二次函数求最值动轴定区间动区间定轴

f(x) max=f(k)=k 2-2k-3 当f(k) ≤f(k+2) 时，
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
5
f(x)
max
10
=f(k+2)=
（1k5 +2)
2-2(k+2)-3
=k 2+2k-3
6
4
2 x=1 k
2
k+2 5
当k ≥1 时 f(x) max =f(k+2)=k 2+2k-3
10
15
f(x) min =f(k)=k 2-2k-3
4
6
8
10
例: 求函数y=x 2-2x-3 在x∈[k,k+2]时的最值
4
2 x=1 k+2
k
2
4
x=1
2
k
5
k+2
10
2
4
x=1
2
k k+2
5
15
10
5
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
当k ≤-1时 6
f(x)
max
=f(k)=k
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈ [–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈ [ 2，4 ]，求函数 f(x)的最值；
（3）若x∈ [ 1 , 5 ]，求函数 f(x)的最值；
2
（4）若x∈[?
12 ,
2
3 2
]，求函f(数x)的最值；
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区 间在10定轴的左、10 右两侧及包1含0 定轴的变化10 ，要注 意开口方向及端点情况。
例2：若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
1 , 5 ，求函数 f(x)的最值；
2
?
12 ,
3
22
f(x) 的最值；
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线 x=1, 由图知，
x= ? 1 2
时有最大值
f (? 1) ?? 2
13 4
x=1 时有最小值 f(1)=-4
x=1
2
13
-2
2
2 4
?
?
?
?
??例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
者是最大值，较小者是最小值.
思考：如何 求函数y=x 2-2x-3在 x ∈[k,k+2]时的最值 ?
解析: 因为函数 y=x 2-2x-3=(x-1) 2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值 , 即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图 :
?
?
?
8
上的8 最值通常在哪8里取到？
8
10
10
10 10
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m ，n]上 上的最值或值域的一般方法是：
（1）检查x0= ?
b 2a
是否属于
[m
，n]；
（2）当x ∈[m，
0
n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
? （3）当x0 [m ，n]时，f(m)、f(n)中的较大
4
2 x=1 2
45
2
4
?
?
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈ [ –2，0]，求函数 f(x)的最值；
（2）若x∈ [ 2，4]，求函数 f(x)的最值；
15
（3）若x∈[ , ],求函数f(x)的最值；
22
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线 x=1, 由图知，
5
x=
2
时有最大值
f (5) ? ?13
2
4
2 x=1
1
5
2
2
5
2
4
x=1时有最小值 f(1)=-4 6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3 ?
（1）若x∈ [ –2?，0]，求函数 f(x)的最值；
（2）若x∈ [2 ，4 ]，求函数 f(x)的最值；
（3）若x∈ []
（4）若x∈[
] ， 求函 数
4
f(x) min
=f(1)=10
4
f(x) min =f(k)=k 2-2k-3
例: 求函数 y=x 2-2x-3 在x ∈[k,k+2]
4பைடு நூலகம்
2 x=1 k+2
k
2
4
x=1
2
k k+2
5
10
5
2
时的最值 6
4
x=1
2
k k+2
15
10
5
2
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
5
10
15
f(x) min =f(k+2)= （k+2) 2-2(k+2)-3 =k 2+2k-3
4
x=1
2
k k+2
2
4
4
6
x=1
2
8
k k+2
10
2
4
当 k ＜1 ＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时
f(x) min =f(1)=- 4 当5 f(k)>f(k+102) 时， 15
即k2-2k-3 > k 2+2k-3 即-1<k<0时
6
2-2k-3
6
f(x)
min
=f(k+2)=k 6
2+2k-3
当-1<k <0时 8
f(x)8max =f(k)=k 2-2k-38
当0≤ k<1时 f(x) max =f(k+2)=k 2+21k0 -3
10
10
当k ≥1 时 f(x) max =f(k+2)=k 2+2k-3
f(x) min
=f(1)=8
例:
求函数
?
y=x 2-2x-3
在x
∈[k,k+2]
的最值
4
2 x=1 k+2
k
2
4
6
8
4
x=1
2
k
5
k+2
10
2
4
6
8
4
x=1
2
k k+2
5
15
10 5
2
4
6
8
10
时
6
4
2 x=1
k
1105
k+2
2
4
6
8
4
2 x=1 k+2
k
2
4
6
8
当k+2≤1即k ≤-1时
f(x) max=f(k)=k 2-2k-3
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2?? ，0 ]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[2 ，4 ]，求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线 x=1
6
由图知， y=f(x) 在[2 ，4 ]上为增函数 故x=4时有最大值 f(4)=5 x=2时有最小值 f(2)=-3
?
?
练习：已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的图像如图
6
对称轴为直线 x=1
由图知， y=f(x) 在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值 f(-2)=5
4
x=1
2
x=0时有最小值 f(0)=-3
0
5
-2
（1）x∈[ –2，0]（2）x∈[ 2
，4 （] 3）x∈[
1 2
,
5 2 ]（4）x∈[
?]
1 2
,
3 2
6
6
4
4
4
x=1
2
0
5
-2
2
4
2 x=1 2
10
2
4 155
2 x=1 15 22
10 2
2
1 -2
5
15 2
x=1
3 2
10
4
4
4 4
6
6
思考6 ：通过以上几6题，你发现二次函数在区间 [m ，n]