，1，3}．
A．0
B．2
C．4
D．6
解析：(1)当 x≤1 时，由 f(x)＝2x－1＝0，解得 x＝0；当 x
＞1 时，由 f(x)＝1＋log2x＝0，解得 x＝12， 又因为 x＞1，所以此时方程无解．
综上函数 f(x)的零点只有 0． (2)画出周期函数 f(x)和 y＝log3|x|的图象，如图所示，方程 f(x)＝log3|x|的解的个数为 4．
考点三 与二次函数有关的零点分布 已知关于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0．
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在 区间(1，2)内，求 m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范围． [解] (1)由条件，抛物线 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 与 x 轴的 交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图(1)所示，得